場合の数・確率の特訓道場【第2章】順列Pをゼロから（全37問）

考え方の型　書き出すときは小さい方の数を先に書くと決めてしまいます。こうするとダブりも数え落としも起きません。

(1)　「同時に2枚」なので順番は関係ありません。{2, 9} と {9, 2} は同じ1通りです。

和が11になる組　小さい方を1から順に試します。

4通りです。（1と10は10が範囲外なので×）

和が12になる組

3通りです。

「和が11」と「和が12」は同時には起こらないので、和の法則で

\[4+3=7\]

(2)　積が10以上15以下、つまり積が 10, 11, 12, 13, 14, 15 のいずれかです。1つずつ調べます。

\[1+0+2+0+1+1=5\]

ポイント　積の問題は「積の値ごとに、かけ算の分解を書き出す」のが確実です。素数（11, 13）は分解できないので0通りだと即断できます。

答　(1) 7通り　(2) 5通り

第1章で使った「和の個数の山型の表」をもう一度出します。これは暗記してしまうと本当に速くなります。

(1)　和が6は5通り、和が7は6通り。同時には起こらないので

\[5+6=11\]

(2)　和は2以上12以下。この中の4の倍数は4, 8, 12 の3つです。

\[3+5+1=9\]

(3)　積が18以上。大の目で場合分けします。

\[1+2+3+4=10\]

答　(1) 11通り　(2) 9通り　(3) 10通り

(1)　和は最小で3（1,1,1）。5以下なので和は3, 4, 5 です。

\[1+3+6=10\]

(2)　積は最小で1（1,1,1）。3以上5以下なので積は 3, 4, 5 です。

\[3+6+3=12\]

ポイント　積が4になるのは \(1\times 1\times 4\) と \(1\times 2\times 2\) の2種類。2通りの分解があることを見落とさないのがコツです。

答　(1) 10通り　(2) 12通り

A→Bの道を1本選ぶと、そのあとB→Cの道は3本のどれを選んでもよい。A→Bのどの選び方に対しても、B→Cが3通りずつあるということです。

\[5\times 3=15\]

なぜ足し算ではないのか　「AからBへ行き、そしてBからCへ行く」と続けて起こるからです。「AからBへ行く、またはBからCへ行く」ではありません。

答　15通り

1回目は 2, 4, 6 の3通り。2回目は 3, 6 の2通り。

1回目に何が出ても2回目の選択肢は変わらないので

\[3\times 2=6\]

答　6通り

男子の選び方が25通り。そのどれに対しても、女子の選び方が20通りずつあります。

\[25\times 20=500\]

答　500通り

3つの選択は互いに関係がないので、積の法則を3つに広げて使います。

\[5\times 4\times 6=120\]

答　120通り

\[8\times 7\times 5=280\]

ポイント　「それぞれのグループから1人ずつ」なので、3人まとめて選ぶわけではありません。グループごとに独立に選ぶので、単純なかけ算になります。

答　280通り

「行ってもどってくる」ので、選ぶ場面は4回あります。順に書き出します。

「同じものを使ってもよい」と書いてあるので、帰りも選択肢は減りません。

\[4\times 3\times 3\times 4=144\]

よくあるミス　①「もどってくる」を読み落として \(4\times 3=12\) にしてしまう。②「同じものは使えない」と思いこんで \(4\times 3\times 2\times 3\) にしてしまう。問題文の「ただし」以降は必ず読むこと。

答　144通り

展開とは、前のかっこから1つ、後ろのかっこから1つ選んでかける作業を、全部の組合せについてやることです。

たとえば \(a\) と \(x\) を選べば \(ax\)、\(b\) と \(z\) を選べば \(bz\)。

選び方は「前が4通り、後ろが3通り」なので

\[4\times 3=12\]

ポイント　文字がすべてちがうので、同類項（まとめられる項）は出ません。だから選び方の数がそのまま項の個数になります。

答　12個

かっこの中の項の個数を数えます。

それぞれから1つずつ選ぶので

\[2\times 3\times 5=30\]

