場合の数・確率の特訓道場【第1章】数え方と確率の基本（全35問）

考え方の型　並べる問題は、左から順に「ここに置けるのは何通り？」を数えて、かけていくだけです。

(1)　席が3つ、人が3人います。

1番目の席に座れる人は、まだ誰も座っていないので3人のうち誰でもよく3通り。

2番目の席は、1番目に1人使ってしまったので残り2人から選んで2通り。

3番目の席は、残った1人しかいないので1通り。

積の法則より

\[3\times 2\times 1=6\]

序章で樹形図に書き出した6通り（ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA）と同じですね。書き出した答えとかけ算の答えが一致することを、一度は自分の手で確認しておいてください。

(2)　今度は席が2つしかありません。人は5人います。

左の席…5通り。右の席…左で1人使ったので残り4通り。

\[5\times 4=20\]

ポイント　「5人いるから \(5\times 4\times 3\times 2\times 1\)」としないこと。数えるのは「席の数」だけです。席が2つなら、かけ算も2個で止めます。

(3)①　3桁の整数をつくるということは、「百の位」「十の位」「一の位」という3つの席にカードを置くのと同じです。

百の位…4通り、十の位…残り3通り、一の位…残り2通り。

\[4\times 3\times 2=24\]

(3)②　ここからが本題です。

ここで気づいてほしいのは、足し算の結果は「並べ方」を変えても変わらないということです。123も321も、足せば同じ6です。

ということは、24個を1つずつ調べる必要はありません。「どの3枚を使うか」だけを調べればいいのです。

4枚から3枚を選ぶ選び方を全部書き出します。

使えるのは {1, 2, 3} と {2, 3, 4} の2組。この3枚をどう並べても3の倍数になるので、それぞれ \(3\times 2\times 1=6\) 個ずつつくれます。

\[2\times 6=12\]

答　(1) 6通り　(2) 20通り　(3)① 24個　② 12個

(1)　1回投げるごとに「表」「裏」の2通り。2回投げるので

\[2\times 2=4\]

実際に書き出すと（表表）（表裏）（裏表）（裏裏）の4通りです。

よくあるミス　（表裏）と（裏表）を同じと考えて3通りにしてしまうミスです。1回目と2回目は別の回なので、区別します。

(2)①　硬貨3枚それぞれが2通りなので

\[2\times 2\times 2=2^{3}=8\]

(2)②　8通りしかないので、全部書き出すのがいちばん速くて確実です。表が出た硬貨の金額を合計していきます。

550円以上は3通りです。

ポイント　金額がちがう硬貨のときは、「表が何枚出たか」だけでは合計金額が決まりません。だから枚数で場合分けせず、素直に全部書き出します。

答　(1) 4通り　(2)① 8通り　② 3通り

考え方の型　2つのさいころは、大の目を \(a\)、小の目を \(b\) として \((a,\;b)\) と書くクセをつけてください。「大小」と書いてあるので2つは区別され、\((1,4)\) と \((4,1)\) は別のものとして数えます。

(1)　大が6通り、そのそれぞれに対して小が6通りだから

\[6\times 6=36\]

この36通りは今後ずっと使うので覚えてしまってください。

(2)　\(a+b=5\) になる組を、\(a\) の小さい方から順に書き出します。

4通りです。

(3)　かけて奇数になるのはどんなときでしょうか。

偶数が1つでも混ざると、積は必ず偶数になります（例：\(3\times 2=6\)）。つまり2つとも奇数のときだけ、積が奇数になります。

奇数の目は 1, 3, 5 の3通り。大も小も奇数なので

\[3\times 3=9\]

答　(1) 36通り　(2) 4通り　(3) 9通り

この問題で初めて「選ぶだけで、順番はつけない」タイプが出てきます。ここは第3章でくわしくやりますが、いま必要な考え方だけ先に説明します。

(1)　まず「会長・副会長を決める」つもりで数えると \(6\times 5=30\)（通り）。

でも代表2人には順番がありません。たとえば「AとB」を選んだとき、\((A,\;B)\) と \((B,\;A)\) の2通りに数えてしまっていますが、代表としては同じ1通りです。

どの2人組も必ず2回ずつ数えているので、2で割ります。

\[\frac{6\times 5}{2\times 1}=15\]

この計算を記号で \({}_{6}\mathrm{C}_{2}\) と書きます（Cは Combination ＝ 組合せ の頭文字）。読み方は「ろく　しー　に」です。

