開智日本橋学園中 算数の傾向と対策

開智日本橋学園中学校 算数の傾向と対策【数強塾オリジナル】

開智日本橋学園中学校（東京都中央区日本橋馬喰町）は、国際バカロレア（IB）の教育理念を取り入れた共学の中高一貫校です。探究型の学びを特色とし、入学試験でも思考力や表現力を大切にする姿勢が知られています。この記事では、学校が公式サイトで公開している入試情報をもとに算数の枠組みを整理したうえで、オンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したオリジナル類題5問を、考え方・解答・検算つきで掲載します。実在の過去問を書き写したものは一切なく、公開情報から知られる一般的な傾向をふまえて数強塾が新しく作った問題です。答えはすべて、正攻法とは別のもう一つの方法による二重検算で一致を確認しています。（※本校は埼玉県の開智中学校・開智所沢・開智未来とは別の、中央区の開智日本橋学園中学校です。）

※本ページは公開情報にもとづく傾向分析と、数強塾オリジナルの自作類題による対策です。実際の問題文・図は学校公式サイトでご確認ください。

出題分野の傾向

ここでの記述は、特定年度の問題の転載や解説ではなく、受験算数として一般に妥当な方向づけの整理です。断定は避け、学習の道しるべとしてお読みください。探究型の教育を掲げる学校では、答えだけでなく考え方の筋道を大切にする出題が多い傾向がありますので、日頃から「なぜそうなるか」を言葉で説明する練習を意識するとよいでしょう。

• 計算力と小問で土台をつくる：多くの中学入試と同様に、はじめに計算や一行問題が置かれる構成が一般的です。ここを速く正確に取り切る力が全体の得点を支えます。分数・小数の混じった計算や逆算を、毎日時間を計って練習しましょう。
• 割合・比の文章題：食塩水の濃度、売買損益、相当算、比の配分など、割合・比を軸にした文章題は受験算数の王道です。問題文が長いこともあるので、図や表に情報を整理しながら読む習慣をつけておきたい分野です。
• 速さ：旅人算（出会い・追いかけ）、往復、周回コースなど、速さの問題は頻出テーマです。線分図やダイヤグラムで状況を可視化し、「和」で考えるか「差」で考えるかを見極める力を鍛えましょう。
• 平面図形は確実に仕上げたい：相似・面積比・角度・平行線の性質などは、標準からやや応用まで幅広く問われやすい分野です。どこが相似で比はいくつかを最初に書き出す手順を身につけると、複雑な図でも道筋が見えてきます。
• 数の性質・規則性・場合の数：約数・倍数、余り、数列の規則性、場合の数といった分野も油断できません。特定分野に偏らず、主要分野を穴なく仕上げておくのが安全です。
• 途中式・考え方を残す：思考力を重視する学校では、答えにいたる過程も大切です。解き切れない問題でもわかったところまで途中式を残す姿勢が、部分点や安定した得点につながります。

オリジナル類題で対策

※以下の類題5問は、上記の傾向をふまえて数強塾が独自に作成したオリジナル問題です。実在の過去問の複製ではありません。全問、受験算数の正攻法で解いたうえで、独立した別の方法による二重検算を行い、答えの一致を確認しています。図がなくても読み解けるよう、状況は文章で説明しています。

類題1（数の性質・最大公約数と最小公倍数）

【方針】　2つの整数について、（最大公約数）×（最小公倍数）＝（2つの数の積）という関係が成り立ちます。また、最大公約数が6なので、A＝6×a、B＝6×b と書け、このときaとbは1以外の共通の約数をもたない（たがいに素）という点が急所です。

【解答】　(1) A×B＝（最大公約数）×（最小公倍数）＝6×90＝540です。
(2) A＝6a、B＝6b（aとbはたがいに素、a＜b）とおくと、最小公倍数は 6×a×b＝90 なので a×b＝15。積が15でたがいに素、a＜b となる組は (a, b)＝(1, 15) と (3, 5) の2つです。よって (A, B)＝(6, 90) と (18, 30)です。
(3) それぞれの和は 6＋90＝96、18＋30＝48。小さいのは(18, 30) のときで A＋B＝48です。