使われている文字が \(x,\;y,\;z\) と全部ちがうので、やはり同類項は出ません。

答　30個

(1)　\(5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\)

(2)　\(7!=7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=5040\)

(3)　\(9!=362880\)（\(8!=40320\) の9倍と考えると速いです）

(4)　\(0!=1\)　… そう定めます（序章のステップ5を読み返してください）

(5)　\(1!=1\)

(6)　\(7!=7\times 6\times \underbrace{5\times 4\times 3\times 2\times 1}\) の下線部が \(5!\) です。だから

\[\frac{7!}{5!}=7\times 6=42\]

(7)　同じように、\(6!\) の中の \(3\times 2\times 1\) が消えて

\[\frac{6!}{3!}=6\times 5\times 4=120\]

(8)　\[\frac{8!}{4!}=8\times 7\times 6\times 5=1680\]

(9)　\[\frac{15!}{10!}=15\times 14\times 13\times 12\times 11\]

順にかけます。\(15\times 14=210\)、\(210\times 13=2730\)、\(2730\times 12=32760\)、\(32760\times 11=360360\)。

答　(1) 120 (2) 5040 (3) 362880 (4) 1 (5) 1 (6) 42 (7) 120 (8) 1680 (9) 360360

ルールは1つだけ。左下の数から始めて1ずつ減らし、右下の数だけかける。

(1)　2個かける　\(6\times 5=30\)

(2)　3個かける　\(10\times 9\times 8=720\)

(3)　4個かける　\(7\times 6\times 5\times 4=840\)

(4)　5個かける　\(5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\)（これは \(5!\) と同じ）

(5)　2個かける　\(50\times 49=2450\)

(6)　3個かける　\(20\times 19\times 18=6840\)

(7)〜(9)は、計算する前に約分できないか探すのがコツです。

(7)　\[\frac{{}_{7}\mathrm{P}_{3}}{{}_{8}\mathrm{P}_{3}}=\frac{7\times 6\times 5}{8\times 7\times 6}\]

上下に \(7\times 6\) があるので消えて

\[=\frac{5}{8}\]

(8)　\[\frac{{}_{10}\mathrm{P}_{2}}{{}_{10}\mathrm{P}_{3}}=\frac{10\times 9}{10\times 9\times 8}=\frac{1}{8}\]

(9)　\[\frac{{}_{5}\mathrm{P}_{3}}{{}_{8}\mathrm{P}_{4}}=\frac{5\times 4\times 3}{8\times 7\times 6\times 5}=\frac{60}{1680}=\frac{1}{28}\]

答　(1) 30 (2) 720 (3) 840 (4) 120 (5) 2450 (6) 6840 (7) 5/8 (8) 1/8 (9) 1/28

(1)　\({}_{n}\mathrm{P}_{2}\) は「\(n\) から2個かける」なので \(n(n-1)\) です。

\[n(n-1)=56\]

連続する2つの整数をかけて56になるものを探します。\(7\times 8=56\) なので \(n-1=7,\;n=8\)。

\(n\ge 2\) を満たすので \(n=8\)。

ポイント　展開して \(n^{2}-n-56=0\) を解いてもかまいません（\((n-8)(n+7)=0\) より \(n=8,\;-7\)。自然数なので \(n=8\)）。ただしかけ算の形のまま探す方が速いことが多いです。

(2)　\({}_{n}\mathrm{P}_{3}=n(n-1)(n-2)\) なので

\[n(n-1)(n-2)=20n\]

\[(n-1)(n-2)=20\]

これも「連続する2整数の積が20」なので \(4\times 5=20\) より \(n-2=4,\;n=6\)。

念のため展開して確かめます。

\[n^{2}-3n+2=20\]

\[n^{2}-3n-18=0\]

\[(n-6)(n+3)=0\]

\(n\ge 3\) より \(n=6\)。

検算　\({}_{6}\mathrm{P}_{3}=6\times 5\times 4=120\)、\(20n=20\times 6=120\)。一致しました。

答　(1) \(n=8\)　(2) \(n=6\)