(2)　5冊から3冊を選ぶ、順番なし。

並べるつもりで数えると \(5\times 4\times 3=60\)（通り）。3冊の並べ方は \(3\times 2\times 1=6\)（通り）あるので、どの3冊組も6回ずつ数えている。よって

\[{}_{5}\mathrm{C}_{3}=\frac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=10\]

(3)①　6色から3色を選ぶ、順番なし。

\[{}_{6}\mathrm{C}_{3}=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20\]

(3)②　「かならず使う」ものは、もう決まったものとして脇によけます。赤は確定なので、あと2色を残り5色から選ぶだけです。

\[{}_{5}\mathrm{C}_{2}=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10\]

(4)①　ここが上手な考え方の見せどころです。7人を「2人」と「5人」に分けるとき、2人組さえ決めれば、残った5人が自動的に5人組になります。だから2人組を選ぶ選び方を数えるだけでよいのです。

\[{}_{7}\mathrm{C}_{2}=\frac{7\times 6}{2\times 1}=21\]

(4)②　「A君とB君がちがうグループ」を直接数えましょう。分かれ方は次の2通りしかありません。

ⅰ）A君が2人組にいる場合　A君の相棒は、B君以外の5人から1人選ぶので5通り。

ⅱ）B君が2人組にいる場合　同じく5通り。

この2つは同時には起こらないので、和の法則で

\[5+5=10\]

〔別の解き方〕　「ちがうグループ」の反対は「同じグループ」です。
2人そろって2人組 … 1通り。
2人そろって5人組 … 残り5人から2人組を選んで \({}_{5}\mathrm{C}_{2}=10\) 通り。
合わせて11通りなので \(21-11=10\)（通り）。同じ答えになりました。

答　(1) 15通り　(2) 10通り　(3)① 20通り　② 10通り　(4)① 21通り　② 10通り

(1)　弦とは、円周上の2点を結んだ線分のことです。2点を選べば弦が1本決まるので、弦の本数＝2点の選び方の個数です。順番は関係ありません（AとBを結ぶのも、BとAを結ぶのも同じ弦）。

\[{}_{6}\mathrm{C}_{2}=\frac{6\times 5}{2\times 1}=15\]

(2)①　6つの点は円周を等しく6つに分けています。ここから3点を選んで正三角形になるのは、1つおきに点を取ったときだけです。

実際に取ってみると、A → C → E と、B → D → F の2個です。

(2)②　ここで円の重要な性質を使います。

まず直径を探します。6等分点なので、真向かいどうしを結んだ AD, BE, CF の3本が直径です。

そのそれぞれに対し、3つ目の頂点は残り4個の点のどれでもよいので4通り。

\[3\times 4=12\]

答　(1) 15本　(2)① 2個　② 12個

(1)　男女合わせて7人。そこから3人を選ぶ（順番なし）ので

\[{}_{7}\mathrm{C}_{3}=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35\]

(2)　男子から2人を選ぶのが \({}_{4}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{4\times 3}{2\times 1}=6\)（通り）。

そのそれぞれに対し、女子から1人を選ぶのが \({}_{3}\mathrm{C}_{1}=3\)（通り）。

「男子を選び、そして女子を選ぶ」なので、かけ算です。

\[6\times 3=18\]

(3)　「女子がふくまれる」は、女子が1人でも2人でも3人でもよい、という意味です。全部数えると3回に分けて計算しなければなりません。

男子だけで3人を選ぶのは \({}_{4}\mathrm{C}_{3}={}_{4}\mathrm{C}_{1}=4\)（通り）。よって

\[35-4=31\]

答　(1) 35通り　(2) 18通り　(3) 31通り

さいころの目は 1, 2, 3, 4, 5, 6 の6通りで、どれも同じくらい出やすい（同様に確からしい）ので、そのまま分母にできます。

(1)　偶数は 2, 4, 6 の3通り。

\[\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]

(2)　「5以上」は5と6の2通りです（5もふくみます）。

\[\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\]

ポイント　確率の答えはかならず約分してください。\(\dfrac{3}{6}\) のままでは減点対象です。

答　(1) 1/2　(2) 1/3

序章でも触れた、いちばん大事な問題です。

玉は全部で \(4+3=7\)（個）。同じ色でも1個ずつ区別して考えるので、起こりうる場合は7通りで、どれも同じくらい起こりやすいです。

(1)　赤玉は4個あるので \(\dfrac{4}{7}\)

(2)　白玉は3個あるので \(\dfrac{3}{7}\)