【別解による検算】　求めた組をそのまま素因数分解で確かめます。18＝2×3×3、30＝2×3×5。共通部分は 2×3＝6（最大公約数）で一致し、最小公倍数は 2×3×3×5＝90 で一致します。積も 18×30＝540＝6×90 で一致。もう一方の (6, 90) も、6＝2×3、90＝2×3×3×5 で最大公約数6・最小公倍数90となり、条件をすべて満たします。したがって答えは正しいと確認できました。

類題2（速さ・周回コースの出会いと追いかけ）

【方針】　周回コースの問題では、反対方向なら「速さの和」で1周分（1500m）を縮めて出会い、同じ方向なら「速さの差」で1周分の差をつけて追いつく、という2つの見方が急所です。「和」か「差」かを、進む向きで正しく選び分けます。

【解答】　(1) 反対方向なので、2人は合わせて1周1500mを進んだときに出会います。速さの和は 90＋60＝150（m/分）だから、出会うのは 1500÷150＝10分後です。
(2) Aさんは10分間で 90×10＝900m 進みます。よって出会う地点はPからAさんの向きに900mのところです。
(3) 同じ方向では、Aさんが1周分（1500m）だけ多く進んだときに追いつきます。速さの差は 90−60＝30（m/分）だから、1500÷30＝50分後です。

【別解による検算】　(1)(2)は、Bさんの進んだ距離で確かめます。Bさんは10分で 60×10＝600m。Aさんの900mとあわせて 900＋600＝1500m となり、ちょうど1周で出会うことと一致します。(3)は、50分間に各自が進む距離で確かめます。Aさんは 90×50＝4500m＝ちょうど3周、Bさんは 60×50＝3000m＝ちょうど2周。差はきっかり1周（1500m）で、追いつくことと一致しました。

類題3（割合・売買損益）

【方針】　売買の問題は、仕入れ値（もとにする量）を基準にして、定価・売り値・利益を順にそろえるのが基本です。まず仕入れ値を求め、定価で売ったとき・割引きで売ったときの1個あたりの利益をそれぞれ出してから、全体の利益に組み立てます。

【解答】　(1) 定価は仕入れ値の（1＋0.2）＝1.2倍で600円だから、仕入れ値は 600÷1.2＝500円です。
(2) 定価の1割引きは 600×0.9＝540円。1個あたりの利益は 540−500＝40円です。
(3) 定価で売ると1個の利益は 600−500＝100円、割引きで売ると1個40円です。定価で売れた個数を□個とすると、割引きは(100−□)個。利益の式は 100×□＋40×(100−□)＝8800。整理すると 100□＋4000−40□＝8800、60□＝4800、□＝80個です。

【別解による検算】　「もし100個すべてを割引きで売ったら」を出発点にして確かめます。全部割引きなら利益は 40×100＝4000円。実際は8800円で、差は 8800−4000＝4800円です。この差は、定価で売れた1個ごとに利益が 100−40＝60円ずつ多くなることから生まれます。よって定価で売れたのは 4800÷60＝80個で一致しました。念のため、定価80個の利益 100×80＝8000円と、割引き20個の利益 40×20＝800円を足すと 8000＋800＝8800円で、条件どおりです。

類題4（平面図形・平行線と相似、面積比）

【方針】　DEとBCが平行なので、三角形ADEと三角形ABCは形が同じで大きさだけちがう相似な三角形です。相似比は AD：AB で決まり、面積の比は長さの比を2回かけた値になります。四角形DBCEは、大きい三角形から小さい三角形をひいて求めます。

【解答】　(1) AD：DB＝2：3 なので、AD：AB＝2：（2＋3）＝2：5。DEとBCが平行だから三角形ADEと三角形ABCは相似で、相似比は2：5です。よって DE：BC＝2：5です。
(2) 面積比は相似比を2回かけて、（2×2）：（5×5）＝4：25です。
(3) 三角形ADEの面積12cm²がこの「4」にあたるので、1あたりは 12÷4＝3（cm²）。三角形ABC全体は 3×25＝75（cm²）です。四角形DBCEは全体から三角形ADEをひいて 75−12＝63cm²です。