3桁の整数をつくるとは、「百の位」「十の位」「一の位」の3つの席に数字を置くことです。

ここには0がないので、どの数字を先頭に置いても問題ありません。だから素直に順列です。

\[{}_{5}\mathrm{P}_{3}=5\times 4\times 3=60\]

答　60個

席は5つ、材料は7個。0はふくまれていません。

\[{}_{7}\mathrm{P}_{5}=7\times 6\times 5\times 4\times 3\]

順にかけると \(7\times 6=42\)、\(42\times 5=210\)、\(210\times 4=840\)、\(840\times 3=2520\)。

答　2520個

\[{}_{40}\mathrm{P}_{2}=40\times 39=1560\]

答　1560通り

「選んで並べる」と書いてあるので、そのまま順列です。本棚の左から5つの席に本を置くと考えます。

\[{}_{12}\mathrm{P}_{5}=12\times 11\times 10\times 9\times 8\]

\(12\times 11=132\)、\(132\times 10=1320\)、\(1320\times 9=11880\)、\(11880\times 8=95040\)。

答　95040通り

(1)　「すべて使う」＝席が6つ。これは階乗です。

\[{}_{6}\mathrm{P}_{6}=6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720\]

(2)　席が4つ。

\[{}_{6}\mathrm{P}_{4}=6\times 5\times 4\times 3=360\]

ポイント　(1)と(2)のちがいは席の数だけです。材料は同じ6個。かけ算を何個で止めるかが変わるだけです。

答　(1) 720通り　(2) 360通り

男子側も女子側も役職に上下があるので順列です。そして「男子を決め、そして女子を決める」ので、最後にかけます。

男子：\({}_{18}\mathrm{P}_{2}=18\times 17=306\)（通り）

女子：\({}_{15}\mathrm{P}_{2}=15\times 14=210\)（通り）

\[306\times 210=64260\]

答　64260通り

「第1走者」「第3走者」「第5走者」は走る順番がちがうので、誰がどこを走るかで区別されます。だから順列です。

小学生：\({}_{12}\mathrm{P}_{3}=12\times 11\times 10=1320\)（通り）

中学生：\({}_{8}\mathrm{P}_{2}=8\times 7=56\)（通り）

\[1320\times 56=73920\]

答　73920通り

(1)　まず千の位から決めます。0以外なので 1, 2, 3, 4, 5 の5通り。

残りの3つの位には、使った1個を除いた5個から3個を並べます。

\[{}_{5}\mathrm{P}_{3}=5\times 4\times 3=60\]

\[5\times 60=300\]

ポイント　千の位を決めたあと、残りの候補は「6個 − 使った1個 ＝ 5個」です。0はもう使えないわけではなく、十の位以下では使えます。

(2)　奇数は 1, 3, 5 の3個です。両端（千の位と一の位）に奇数を置きます。

ここで、千の位に奇数を置く時点で自動的に0ではないので、余計な心配は不要です。

両端の決め方：3個の奇数から2個を選んで並べるので \({}_{3}\mathrm{P}_{2}=3\times 2=6\)（通り）

中の2桁：残り4個から2個を並べて \({}_{4}\mathrm{P}_{2}=4\times 3=12\)（通り）

\[6\times 12=72\]

(3)　偶数なので一の位は 0, 2, 4 のどれかです。ここで場合分けが必要になります。

ⅰ）一の位が0のとき

残り3つの位に、残った5個から3個を並べます。

\[{}_{5}\mathrm{P}_{3}=60\]

ⅱ）一の位が2または4のとき（2通り）

千の位は「0」と「一の位に使った数」を除くので \(6-2=4\)（通り）。

残り2つの位は、残った4個から2個で \({}_{4}\mathrm{P}_{2}=12\)（通り）。

\[2\times 4\times 12=96\]

合計

\[60+96=156\]