よくあるミス　「赤か白かの2通りだから \(\dfrac{1}{2}\)」。これは絶対にやってはいけないまちがいです。赤玉の方が多いのだから、赤が出やすいに決まっています。

ちなみに \(\dfrac{4}{7}+\dfrac{3}{7}=1\) となり、「赤か白のどちらかは必ず出る」ことと合っています。確率を全部足すと1になるので、検算に使えます。

答　(1) 4/7　(2) 3/7

はずれくじの本数は \(14-4=10\)（本）です。

\[\frac{10}{14}=\frac{5}{7}\]

〔別の解き方〕　当たる確率は \(\dfrac{4}{14}=\dfrac{2}{7}\)。「はずれる」は「当たらない」ということなので

\[1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7}\]

この「1から引く」やり方を余事象といいます。第4章でくり返し使う超重要テクニックなので、いまのうちに慣れておいてください。

答　5/7

分母はどれも15です。分子（当てはまる枚数）を正確に数えることだけに集中します。

(1)　1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 の8個。

\[\frac{8}{15}\]

(2)　4の倍数は 4, 8, 12 の3個（16は15をこえるので入りません）。

\[\frac{3}{15}=\frac{1}{5}\]

(3)　9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 の7個。

\[\frac{7}{15}\]

答　(1) 8/15　(2) 1/5　(3) 7/15

考え方の型　この問題の急所はただ1つ。数えるのは「数字の種類」ではなく「カードの枚数」だということです。

(1)　偶数は 2, 4, 6, 8 の4種類ですが、答えは4ではありません。枚数を足します。

\[\frac{9}{21}=\frac{3}{7}\]

(2)　6の約数とは、6をわり切れる数のことです。\(6=1\times 6=2\times 3\) なので、1, 2, 3, 6 の4種類。

\[\frac{14}{21}=\frac{2}{3}\]

答　(1) 3/7　(2) 2/3

(1)　まず前提を確認します。トランプはスペード・ハート・ダイヤ・クラブの4種類（スート）×13枚＝52枚。絵札とは J（ジャック）・Q（クイーン）・K（キング）のことです。

絵札の枚数は \(3\times 4=12\)（枚）。スペードは13枚。

ここで単純に \(12+13=25\) としてはいけません。

「絵札」でも「スペード」でもあるのは、スペードのJ・Q・Kの3枚です。よって当てはまるのは

\[12+13-3=22\]

\[\frac{22}{52}=\frac{11}{26}\]

(2)　当たりやすさは本数ではなく確率（割合）で比べます。

\[\mathrm{A}:\;\frac{15}{40}=\frac{3}{8}=0.375\]

\[\mathrm{B}:\;\frac{37}{100}=0.37\]

\(0.375>0.37\) なので、くじAの方が当たりやすいといえます。

〔分数のまま比べる方法〕　通分してもかまいません。\(\dfrac{3}{8}=\dfrac{37.5}{100}\) なので、\(\dfrac{37}{100}\) より大きいとわかります。

よくあるミス　「Bの方が当たりが37本もあるからB」。本数が多くても、全体の本数がもっと多ければ当たりにくいのです。

答　(1) 11/26　(2) くじA

分母はすべて \(6\times 6=36\) です。あとは分子を数えるだけ。

(1)　和が6になる組を、大の目の小さい順に書き出します。

\[(1,5),\;(2,4),\;(3,3),\;(4,2),\;(5,1)\]

5通りなので \(\dfrac{5}{36}\)

和が7のときが最も多くて6通り、そこから左右に1ずつ減っていきます。

(2)　和は2以上12以下なので、5の倍数になるのは5と10です（15は出ません）。

上の表から、和5は4通り、和10は3通り。「和が5」と「和が10」は同時には起こらないので足し算です。

\[\frac{4+3}{36}=\frac{7}{36}\]

(3)　積が8未満、つまり7以下になる場合を数えます。大の目で場合分けするのが確実です。

合計 \(6+3+2+1+1+1=14\)（通り）。

\[\frac{14}{36}=\frac{7}{18}\]

(4)　直接数えると大変なので、言いかえます。

3の倍数でない目は 1, 2, 4, 5 の4通り。大も小もそうなればよいので \(4\times 4=16\)（通り）。

\[\frac{16}{36}=\frac{4}{9}\]

答　(1) 5/36　(2) 7/36　(3) 7/18　(4) 4/9

(1)　条件は \(a=b+2\)。\(b\) を1から順に入れていきます。

\[(3,1),\;(4,2),\;(5,3),\;(6,4)\]