【別解による検算】　四角形DBCEの割合から直接確かめます。三角形ABCを25とすると三角形ADEは4なので、四角形DBCEは 25−4＝21にあたります。三角形ADE（＝4）が12cm²なので、1あたりは3cm²。四角形DBCE＝3×21＝63cm²で一致します。また、三角形ABC全体は 3×25＝75cm²で、12＋63＝75cm²となり、部分の和が全体と合うことも確認できました。

類題5（規則性・階差のある数列）

【方針】　差が 1, 2, 3, … と増える数列です。第□番目の数は、最初の1に「1から（□−1）までの差の合計」を足したものになります。1からnまでの整数の和は n×(n＋1)÷2 で計算できるので、この公式を使うと大きい番号でも一気に求められます。

【解答】　第□番目の数は、1＋（1＋2＋…＋(□−1)）です。
(1) 第10番目は、1に 1から9までの和 9×10÷2＝45 を足して、1＋45＝46です。
(2) 第□番目が100より大きい、つまり 1＋（1から(□−1)までの和）＞100。1から(□−1)までの和が99より大きくなればよいので調べると、1〜13の和は91（第14番目は1＋91＝92）、1〜14の和は105（第15番目は1＋105＝106）。100を初めて超えるのは第15番目です。
(3) 数を第10番目まで書き出すと、1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46。これらの和は 1＋2＋4＋7＋11＋16＋22＋29＋37＋46＝175です。

【別解による検算】　(1)は差を順に足して確かめます。1に差を10−1＝9回、すなわち1から9まで足すと 1＋1＝2、＋2＝4、＋3＝7、＋4＝11、＋5＝16、＋6＝22、＋7＝29、＋8＝37、＋9＝46 となり、第10番目は46で一致します。(2)も、第14番目92・第15番目106という上の値から、初めて100を超えるのは第15番目で一致。(3)は前から順に足していくと、3, 7, 14, 25, 41, 63, 92, 129, 175 と進み、最後は175で一致しました。

学習アドバイス

【時期別】

• 6年生の夏まで：計算力と、割合・比・速さ・平面図形・数の性質といった主要分野の基本を、穴なく仕上げることが最優先です。開智日本橋学園中学校の算数は幅広い分野からの出題が想定されるので、苦手分野を残さないことが安定した得点につながります。計算は毎日、時間を計って正確さを鍛えましょう。
• 秋（9〜11月）：標準からやや応用の問題への対応力と、時間配分の感覚を養う時期です。とくに速さと割合は、問題文が長くても図・表・線分図に整理して読み解く練習を重ねましょう。答えだけでなく、そこにいたる考え方を言葉や式で書き残す練習も、思考力を大切にする学校の入試では有効です。
• 直前期（12月〜1月）：新しい教材を増やすより、これまでの問題を反復し、精度と再現性を高める時期です。本記事の【別解による検算】のように、別のルートで自分の答えを確かめる習慣を試験運びに組み込むと、本番での取りこぼしを減らせます。難問に時間を使いすぎず、取れる問題を確実に取り切りつつ、解けない問題にも途中式を残しましょう。

【分野別】

• 数の性質・整数：最大公約数・最小公倍数は「（最大公約数）×（最小公倍数）＝（2数の積）」と、共通部分をくくり出す見方（類題1）が武器です。素因数分解で答えを確かめる習慣をつけましょう。
• 速さ：周回や旅人算は「反対方向は和、同じ方向は差」（類題2）が基本です。線分図をかき、各自の進んだ距離でも確かめる習慣をつけましょう。
• 割合・売買：売買損益は「仕入れ値を基準にそろえる」（類題3）が軸です。「もし全部を◯◯で売ったら」と仮定して差から逆算するつるかめ算的な見方も使えると強くなります。相当算や食塩水も「もとにする量」を意識して処理しましょう。
• 平面図形：平行線でできる相似は「長さの比の2乗が面積の比」、部分の面積は「全体からひく」（類題4）が定石です。どこが相似で比がいくつかを、最初に書き出す習慣をつけましょう。
• 規則性：差が増える数列は「最初の数＋差の合計」に直し、1からnまでの和の公式（類題5）で処理します。小さい番号で書き出して規則を確かめてから公式に進むと安全です。

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