よくあるミス　場合分けせずに「一の位3通り × 千の位4通り × 残り \({}_{4}\mathrm{P}_{2}\)」＝144 としてしまうミス。これは一の位が0のときの千の位を4通りと数えてしまっているので、少なく出ます。

答　(1) 300個　(2) 72個　(3) 156個

(1)　「400以上」＝百の位が4以上ということです。使える数字のうち4以上は 4, 7, 8, 9 の4通り。

残り2つの位は、残った6個から2個を並べて \({}_{6}\mathrm{P}_{2}=6\times 5=30\)（通り）。

\[4\times 30=120\]

ポイント　百の位が4以上なら、その時点で必ず400以上になります。十の位・一の位は何でもかまいません。

(2)　奇数なので一の位が奇数。使える奇数は 3, 7, 9 の3通り。

次に百の位。「0」と「一の位で使った数」を除くので \(7-2=5\)（通り）。

最後に十の位。残った5個から1個で5通り。

\[3\times 5\times 5=75\]

なぜこの順に決めるのか　条件のついている位（一の位）を最初に、次に0の制約がある位（百の位）を2番目に、自由な位を最後に決めます。この順番を守ると、必ず場合分けなしで解けます。

(3)　偶数は 0, 2, 4, 8 の4個です。

百の位は偶数かつ0でないので 2, 4, 8 の3通り。

一の位は、残った偶数3個（0をふくむ）から1個で3通り。

十の位は、残った5個から1個で5通り。

\[3\times 3\times 5=45\]

答　(1) 120個　(2) 75個　(3) 45個

ステップ1　女子2人を「セロテープでくっつけた1人」だと思います。すると並べるものは

の4個になります。この4個を1列に並べる方法は

\[4!=4\times 3\times 2\times 1=24\]

ステップ2　ところが、かたまりの中では女子AとBのどちらが左かで2通りあります。

だから \(2!=2\) 倍します。

\[24\times 2=48\]

よくあるミス　ステップ2を忘れて24としてしまうミス。かたまりを作ったら、必ず中身の並べ方をかけると覚えてください。

答　48通り

図の4つの場所は左から右に一列に並んでいます。だから「となり合う」のは隣どうしの区画だけです。

4色を4つの場所に1つずつ割りあてるので、全体の塗り方は

\[4!=24\]

このうち青と緑がとなり合うものを、ひとかたまり作戦で数えます。

［青緑］を1つとみると、並べるものは3個。

\[3!\times 2!=6\times 2=12\]

答　12通り

「1, 2, 3 がとなり合う」とは、この3つがひとかたまりになって連続しているという意味です（並ぶ順番は問いません）。

ステップ1　［123］を1つとみると、並べるものは

の3個。並べ方は \(3!=6\)（通り）。

ステップ2　かたまりの中で 1, 2, 3 を並べかえる方法は \(3!=6\)（通り）。

\[6\times 6=36\]

検算　\(5!=120\) 個すべてを列挙し、1, 2, 3 の位置が連続しているものが36個であることをコンピュータで確認しました。

答　36個

1人の席を固定して、残り4人を並べます。

\[(5-1)!=4!=24\]

答　24通り

\[(8-1)!=7!=5040\]

ポイント　「円形の板の上」なので、板ごとひっくり返すことは考えません（次の第65問と比べてください）。

答　5040通り

\[(10-1)!=9!=362880\]

答　362880通り

(1)　ふつうの円順列です。

\[(6-1)!=5!=120\]

(2)　ここがこの問題の面白いところです。

つまり、円順列で数えた120通りのうち、2通りずつが同じ首飾りを表しています。だから2でわります。

\[\frac{5!}{2}=\frac{120}{2}=60\]

ポイント　この「裏返して同じ」を考える並べ方をじゅず順列ということもあります。「板の上」なら \((n-1)!\)、「首飾り・ブレスレット・じゅず」なら \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) と覚えてください。