\(b=5\) だと \(a=7\) となり6をこえるので終わり。4通りです。

\[\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\]

(2)　大は 4, 5, 6 の3通り。小は 1, 2, 3, 4 の4通り。大の条件と小の条件は互いに関係ないので、そのままかけます。

\[\frac{3\times 4}{36}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}\]

(3)　まず \(\dfrac{b}{a}\) が整数になる条件を言いかえます。

\(a\)（分母）で場合分けします。

合計 \(6+3+2+1+1+1=14\)（通り）。

\[\frac{14}{36}=\frac{7}{18}\]

よくあるミス　\(a=1\) のとき「1の倍数」は全部の数だということを忘れて、\(b=1\) だけにしてしまうミスです。

答　(1) 1/9　(2) 1/3　(3) 7/18

むずかしそうに見えますが、頂点に番号をつけるだけで急にラクになります。

考え方の型　円形に並んだものを回る問題は、番号をつけて「わったあまり」で考える。

Aを0番とし、左回りの向きに 1, 2, 3, …, 7 と番号をつけます。図を見ると、頂点Bは2番です。

頂点は8個なので、8番は0番と同じところに戻ります。つまり8でわったあまりだけを考えればよいのです。

次に、1回の移動で番号がいくつ変わるかを整理します。左回りは番号が増える向き、右回りは減る向きです。

最後の行は、たとえば \(-1\) は「8個の頂点を1つ戻る」＝「7つ進む」と同じ、という意味です。

(1)　1回目に1の目が出たので、Pは0番から1つ戻って7番にいます。

ここからBの2番へ行くには、あと何番進めばよいでしょうか。7番から進んで2番（＝10番と同じ）になればよいので

\[10-7=3\]

表の最終行を見ると、変化が3になるのは5の目だけです。

答えは5の目。実際にたしかめると、7番から5つ右回り（戻る）で \(7-5=2\) 番＝頂点B。合っています。

(2)　2回分の変化を足して、8でわったあまりが2になればよいわけです。表の最終行 \(\{7,\;2,\;5,\;4,\;3,\;6\}\) から2つ選んで（1回目・2回目の順に）和が2または10になる組を探します。

5通りです。

\[\frac{5}{36}\]

検算　36通りすべてをコンピュータで調べ、Bに到達するのが5通りであることを確認しました。

答　(1) 5の目　(2) 5/36

(1)　「点が直線上にある」とは、その点の座標を代入すると式が成り立つということです。\(x=a,\;y=b\) を代入して

\[b=2a-1\]

\(a\) に1から順に入れてみます。

3通りなので

\[\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\]

(2)　まず \(ax-by=0\) を \(y=\) の形に直します。\(b\) はさいころの目なので1以上、つまり \(b\neq 0\) です。安心して割れます。

\[by=ax,\qquad y=\frac{a}{b}x\]

これは原点を通る直線です。

\(y=2x+1\) は \(x=0\) のとき \(y=1\) なので原点を通りません。いっぽう \(y=\dfrac{a}{b}x\) は必ず原点を通ります。だからこの2直線が同じ直線になることはありません。

したがって条件は「傾きが等しい」だけでよく

\[\frac{a}{b}=2 \quad\Longleftrightarrow\quad a=2b\]

\((a,b)=(2,1),\;(4,2),\;(6,3)\) の3通り。

\[\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\]

答　(1) 1/12　(2) 1/12

4枚それぞれが表・裏の2通りなので、全体は

\[2^{4}=16\]

(1)　「表が2枚」というのは、4枚のうちどの2枚が表になるかを選ぶことと同じです。

たとえば「AとB が表」なら、残りのCとDは自動的に裏。表になる硬貨を選べば、全体が決まります。

\[{}_{4}\mathrm{C}_{2}=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6\]

\[\frac{6}{16}=\frac{3}{8}\]

(2)　「1枚以下」は0枚または1枚という意味です。

表が0枚 … 全部裏の1通り。

表が1枚 … どの1枚が表かで \({}_{4}\mathrm{C}_{1}=4\)（通り）。

\[\frac{1+4}{16}=\frac{5}{16}\]

答　(1) 3/8　(2) 5/16

全体は \(2^{3}=8\)（通り）です。

(1)　「2枚以上」は2枚または3枚。

2枚 … \({}_{3}\mathrm{C}_{2}=3\)（通り）　3枚 … 1通り

\[\frac{3+1}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\]

(2)　金額がちがうので、合計金額を8通り全部書き出します。

50円以下は3通り。

\[\frac{3}{8}\]

