鎌倉学園中学校 2025年度 算数 過去問の傾向と解答・解説

鎌倉学園中学校 2025年度（一次）算数の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（学校公表の模範解答ではありません。公開資料に模範解答は同梱されていません）。全問、受験算数の正攻法と別解（方程式・全探索・シミュレーション等）による二重検算を行っています。問題文・図は掲載していませんので、鎌倉学園公式サイト公開のPDFをお手元にご用意ください。

大問1（計算）　答：(1) 76　(2) 15　(3) 3/4　(4) 10

整数の四則混合、小数と分数の混合計算、分数のたし算の工夫、小数のかけ算の工夫、の4問です。

【📖大切な考え方】計算問題は「かっこの中→かけ算・わり算→たし算・ひき算」の順序が絶対です。(3)(4)は左から力ずくで計算せず、「共通のかたまり」を見ぬけるかを試しています。

解答：
(1) かっこの中は 3×4−1＝11。わり算を先にして 40÷8＝5。
よって 48−5＋3×11＝48−5＋33＝76。
(2) 前半：2−1.28＝0.72、3.6÷0.72＝5、5÷2＝2.5。
後半：2/7−1/6＝12/42−7/42＝5/42。3×5/42×7÷(1/5)＝(3×5×7×5)/42＝525/42＝12.5。
合計 2.5＋12.5＝15。
(3) 分母に注目すると 242＝2×121、726＝6×121、1452＝12×121。121をかけると分母の121が消えて、
与式＝1/2＋1/6＋1/12＝6/12＋2/12＋1/12＝9/12＝3/4。
(4) 0.875＝7/8、0.625＝5/8、0.375＝3/8 と「8分の」の形にそろえます。
与式＝30×7/8−20×5/8−10×3/8＝(210−100−30)÷8＝80÷8＝10。

【✅検算】4問とも分数計算のプログラムで左から計算し直し、76・15・3/4・10 と一致しました。

大問2（小問集合）　答：(1) 5/14　(2) 8/21 L　(3) 71点　(4) 13と11/13分後

(1) 逆算：3/4から「かたまり」を引くと1/3になる空らんつきの式です。

解答：（かたまり）＝3/4−1/3＝5/12。これは「1/4×（2と6/7−空らん）÷1と1/2」なので、
（2と6/7−空らん）＝5/12×1と1/2×4＝5/12×3/2×4＝5/2。
空らん＝20/7−5/2＝40/14−35/14＝5/14。代入すると式の値はちょうど1/3に戻ります。

(2) あまりのある分数のわり算：7と5/7Lのジュースを2/3Lずつビンに分けたときのあまりを求めます。

【👀ここに注目】「何本できるか」ではなく「何Lあまるか」。わり算の商を整数で止めてあまりを出すのがポイントです。分母を21にそろえると、7と5/7L＝162/21L、ビン1本分＝14/21L。
解答：162÷14＝11あまり8 なので、11本に分けられて、あまりは21分の1Lが8個分＝8/21L。（検算：2/3×11＋8/21＝154/21＋8/21＝162/21 ✓）

(3) 平均：4教科の合計は323点。算数以外の3教科の平均は78点、理科以外の3教科の平均は83点、社会と算数は同じ点数で、国語を求めます。

解答：算数以外の3教科の合計＝78×3＝234点 だから、算数＝323−234＝89点。
理科以外の3教科の合計＝83×3＝249点 だから、理科＝323−249＝74点。
社会＝算数＝89点。よって国語＝323−89−74−89＝71点。

(4) 時計算：3時ちょうどから、長針と短針が「3の方向」をはさんで同じ角度になる時刻を求めます。

【📖大切な考え方】3時のとき、長針は「3の方向」まであと90度の位置（12の方向）にあり、毎分6度で近づきます。短針は「3の方向」から毎分0.5度ずつはなれていきます。2つの角度が等しくなるのは、長針の残り角度が短針の進んだ角度と等しくなる瞬間です。
解答：長針が進んだ角度＋短針が進んだ角度＝90度 になればよいので、
90÷(6＋0.5)＝90÷6.5＝180/13＝13と11/13分後。

【✅検算】180/13分後の長針は6×180/13＝83.1度、短針は90＋0.5×180/13＝96.9度の位置。3の方向（90度）からの角度はどちらも約6.9度で一致しました。