答　(1) 120通り　(2) 60通り

場所は「千・百・十・一」の4か所。それぞれに6通りの数字を入れられます（使っても減らない）。

\[6^{4}=6\times 6\times 6\times 6=1296\]

ポイント　0がふくまれていないので、最高位の制約を考える必要はありません。

答　1296個

並べる場所は5か所。それぞれに4色のどれを置いてもよい。

\[4^{5}=1024\]

よくあるミス　\(5^{4}=625\) としてしまうミスです。「たくさんある旗」は選択肢（底）、「5つ並べる」が場所（指数）。旗はたくさんあるので減りません。

答　1024通り

この問題は「どちらを場所とみるか」で答えが変わってしまう、重複順列の最重要問題です。

ここではカード1枚1枚が、必ずどこか1つの箱に入ります。カードが2つの箱に同時に入ることはありません。

いっぽう箱の方は、空っぽでもよいし、何枚入ってもよいので「必ず1つに決まる」ものではありません。

したがって、カードが場所（5か所）、箱が選択肢（7通り）です。

\[7^{5}=16807\]

よくあるミス　\(5^{7}=78125\) としてしまうミス。「箱ごとにカードを5通りから選ぶ」と考えたくなりますが、箱は空でもよく、同じカードを2つの箱に入れることもできないので、その数え方は成り立ちません。

答　16807通り

(1)　まず言葉の確認です。

さいころの目の差の絶対値は0以上5以下なので、条件に合うのは2または4です。

差が2　\((1,3),(2,4),(3,5),(4,6)\) の4組。大小を入れかえたものも別に数えるので

\[4\times 2=8\]

差が4　\((1,5),(2,6)\) の2組。入れかえも数えて

\[2\times 2=4\]

\[8+4=12\]

よくあるミス　「偶数」に0をふくめて \((1,1),(2,2),\dots\) の6通りを足してしまうミス。「正の」と書いてあれば0は除きます。

(2)　各グループから独立に1人ずつなので

\[5\times 4\times 8=160\]

答　(1) 12通り　(2) 160通り

この章で学んだ型が全部そろっています。1問ずつ「どの型か」を判定してから解きます。

(1)　型1：ふつうの順列

\[{}_{9}\mathrm{P}_{4}=9\times 8\times 7\times 6=3024\]

(2)　型1（0がないので制約なし）

\[{}_{6}\mathrm{P}_{3}=6\times 5\times 4=120\]

(3)　型2：0をふくむ整数づくり。条件のある位から決めます。

一の位（奇数）… 1, 5, 7 の3通り

千の位（0でない、一の位で使った数も除く）… \(6-2=4\)（通り）

残り2つの位 … 残った4個から2個で \({}_{4}\mathrm{P}_{2}=12\)（通り）

\[3\times 4\times 12=144\]

(4)　型3：となり合う。特定の2人をかたまりに。全部で9人なので、かたまりを作ると8個。

\[8!\times 2!=40320\times 2=80640\]

(5)　型4：円順列

\[(9-1)!=8!=40320\]

(6)　型4：重複順列。ただし百の位に0は置けません。

百の位 … 0以外の5通り　　十の位 … 6通り　　一の位 … 6通り

\[5\times 6\times 6=180\]

ポイント　(6)は「くり返してよい」ので、百の位で使った数字を十の位・一の位で再び使えます。だから6通りのままです。

答　(1) 3024通り (2) 120個 (3) 144個 (4) 80640通り (5) 40320通り (6) 180個

(1)　「となり合わない」＝あいだ入れ法

男子5人を1列に並べます。並べ方は \(5!=120\)（通り）。

このとき、すき間は次のように6か所できます（△がすき間）。

この6か所から3か所を選んで女子を1人ずつ入れれば、女子どうしが必ず離れます。女子には区別があるので、選んで並べる＝順列です。

\[{}_{6}\mathrm{P}_{3}=6\times 5\times 4=120\]

\[120\times 120=14400\]