答　(1) 1/2　(2) 3/8

第15問と同じやり方でいきます。

図の \(\mathrm{A}\to\mathrm{B}\to\mathrm{C}\to\mathrm{D}\to\mathrm{E}\) の向きが反時計回りです。そこで A=0, B=1, C=2, D=3, E=4 と番号をつけます。頂点は5個なので、5でわったあまりで考えます。

表が出たら反時計回りに2つ進むので番号 +2。裏が出たら時計回りに1つなので番号 −1。

硬貨は2回だけなので、4通り全部を書き出してしまいます。

Bになるのは2通り。

\[\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\]

ポイント　\(-2\) のようにマイナスになったら、頂点の個数（ここでは5）を足して0以上に直します。\(-2+5=3\) で頂点Dです。

答　1/2

(1)　表が出れば右（\(x\) が1増える）、裏が出れば上（\(y\) が1増える）。どちらが出ても、\(x\) と \(y\) の合計は必ず1ずつ増えます。

3回投げれば合計は3増えるので \(a+b=3\)。よって

\[b=-a+3\]

(2)　まず台形の定義を確認します。

四角形 OABC の対辺の組は「OA と BC」「AB と CO」の2組です。

ここで大きなヒントがあります。C \((5,0)\) と O \((0,0)\) はどちらも \(y=0\)、つまり辺 CO は横向き（x軸に平行）です。

ということは、AB も横向きになれば台形になります。AB が横向きになるのは4回目に表が出たときです。

3回目までに表が \(a\) 回出たとすると、点Aは \((a,\;3-a)\)。4回目が表なら B は \((a+1,\;3-a)\) で、たしかに AB は横向きです。

ただし1つだけ例外があります。\(a=3\) のとき、A は \((3,\;0)\) となってO と C を結ぶ線の上にのってしまいます。すると O, A, B, C が一直線に並んでしまい、そもそも四角形になりません。

だから使えるのは \(a=0,\;1,\;2\) の場合です。

なお、4回目が裏のときは AB がたて向きになり、CO と平行になりません。OA と BC の傾きも調べましたが、こちらも平行にならないので台形にはなりません。

したがって台形になるのは \(1+3+3=7\)（通り）。全体は \(2^{4}=16\)（通り）だから

\[\frac{7}{16}\]

検算　16通りすべてについて「4点が四角形になるか」「対辺が平行か」をコンピュータで判定し、7通りであることを確認しました。

答　(1) \(b=-a+3\)　(2) 7/16

(1)　並べるので、全体は \(6\times 5=30\)（通り）。

3の倍数の判定は「各位の和が3の倍数」でした。そこで3でわったあまりで6枚を分類します。

2つの数の和が3の倍数になるのは、あまりの組合せが

「0 と 0」（\(0+0=0\)）または「1 と 2」（\(1+2=3\)）

のときです（1と1なら和のあまりは2、2と2なら和のあまりは1で不適）。

0と0のとき　{3, 6} から2枚を並べて \(2\times 1=2\)（通り）。

1と2のとき　{1, 4} から1枚（2通り）、{2, 5} から1枚（2通り）を選び、それを十の位・一の位に並べる（2通り）。

\[2\times 2\times 2=8\]

合計10通りなので

\[\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\]

(2)　同時に2枚なので、全体は \({}_{6}\mathrm{C}_{2}=15\)（通り）。

和は最小で \(1+2=3\)、最大で \(5+6=11\)。この範囲の5の倍数は5と10です。

3通りなので

\[\frac{3}{15}=\frac{1}{5}\]

(3)　全体は \({}_{6}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20\)（通り）。

「1」と「2」は入ると決まっているので、残り1枚を残りの4枚（3, 4, 5, 6）から選ぶだけ。4通りです。

\[\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\]

答　(1) 1/3　(2) 1/5　(3) 1/5

(1)　玉は6個。同時に2個なので \({}_{6}\mathrm{C}_{2}=15\)（通り）。

白玉3個から2個を選ぶのは \({}_{3}\mathrm{C}_{2}={}_{3}\mathrm{C}_{1}=3\)（通り）。

\[\frac{3}{15}=\frac{1}{5}\]

(2)　全体は同じく \({}_{6}\mathrm{C}_{2}=15\)（通り）。

白2個から1個（2通り）、赤4個から1個（4通り）を選ぶので \(2\times 4=8\)（通り）。

\[\frac{8}{15}\]

