数学には、知っているだけで解答時間が半分になる「型」があります。しかしその多くは教科書の発展・コラム扱いで、学校で扱われるかどうかが完全に運任せです。このページは、数強塾のプロ講師が「中高一貫校生に早めに渡しておきたい」と考える解法テクニックを、単元別に整理した索引です。
数強塾がテクニックを扱うときの3原則
① 導出できないテクニックは載せない。試験本番で忘れても復元できる形でのみ紹介します。
② 記述式での書き方まで必ず示す。「使えるが、どう書くか」までがセットです。
③ 習得タイミングを明示する。基礎が固まる前に時短だけ覚えるのは、最も危険な遠回りです。
数学II：微分・積分
- 6分の1公式｜放物線と直線で囲む面積を一撃で出す — 。「減点される」という誤解も解説。
- 12分の1公式｜放物線と2本の接線で囲む面積 — 。3分の1公式から2行で導出。
数学II：式と証明・高次方程式
- 組立除法｜多項式の割り算を係数だけで終わらせる — 因数定理・高次方程式・部分分数分解の全部で効く基本技。
数学B：数列
- 漸化式12パターン完全分類｜入試の漸化式はこの地図に収まる — 解ける形は等差・等比の2つだけ。残りはそこへ帰着させる技術。
数学III：積分法
- 瞬間部分積分（DI法）｜部分積分を表で一撃 — 符号ミスが消え、浮いた時間を検算に回せる。
数学A：整数の性質
- 整数問題の3つの方針｜因数分解・余りで分類・不等式で絞るの使い分け — まずはこの総論から。整数問題の目的は「無限の候補を有限に落とす」ことで、その手口は3つしかありません。判断フローチャートと、方針だけを答える練習5問つき。
- ① 積の形に持ち込む｜(x+b)(y+a)=c+ab への変形と、約数を数え切る技術 — 係数が入れ替わる理由、1/x+1/y=1/n の型、平方差の偶奇の罠、負の約数の数え落とし対策まで。
- ② 余りで分類する｜法をいくつに取るかは、式が教えてくれる — 平方数なら4、立方数なら9、累乗なら±1に化ける法。全数検証した剰余表つき。
- ③ 不等式で絞る｜対称性・大小の仮定・増え方の差 — 不等式の供給源を4つの型に分類。「一般性を失わない」の答案での書き方まで。
- ④ 一次不定方程式 ax+by=c｜互除法で解を「作る」 — 3つの方針が候補を絞る道具なのに対し、これだけは解を作る道具。存在条件・一般解・格子点の図解つき。
- ⑤ 素数の使い方｜「素数である」こと自体が絞り込みになる — 2を別扱いする偶奇、5以上の素数は6k±1、等差3つは法3、a^n±1は因数分解の4定石。
- ⑥ 背理法と無限降下法｜「解が存在しない」をどう示すか — 余りで矛盾／背理法と既約性／無限降下法の3段階と、どこまで上がるかの見分け方。
- 実戦例：立方差の恒等式で場合分けを減らす｜a³−b³=N 型の整数問題 — 2005年 京都大学 文系 第4問（a³−b³=65）。3つの方針をすべて使い、8通りの場合分けを実質1通りに減らします。同年の理系第4問（217）との比較つき。
あわせて読みたい：公式・定理の証明シリーズ
「なぜ成り立つのか」から入りたい方は、次の記事もあわせてどうぞ。テクニックは、土台となる定理を理解してから使うほど強く効きます。
テクニックを「使える形」にするために
公式を知っていることと、試験で得点できることの間には、いつも距離があります。その距離を埋めるのは、「どの問題でこれを使うと判断できるか」という経験と、「採点者に伝わる答案の書き方」の2つです。
数強塾では、プロ講師による完全1対1の指導で、この2つを個別に鍛えます。中高一貫校の進度・使用教材（体系数学、4STEP、青チャートなど）に合わせて、いま入れるべきテクニックと、まだ入れるべきでないテクニックを見極めながら進めます。
このページは随時更新します。単元別のテクニックを順次追加していきますので、ブックマークしてお使いください。