なぜすき間が6か所か　男子5人のあいだが4か所、両端が2か所で合計6か所です。

(2)　「少なくとも」＝余事象

まず NUCLEAR を分解します。N, U, C, L, E, A, R の7文字で、同じ文字はありません。

「7文字なので中央は4番目」です。指定された場所は1番目・4番目・7番目の3か所。

全体の並べ方は \(7!=5040\)（通り）。

3か所とも子音になるのは、子音4個から3個を選んでその3か所に並べ（\({}_{4}\mathrm{P}_{3}\)）、残り4文字を残り4か所に並べる（\(4!\)）ので

\[{}_{4}\mathrm{P}_{3}\times 4!=(4\times 3\times 2)\times 24=24\times 24=576\]

\[5040-576=4464\]

(3)　辞書式の順位

まず6文字をアルファベット順に並べます。

\[a,\;b,\;s,\;u,\;w,\;y\]

求めたい単語は \(subway\)、つまり \(s\to u\to b\to w\to a\to y\) です。

1文字目　\(s\) より前は \(a,\;b\) の2個。この2つで始まる単語は、残り5文字の並べ方の分だけあるので

\[2\times 5!=2\times 120=240\]

2文字目　1文字目が \(s\) と決まった。残りは \(a,\;b,\;u,\;w,\;y\)。2文字目は \(u\) ですが、\(u\) より前は \(a,\;b\) の2個。

\[2\times 4!=2\times 24=48\]

3文字目　\(su\) まで決まった。残りは \(a,\;b,\;w,\;y\)。3文字目は \(b\) で、\(b\) より前は \(a\) の1個。

\[1\times 3!=6\]

4文字目　\(sub\) まで決まった。残りは \(a,\;w,\;y\)。4文字目は \(w\) で、\(w\) より前は \(a\) の1個。

\[1\times 2!=2\]

5文字目　\(subw\) まで決まった。残りは \(a,\;y\)。5文字目は \(a\) で、\(a\) より前はなし。

\[0\]

6文字目　残りは \(y\) だけなので自動的に決まります。

合計して +1

\[240+48+6+2+0=296\]

\(subway\) より前に296個あるので、\(subway\) は297番目です。

検算　720個の単語をすべて辞書順に並べ、\(subway\) が297番目であることをコンピュータで確認しました。

(4)　立体のぬり分け

正四角錐の面は、正方形の底面が1つと、合同な二等辺三角形の側面が4つです。

底面だけは形がちがうので、どんなに回転しても側面と入れかわりません。だから底面から決めます。

ステップ1　底面の色 … 5通り。

ステップ2　残り4色を4つの側面にぬります。ここで、この立体は底面の中心を軸としてクルクル回せます。90度回すと側面が1つずつずれますが、それは同じぬり方です。

つまり4つの側面は円形に並んでいるのと同じ。円順列で

\[(4-1)!=3!=6\]

ステップ3　\[5\times 6=30\]

検算　5色の割りあて \(5!=120\) 通りを、側面の回転（4通り）で同じものにまとめて分類し、ちょうど30種類になることをコンピュータで確認しました。

答　(1) 14400通り　(2) 4464通り　(3) 297番目　(4) 30通り

この2問のちがいがわかれば、組分けの問題はほぼ卒業です。

(1)　1人ずつについて「Aに入るか、Bに入るか」の2通り。6人いるので

\[2^{6}=64\]

「1人も入らない部屋があってもよい」ので、全員がAに入る場合（1通り）も数に入っています。

(2)　(1)とのちがいは2つあります。

ステップ1　空の組を除く

全員Aと全員Bの2通りを引いて

\[2^{6}-2=64-2=62\]

ステップ2　区別がないので2でわる

たとえば「{1,2} と {3,4,5,6}」という分け方は、上の62通りの中に

の2回現れています。組に名前がなければこの2つは同じ分け方なので、2でわります。

\[\frac{62}{2}=31\]

よくあるミス　①2でわり忘れて62　②空の組を引き忘れて32。「区別があるか」「空を許すか」を必ず先にチェックしてください。

答　(1) 64通り　(2) 31通り