(3)　こちらは「順に取り出す」ので、1回目と2回目をかけていきます。

1回目に青を引く確率　玉は全部で5個、青は2個なので \(\dfrac{2}{5}\)。

2回目に赤を引く確率　1回目で青を1個持っていったので、袋の中は赤3個・青1個の4個になっています。だから \(\dfrac{3}{4}\)。

\[\frac{2}{5}\times\frac{3}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}\]

よくあるミス　2回目も \(\dfrac{3}{5}\) としてしまうミス。「もどさない」と書いてあったら、2回目は袋の中身が減っています。

答　(1) 1/5　(2) 8/15　(3) 3/10

今度は「もとにもどす」です。つまり2回目も袋の中身は最初とまったく同じ。毎回、白は \(\dfrac{2}{5}\)、黒は \(\dfrac{3}{5}\) で変わりません。

(1)　\[\frac{2}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{6}{25}\]

(2)　「同じ色」は白・白か黒・黒のどちらかです。この2つは同時には起こらないので足し算。

\[\frac{2}{5}\times\frac{2}{5}+\frac{3}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{4}{25}+\frac{9}{25}=\frac{13}{25}\]

答　(1) 6/25　(2) 13/25

点が \(y=\dfrac{12}{x}\) 上にあるということは、\(x=a,\;y=b\) を代入して式が成り立つということです。

\[b=\frac{12}{a}\]

分数のままだと扱いにくいので、両辺に \(a\) をかけます。

\[ab=12\]

あとは「かけて12になる、1以上6以下の2数」を探すだけです。

4通りなので

\[\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\]

答　1/9

考え方の型　「増える・減る」はプラスとマイナスの数に直すと一気に見やすくなります。

玉が10個から9個になるのですから、2回分の増減を足すと \(-1\) になればよいわけです。

1回目の値を決めて、2回目に必要な値を出していきます。

4通りなので

\[\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\]

よくあるミス　「1個減るのだから \(-1\)、つまり1の目が2回」と考えてしまうミス。2回の合計が \(-1\) になればよいので、\(+2\) と \(-3\) のような組合せも数えなければなりません。

答　1/9

この問題は図をきちんと読むことがすべてです。適当に「となり合えばひし形だろう」と決めつけると、まず間違えます。

まず、6つの三角形の形を確認する

正六角形の中に、大きな三角形（1つおきの3頂点を結んだもの）が入っていて、その大きな三角形が中心から3つに分かれ、外側に3つの角の三角形が残っています。

この6つはどれも「2辺が短くて、1辺が長い」二等辺三角形です（だから問題文も「正三角形」ではなく「二等辺三角形」と書いてあります）。短い2辺は正六角形の1辺と同じ長さ、長い1辺はそれより長い辺です。

次に、ひし形になる条件を考える

2つの二等辺三角形をくっつけて四角形をつくると、くっつけた辺は内側に消えて、外側に残った4辺が四角形の辺になります。

ⅰ）長い辺どうしをくっつけた場合　外に残るのは「短い辺」が4本。全部同じ長さなのでひし形になります。

ⅱ）短い辺どうしをくっつけた場合　外に残るのは「短い辺2本と長い辺2本」。長さがちがうのでひし形になりません（たこ形になります）。

図で長い辺を共有しているのはどの組か

図をよく見ると、長い辺を共有しているのは

\[\{1,\;4\},\qquad \{2,\;5\},\qquad \{3,\;6\}\]

の3組だけです。1と4のあいだの線、2と5のあいだの線、3と6のあいだの線が、大きな三角形の辺（＝長い辺）になっています。

いっぽう4と5、5と6、6と4のあいだの線は、中心から出ている短い辺なので、この組はひし形になりません。

確率を求める

さいころ A, B には区別があるので、たとえば {1, 4} という組に対して \((A,B)=(1,4)\) と \((4,1)\) の2通りがあります。

\[3 \times 2 = 6\]

\[\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\]

よくあるミス　「となり合う2つならひし形」と考えて \(\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}\) としてしまうミスが非常に多い問題です。となり合っていても、共有する辺が短い方ならひし形になりません。

答　1/6

もとにもどすので、全体は \(8\times 8=64\)（通り）です。

まず方程式を \(x=\) の形に解きます。

\[ax-b=3\]

\[ax=b+3\]

\[x=\frac{b+3}{a}\]

\(b\) は1から8なので、\(b+3\) は4から11までの値をとります。\(a\) ごとに、わり切れる \(b\) を探しましょう。

合計します。

\[8+4+2+2+2+1+1+1=21\]

\[\frac{21}{64}\]

