順天堂大学医学部 数学 過去問の傾向と解説一覧【2007-2025】

数強塾オリジナル 演習4題——「知らなかった」のか「知っていたが使えなかった」のか

このページの最後で、私はこう書きました。「解けなかった原因が『知らなかった』のか『知っていたが使えなかった』のかで、次にやるべきことは変わります」。

そのとおりなのですが、読み返すとその切り分け方を書いていません。切り分けられなければ、次にやることも決まりません。ここを埋めます。

下に4問置きます。すべて数強塾の書き下ろしで、数値はこちらで検算しました。4問とも、使う道具は教科書レベルの標準です。そのかわり、顔つきが少しずらしてあります。

切り分けの基準は簡単です。解説を読んだとき——
「この道具、初めて見た」なら「知らなかった」。覚える・入れるのが次の一手です。
「あ、それか」なら「知っていたが使えなかった」。次の一手は覚え直しではなく、「なぜ気づけなかったか」を1行で言葉にすることです。
下の4問は、ほぼ全員が後者になるように作ってあります。使う道具は、どれも見たことがあるはずのものだからです。

第1問

解答

まず、分子の各項を で割って分けます。

なので、 と に相加平均・相乗平均の関係が使えます。

等号は 、つまり のとき（ を満たします）。

気づけなかった人が言葉にすべきことは、「分数を見たら、分子を項ごとに分けてみる」です。道具を覚え直す必要はありません。相加相乗そのものは知っているのですから。足りないのは「この形になったら、この道具」という結びつきのほうです。

検算

を代入します。　○

近くの値でも。：　：

どちらも より大きいので、最小値であることが確かめられます　○

等号成立の確認も忘れずに。 は定義域 の中にあります——ここが外だと、相加相乗は使えません。

第2問

解答

と変形して、「曲線 と、横一直線 の交点の個数」と読みかえます。

とすると 。

で極大 、 で極小 。

交点が3個になるのは、 が極小値と極大値のあいだを通るときなので

言葉にすべきことは、「解の個数を聞かれたら、グラフの交点に読みかえる」です。方程式のまま扱おうとすると手が止まりますが、 を右辺に集めて と見るだけで、知っている微分の問題に変わります。この読みかえ自体が「道具」だと思ってください。

検算

範囲の中で確かめます。： より 、解は の3個　○

境目で確かめます。： となり、（重解）と で異なる解は2個　×　だから は含みません　○

境目を実際に因数分解して、重解になることを見る——これが「 か か」を決める確実な方法です。

第3問

解答

積分変数は です。だから は、積分のあいだはただの定数として扱えます。

まず展開します。

について から まで積分します（ は定数なので、そのまま外に出せます）。

あとは平方完成するだけです。

最小値は （ のとき）。

言葉にすべきことは、「積分変数以外の文字は、定数として外に出せる」です。これは知識というより読み方で、 と書いてあるのを見た瞬間に決まります。積分が終わったあとは、ただの2次関数——ここまで来れば、高校1年の問題です。

検算

を、展開せずに直接積分して確かめます。

まったく別の道で同じ値になりました。

見当でも。 はつねに 以上なので、 も 以上。そして が と のまん中にあるとき、 との差がいちばん小さくなる—— で最小は自然です　○

第4問

解答

まず分解します。 を通分すると分子が になるので、 を掛けて調整します。

から順に3項ほど書き出します。

と が消えるのは、1つ飛ばした先です。だから最後まで残るのは、前の2つ（ と ）と、後ろの2つ（ と ）。

言葉にすべきことは、「 とびだから、両はしに 項ずつ残る」です。 なら残るのは両はし1項ずつ。とびの数だけ、残る項が増える——この一般化を1度書いておけば、 が出ても同じように処理できます。知らなかったのではなく、 とびの場合しか書いたことがなかっただけです。

検算

小さい で確かめます。

：もとの和は 。式では 　○

：もとの和は 。式では 　○

形でも。 を大きくすると、後ろの2項は に近づくので和は に近づく——無限に足しても を超えません　○

4問の「顔つきのずらし方」

3列目を見てください。どれも、道具そのものは変えていません。変えたのは形だけ。だからこの4問で解けなかったとしても、それはほぼ確実に「知っていたが使えなかった」ほうです。

切り分けたあと、何をするか

• 「知らなかった」だった場合　→　その単元の教科書・網羅系に戻ります。ここは素直に、覚える・入れる作業です。
• 「知っていたが使えなかった」だった場合　→　覚え直してはいけません。もう知っているのですから、同じことをもう一度やっても変わりません。やるべきは4列目のような一行を書き残すことです。

そして、書き残した一行は単元ごとではなく、1冊にまとめるのがおすすめです。「分数は項ごとに分ける」「解の個数は交点に読みかえる」——これらは単元をまたいで効くので、単元別に散らすと使えません。

「知っていたが使えなかった」は、演習量では減りません。同じ問題をもう一度解いても、次に出会うのは違う顔つきの問題だからです。減らせるのは「どんな形のときに、どの道具か」という結びつきを増やすことだけ。上の4列目が、その結びつきの実物です。1問につき1行、それを積み上げていくのが、この段階でいちばん効く勉強です。

この4問で確認したこと

• 切り分けは解説を読んだときの反応——「初めて見た」か「あ、それか」か。
• 分数の最小値は分子を項ごとに分けると相加相乗が見える。等号成立が定義域内かも確認（第1問）。
• 解の個数はグラフの交点に読みかえる。境目は因数分解して重解を見る（第2問）。
• 積分変数以外の文字は定数として外に出せる。積分後はただの2次関数（第3問）。
• 部分分数はとびの数だけ、両はしに残る項が増える（第4問）。
• 「知っていたが使えなかった」は演習量では減らない。形と道具の結びつきを1行ずつ増やす。

各年度の傾向と解説は、このページの「年度別 過去問・解説一覧」からご覧ください。医学部数学の答案の作り方は 医学部数学の特徴と対策｜合格者の答案に共通する3つの型 にまとめてあります。

4問の分野は 数学I・Aの要点辞典（第1章 数と式＝第1問）、数学II・B・Cの要点辞典（第6章 微分法＝第2問、第7章 積分法＝第3問、第8章 数列＝第4問）にあります。数学IIIまでの続きは 数学IIIの要点辞典、全体の入口は 数学の要点辞典まとめ です。

「なぜそうなるのか」は なぜ相加平均は相乗平均以上なのか と なぜ定義域があるときは頂点だけ見てはいけないのか（第1問）、なぜ微分すると接線の傾きが出るのか（第2問）、なぜ置換積分が成り立つのか（第3問）、なぜ階差を取ると数列の次数が1つ下がるのか（第4問）に書いてあります。

同じ分野を型でそろえるなら 数と式 全12型、微分法（数II） 全11型、積分法（数II） 全14型、数列 全16型 です。