解の公式をやさしく解説｜使い方・覚え方・証明20パターン

1. 1

   ax²＋bx＋c＝0 を a で割り、x²＋(b/a)x＝−c/a

2. 2

   両辺に (b/2a)² を足す

3. 3

   (x＋b/2a)²＝(b²−4ac)/4a²

4. 4

   平方根を取り、x＋b/2a＝±√(b²−4ac)/(2a)

5. 5

   x＝{−b±√(b²−4ac)}/2a

つまずき注意平方根を取るときの「±」を忘れない。aで割れるのは a≠0 だからです。

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   4a(ax²＋bx＋c)＝0

2. 2

   4a²x²＋4abx＋4ac＝0

3. 3

   両辺に b² を足し、4a²x²＋4abx＋b²＝b²−4ac

4. 4

   (2ax＋b)²＝b²−4ac

5. 5

   2ax＋b＝±√(b²−4ac) から公式へ

つまずき注意左辺へb²を足したら、右辺にも同じb²を足します。

1. 1

   元の式をa倍して、a²x²＋abx＋ac＝0

2. 2

   y＝ax と置き、y²＋by＋ac＝0

3. 3

   (y＋b/2)²＝(b²−4ac)/4

4. 4

   y＝{−b±√(b²−4ac)}/2

5. 5

   y＝axへ戻し、最後にaで割る

つまずき注意最後に求めるのはyではなくx。置き換えを必ず戻します。

1. 1

   p＝b/a、q＝c/a として x²＋px＋q＝0

2. 2

   x²＋px＝−q

3. 3

   (x＋p/2)²＝p²/4−q

4. 4

   x＝{−p±√(p²−4q)}/2

5. 5

   p＝b/a、q＝c/aを戻す

つまずき注意aが負でも、±によって2解の順番が入れ替わるだけです。

1. 1

   h＝−b/2a、x＝h＋u と置く

2. 2

   f(h＋u)＝a(h＋u)²＋b(h＋u)＋c

3. 3

   2ah＋b＝0なので、f(h＋u)＝au²−D/4a

4. 4

   f(h＋u)＝0 より (2au)²＝D

5. 5

   x＝h＋u＝−b/2a±√D/2a

つまずき注意中心は b/2a ではなく、前にマイナスが付く −b/2a です。

1. 1

   ax²＋2mx＋c＝0

2. 2

   a²x²＋2amx＋ac＝0

3. 3

   (ax＋m)²＝m²−ac

4. 4

   ax＋m＝±√(m²−ac)

5. 5

   x＝{−m±√(m²−ac)}/a

つまずき注意mはbの半分。bが偶数のときだけ使える時短版です。

1. 1

   4a(ax²＋bx＋c)＝(2ax＋b)²−D

2. 2

   方程式が成り立つとき、(2ax＋b)²−D＝0

3. 3

   (2ax＋b−√D)(2ax＋b＋√D)＝0

4. 4

   2ax＋b＝√D または −√D

5. 5

   x＝{−b±√D}/2a

つまずき注意実数で√Dと書けるのはD≧0のときです。

1. 1

   x²＋px＝r の形にする

2. 2

   pxを、面積が(p/2)xの長方形2枚に分ける

3. 3

   空いた角へ一辺p/2の小正方形を足す

4. 4

   (x＋p/2)²＝r＋p²/4

5. 5

   p＝b/a、r＝−c/aを戻す

つまずき注意面積図は正の長さで描くイメージ。負の数まで含む一般形は式で保証します。

1. 1

   y＝ax²＋bx＋c＝a(x＋b/2a)²−D/4a

2. 2

   x軸との交点ではy＝0

3. 3

   a(x＋b/2a)²＝D/4a

4. 4

   (2ax＋b)²＝D

5. 5

   x＝{−b±√D}/2a

つまずき注意頂点のy座標は −D/4a。マイナスを落とさないようにします。

1. 1

   軸を h＝−b/2a とする

2. 2

   f(h＋t)＝f(h−t) なので、左右同じ高さになる

3. 3

   x軸上では f(h±t)＝0

4. 4

   (2at)²＝D から、軸からの距離は √D/(2|a|)