検算　64通りすべてについて \(b+3\) が \(a\) でわり切れるかをコンピュータで調べ、21通りであることを確認しました。

答　21/64

全体は \(9\times 9=81\)（通り）です。

ステップ1　影の部分を「式」に直す

図の影は、次の3つで囲まれています。

• 下はx軸　→　\(y>0\)
• 上は直線 \(y=\dfrac{1}{2}x\)　→　\(y<\dfrac{1}{2}x\)
• 右は円　→　円の内側なので \(x^{2}+y^{2}<95\)

「境界線をふくまない」と書いてあるので、すべて等号なしの不等号です。

\(b\) は1以上なので \(y>0\) は自動的に成り立ちます。残る条件は2つ。

\[b<\frac{1}{2}a \quad\Longleftrightarrow\quad 2b<a\]

\[a^{2}+b^{2}<95\]

ステップ2　b の値ごとに数える

\(b=1\) のとき　\(2\times 1<a\) より \(a>2\)、つまり \(a\ge 3\)。
円の条件は \(a^{2}+1<95\) より \(a^{2}<94\)。\(9^{2}=81<94\) なので \(a=9\) まで大丈夫。
よって \(a=3,4,5,6,7,8,9\) の7通り。

\(b=2\) のとき　\(a>4\) より \(a\ge 5\)。円は \(a^{2}<91\) より \(a\le 9\)。
\(a=5,6,7,8,9\) の5通り。

\(b=3\) のとき　\(a>6\) より \(a\ge 7\)。円は \(a^{2}<86\) より \(a\le 9\)。
\(a=7,8,9\) の3通り。

\(b=4\) のとき　\(a>8\) より \(a=9\) しかありません。ところが

\[9^{2}+4^{2}=81+16=97\]

これは95より大きいので円の外。よって0通り。

\(b\ge 5\) のとき　\(a>2b\ge 10\) となり、\(a\) は9までなので0通り。

ステップ3　合計する

\[7+5+3=15\]

\[\frac{15}{81}=\frac{5}{27}\]

よくあるミス　\((9,\;4)\) を「直線より下だからOK」として数えてしまうミスです。円の内側かどうかを必ず別に確かめること。半径が \(\sqrt{95}\) という中途半端な数になっているのは、まさにこの1点だけを外させるためです。

答　5/27

小さい方を \(s\)、大きい方を \(L\) として、\(s=3\) から順に調べます。「\(s\) でわって2余る数」を10以下で探せばよいのです。

合計します。

\[2+2+1+1+1+1=8\]

ポイント　\(s=3\) のときに \(L=2\) （つまり \(0\times 3+2\)）を入れてはいけません。\(L\) は「大きい方の数」なので \(L>s\) です。

答　8通り

3桁の整数は \(3\times 2\times 1=6\)（個）できます。6個なら全部書いて足してもよいのですが、桁数が増えても通用する解き方を覚えましょう。

考え方　各位に「どの数字が何回」現れるか

百の位に注目します。全部で6個の整数があり、百の位に来る数字は 2, 3, 4 のどれか。2, 3, 4 は対等なので、どれも同じ回数だけ現れます。

\[6\div 3=2\]

つまり、百の位には 2 が2回、3 が2回、4 が2回現れます。十の位も一の位もまったく同じです。

よって、各位に現れる数字の合計はどの位でも

\[2\times(2+3+4)=2\times 9=18\]

位ごとに足す

百の位の合計は \(18\)、これは実際には \(18\times 100\) の値をもちます。同じように十の位は \(18\times 10\)、一の位は \(18\times 1\)。

\[18\times 100+18\times 10+18\times 1=18\times 111=1998\]

検算　実際に書き出すと 234, 243, 324, 342, 423, 432。足すと 1998 になります。

答　1998

「もとにもどさない」ので、全体は \(8\times 7=56\)（通り）。\(a\) と \(b\) は別の数（\(a\neq b\)）である点に注意してください。

ステップ1　解の方から攻める

解を \(p,\;q\)（どちらも自然数）とすると、この2次方程式は

\[x^{2}-ax+b=(x-p)(x-q)\]

と因数分解できるはずです。右辺を展開すると

\[(x-p)(x-q)=x^{2}-(p+q)x+pq\]

左辺と見くらべて

\[p+q=a,\qquad pq=b\]

ステップ2　p を小さい順に動かす

\(p\le q\) として調べます（逆にしても同じ \(a,b\) になるので、片方だけ調べれば十分）。

○が付いたのは9通りです。

\[\frac{9}{56}\]

