中２数学｜樹形図と表で確率を求める方法 場合を漏れなく整理【中2】（無料問題PDF）

確率の問題では、計算より先に「全ての場合」を正しく整理します。結果が段階を追って分かれるときは樹形図、二つの結果を組み合わせて比べるときは表が便利です。どちらも、漏れと重複を防ぎ、同様に確からしい基本結果を見つけるための道具です。

樹形図と表は何のために使うか

確率は、起こり得る全ての基本結果が同様に確からしいとき、次の式で求められます。

したがって、分母と分子を数える前に、基本結果を漏れなく、重複なく並べる必要があります。樹形図と表は、そのための整理方法です。

樹形図の書き方

1. 何を区別するか決める：1回目と2回目、硬貨Aと硬貨B、玉R1と玉R2などを明確にします。
2. 一段階目の枝を書く：一段階目に起こり得る結果を、重複なく並べます。
3. 各枝から次の枝を書く：その結果の後に起こり得るものを全てつなぎます。
4. 枝の先を一つの結果として読む：根元から先端までたどり、順序付きの結果を書きます。
5. 条件に合う先端を数える：全先端の数と、条件に合う先端の数を数えます。

硬貨2枚を樹形図で整理する

枝の数を掛ける考え方

一段階目のどの結果からも、二段階目に同じ数の枝が伸びるなら、先端の総数は枝の数の積で求められます。

積で総数を求めた場合も、必要なら樹形図や順序付きの組で条件に合う結果を確かめます。

取り出したものを戻さない樹形図

玉やカードを取り出した後に戻さないと、次の段階で選べるものが一つ減ります。一段階目の結果ごとに、残っているものを確認して枝を書きます。

順序を区別するかを判断する

同じ二つを選ぶ問題でも、結果の意味によって順序を区別するかが変わります。

二つのさいころを表で整理する

色の違う2個の公平なさいころを投げるとき、1個目の目を行、2個目の目を列にすると、36通りの順序付きの組を一度ずつ表せます。次の表の各マスは、二つの目の和です。

表には36マスありますが、同じ「和」でもマスの数は異なります。例えば和2は1マス、和7は6マスなので、和2から12の11種類を分母にしてはいけません。

条件のあるカードを樹形図で整理する

「2を選ぶ」だけでは不十分です。2が一の位に来る必要があり、十の位には残りの1または3が来ます。

樹形図と表の選び方

• 途中で選べるものが変わる：取り出したものを戻さない問題は、樹形図が分かりやすい。
• 二つの値の和・差・積を調べる：二次元の表が分かりやすい。
• 結果が少ない：順序付きの組を直接書いてもよい。
• 三段階以上ある：樹形図で枝を段階ごとに伸ばすと、漏れを防ぎやすい。

同じ問題を複数の方法で整理しても答えは同じです。初めは樹形図で全体を確かめ、慣れたら積の考え方や表で短く整理するとよいでしょう。

よくある誤りと直し方

確認問題

1. 公平な硬貨1枚と公平な6面さいころ1個を投げるとき、全ての場合は何通りですか。
2. 問題1で、硬貨が表、かつ、さいころが偶数となる確率を求めましょう。
3. 色の違う公平なさいころ2個を投げるとき、目の和が9になる確率を表で求めましょう。
4. 公平な硬貨2枚を投げるとき、少なくとも1枚が裏になる確率を樹形図の先端から求めましょう。
5. 同じ大きさの赤玉R1、R2と青玉Bから、戻さずに2個取り出します。2個とも赤になる確率を求めましょう。
6. 1、2、3、4のカードをよく混ぜ、戻さずに2枚を1枚ずつ無作為に選んで2桁の整数を作ります。できる整数は何個あり、そのうち偶数は何個ですか。偶数になる確率も求めましょう。
7. 「公平な硬貨を3回投げる問題」と「二つのさいころの目の和を調べる問題」には、樹形図と表のどちらがそれぞれ使いやすいですか。
8. 赤玉4個、青玉1個の袋から1個を取り出す問題で、「赤」「青」の二枝を同じ一通りとして数えられない理由を答えましょう。

まとめ

• 樹形図と表は、全ての場合を漏れなく重複なく整理する道具。
• 段階を追って結果が分かれる問題には樹形図、二つの結果の和・差・積には表が便利。
• 樹形図では、根元から先端までを一つの順序付きの結果として読む。
• 取り出したものを戻さないときは、次の枝からそのものを除く。
• 先端やマスを数える前に、それらが同様に確からしい基本結果かを確認する。
• 分母は全ての場合、分子は条件に合う場合の数。

前後の単元