5. 5

   左右の2点をまとめると x＝(−b±√D)/2a

つまずき注意軸そのものが必ず解なのではなく、2つの解の真ん中です。

1. 1

   方程式は (2ax＋b)²＝D と同じ

2. 2

   実数の平方は必ず0以上

3. 3

   D＜0なら実数解は0個

4. 4

   D＝0なら 2ax＋b＝0 の1個

5. 5

   D＞0なら ±√D により2個

つまずき注意D＜0は『実数解なし』。高校では複素数の解を学びます。

1. 1

   D＝0 とする

2. 2

   4a(ax²＋bx＋c)＝(2ax＋b)²

3. 3

   ax²＋bx＋c＝a(x＋b/2a)²

4. 4

   x＝−b/2a だけが解

5. 5

   同じ一次因子が2個あるので重解

つまずき注意一次方程式になったのではなく、二次式の同じ解が重なっています。

1. 1

   解をr、sとすると r＋s＝−b/a、rs＝c/a

2. 2

   (r−s)²＝(r＋s)²−4rs

3. 3

   (r−s)²＝D/a²

4. 4

   和と差を組み合わせる

5. 5

   {r,s}＝{(−b＋√D)/2a,(−b−√D)/2a}

つまずき注意rとsの順番に意味はなく、差の符号で2解が入れ替わります。

1. 1

   r±＝(−b±√D)/2a と置く

2. 2

   r+＋r−＝−b/a

3. 3

   r+ r−＝(b²−D)/4a²＝c/a

4. 4

   a(x−r+)(x−r−)を展開する

5. 5

   ax²＋bx＋cへ完全に戻る

つまずき注意D＝0なら2つのrは同じになり、同じ因数が2個並びます。

1. 1

   xε＝(−b＋ε√D)/2a（ε＝±1）と置く

2. 2

   2axε＋b＝ε√D

3. 3

   (2axε＋b)²＝D

4. 4

   (2ax＋b)²−D＝4a(ax²＋bx＋c)を使う

5. 5

   元の式が0になる

つまずき注意候補が解になる確認です。ほかの解がないことは次の同値変形で保証します。

1. 1

   4a(ax²＋bx＋c)＝(2ax＋b)²−D

2. 2

   a≠0より、元の式＝0 ⇔ (2ax＋b)²＝D

3. 3

   D≧0なら u²＝D ⇔ u＝±√D

4. 4

   u＝2ax＋bを戻す

5. 5

   すべて⇔なので、ほかの実数解はない

つまずき注意矢印ではなく『同値』になっているかを見るのが、証明の大切な点です。

1. 1

   ax²＋c＝0

2. 2

   ax²＝−c

3. 3

   x²＝−c/a

4. 4

   x＝±√(−c/a)

5. 5

   公式を使っても同じ2解になる

つまずき注意実数解があるのは−c/a≧0のとき。ここでも±を忘れません。

1. 1

   ax²＋bx＝0

2. 2

   x(ax＋b)＝0

3. 3

   x＝0 または ax＋b＝0

4. 4

   x＝0、−b/a

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   公式でも同じ2解になる

つまずき注意公式で確かめるとき、√(b²)＝|b|であって、いつもbではありません。

1. 1

   2x²−5x＋2＝0

2. 2

   2x²−4x−x＋2＝0

3. 3

   2x(x−2)−(x−2)＝0

4. 4

   (2x−1)(x−2)＝0

5. 5

   x＝1/2、2

つまずき注意組がすぐ見えないときは、探し続けず解の公式へ切り替えます。

1. 1

   a＋b＋c＝0なら、x＝1を代入した値が0

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   実際に ax²＋bx＋c＝(x−1)(ax−c)

3. 3

   解は x＝1、c/a

4. 4

   a−b＋c＝0なら、x＝−1を代入した値が0

5. 5

   このとき (x＋1)(ax＋c) と因数分解できる

つまずき注意a＋b＋c＝0ならx＝1、a−b＋c＝0ならx＝−1です。