検算　56通りすべてについて、2次方程式が自然数解だけをもつかをコンピュータで判定し、9通りであることを確認しました。

答　9/56

「〜でない」ときは、まず反対（〜である）を数えるのが定石です。

「BがAの倍数である」場合を、Aで場合分けして数えます。

合計 \(6+3+2+1+1+1=14\)（通り）。

したがって「倍数でない」のは

\[36-14=22\]

\[\frac{22}{36}=\frac{11}{18}\]

ポイント　どんな数もそれ自身の倍数です（例：6は6の倍数）。この点を忘れると数え落とします。

答　11/18

(1)　どの袋も白玉1個・黒玉1個なので、白が出る確率は \(\dfrac{1}{2}\)。3つの袋は互いに関係ないので、そのままかけます。

\[\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\]

(2)　まず袋の中身を書き出して整理します。ここを飛ばすと必ずミスします。

「3個とも同じ色」は3個とも白か3個とも黒のどちらかです。

3個とも白

\[\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{4}{18}\]

3個とも黒

\[\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{18}\]

この2つは同時には起こらないので足します。

\[\frac{4}{18}+\frac{1}{18}=\frac{5}{18}\]

よくあるミス　玉を足したあとのA・Bを、そのまま \(\dfrac{1}{2}\) のまま計算してしまうミス。袋の中身が変われば確率も変わります。

答　(1) 1/8　(2) 5/18

ルールがややこしいので、まず何が起きるのかを整理します。「Aから数字を引いて、その番号の箱に、Bから引いた色の玉を入れる」だけです。

(1)　Aから「1」を引く確率が \(\dfrac{1}{3}\)、Bから青を引く確率が \(\dfrac{1}{2}\)。両方起こればよいので

\[\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\]

(2)　2の箱に玉が入らないということは、Aから「2」以外を引いたということです。Bの色は関係ありません。

Aから1か3を引く確率なので

\[\frac{2}{3}\]

(3)　ここが本問の山場です。「もどさない」ので、2回目にはBの玉が1個しか残っていません。つまり1回目の色が決まれば、2回目の色は自動的に決まります。

1の箱に白玉が入るのは、次の2つの場合しかありません。

ⅰ）1回目に「1の玉」と「白玉」を引く

\[\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\]

ⅱ）1回目は「1以外」と「青玉」、2回目に「1の玉」を引く

1回目にAから1以外を引く確率は \(\dfrac{2}{3}\)。Bから青を引く確率は \(\dfrac{1}{2}\)。

このとき2回目のBには白玉しか残っていません（確率1）。Aには2個残っていて、その中に「1」がふくまれているので、2回目に1を引く確率は \(\dfrac{1}{2}\)。

\[\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\]

それ以外の場合はどうか

1回目に「1の玉」と「青玉」を引いてしまうと、1の箱には青玉が入り、しかも2回目にAから1を引くことはもうできません（もどさないから）。だから白玉は入りません。

1回目に「1以外」と「白玉」を引いた場合は、白玉は別の箱に行ってしまい、2回目に入るのは青玉です。

合計する

\[\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\]

検算　起こりうる12通りをすべて書き出し、1の箱に白玉が入るのが4通りであることを確認しました（\(4\div 12=1/3\)）。

答　(1) 1/6　(2) 2/3　(3) 1/3

(1)　1回目の和は最大でも6なので、①「1回目で9以下」は自動的に成り立ちます。だから②だけ数えればOK。

2回の和が10以上になる組を書き出します。

合計6通りなので

\[\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\]

(2)　こちらは①が効いてきます。2回目までの和を \(s\) とすると

① \(s\le 9\)　　② 3回目の目が \(10-s\) 以上

\(s\) の値ごとに、「2回でその和になる場合の数」と「3回目に条件を満たす目の数」を並べます。2回の和の個数は第13問の山型の表を使います。

\(s\) が3以下だと、3回目に7以上の目が必要になり不可能なので表に入れていません。

各行をかけて足します。

\[3\cdot 1+4\cdot 2+5\cdot 3+6\cdot 4+5\cdot 5+4\cdot 6\]

\[=3+8+15+24+25+24=99\]

3回投げるときの全体は \(6^{3}=216\)（通り）だから

\[\frac{99}{216}=\frac{11}{24}\]

検算　216通りすべてを調べ、「2回の和が9以下、3回の和が10以上」となるのが99通りであることを確認しました。

答　(1) 1/6　(2) 11/24