大問3（平面図形の小問）　答：(1) 45度　(2) 37.68cm²

(1) 角度：一直線上にB、D、Cが並び、三角形ABCは角Aが直角、角Bが30度。AC＝CDで、辺AB上の点EとC、D、Aが結ばれ、CEと底辺の角が15度のとき、角x（角EDB）を求めます。

【👀ここに注目】「等しい長さ」を追いかけると、二等辺三角形が次々に見つかる問題です。カギはAC＝AD＝AEがすべて等しくなることです。

方針・解答：三角形ABCで、角A＝90度・角B＝30度だから角ACB＝60度。
①AC＝CDで、はさむ角ACD＝60度。頂角60度の二等辺三角形は正三角形なので、三角形ACDは正三角形。よって AD＝AC、角ADC＝60度。
②角ECD＝15度だから、角ECA＝60−15＝45度。EはAB上の点なので角EAC＝90度。三角形AECは角A＝90度・角C＝45度の直角二等辺三角形となり、AE＝AC。
③①②より AD＝AE。角EAD＝角EAC−角DAC＝90−60＝30度。二等辺三角形AEDの底角は (180−30)÷2＝75度、つまり角ADE＝75度。
④Dのまわりで、角BDE＝180−（角ADC）−（角ADE）＝180−60−75＝45度。

【✅検算】座標計算（三角比を使った数値計算）でも角EDB＝45.000度。角Aが直角、AC＝CD＝1になることも同時に確認しました。

(2) おうぎ形の等積変形：半径12cmの四分円（中心O、半径OA・OBが直角）の弧ABを3等分し、3等分点から半径OBに垂直な線を引いてできる、まん中の帯状の部分の面積を求めます。

【📖大切な考え方】3等分点をAに近い方からP、Qとすると、Pは「Aから30度」、Qは「Aから60度＝Bから30度」の位置。30度の角をもつ直角三角形は正三角形の半分なので、PからOAまでの高さは半径の半分の6cm、QからOBまでのきょりも同じく6cmです。

方針・解答：たての半径OB上に、Pと同じ高さの点S、Qと同じ高さの点Tをとります。斜線部分はS・T・Q・（弧）・Pで囲まれた帯です。
・帯に三角形OSPを下からくっつけた図形は、「たて線O→T、横線T→Q、弧Q→P、半径P→O」で囲まれます。
・おうぎ形OPQに三角形OTQをくっつけた図形も、まったく同じ囲みになります。
・三角形OSP（たてOS＝6cm・横SP）と三角形OTQ（たてOT・横TQ＝6cm）は、PとQが45度の線をはさんで対称の位置にあることから、たてと横が入れかわっただけの合同な直角三角形です。
よって 斜線部分＝おうぎ形OPQ＝12×12×3.14×30/360＝144×3.14÷12＝37.68cm²。

【✅検算】コンピュータの数値積分で帯の面積は37.699…cm²（円周率をそのまま使った値）。円周率3.14に直すとちょうど37.68cm²で一致しました。

【💡ポイントコラム】「曲線で囲まれた面積が、なぜかぴったりおうぎ形になる」のは偶然ではなく、対称な三角形の付けかえ（等積変形）が背後にあります。斜線部分がそのままでは求められないときは、「同じ面積の三角形を出し入れできないか」を疑うのが鎌倉学園の図形攻略の定石です。

大問4（規則性・数字の並び）　答：(1) 3　(2) 16回　(3) 907

1、2、3、…と整数を並べ、2桁以上の整数は数字を1桁ずつばらして並べる数列（1, 2, …, 9, 1, 0, 1, 1, 1, 2, …）の問題です。

【📖大切な考え方】この型は「1桁の整数で9個」「2桁の整数は1個につき2個」「3桁は1個につき3個」と、ブロックごとに個数を数えるのが定石です。

解答：
(1) 1〜9で9個。50番目まで残り41個は2桁の整数20個（10〜29）で40個使い、41個目は30の十の位。よって50番目の数は3。
(2) 100番目まで：9＋91個。91＝2×45＋1なので、10〜54の45個と、55の十の位「5」まで。つまり1〜54の数字がすべてと「5」が1個。
2が現れるのは、一の位が2（2、12、22、32、42、52）で6回、十の位が2（20〜29）で10回、合計16回。
(3) 1〜99で 9＋180＝189個。数字の和は、1〜9が45、10〜99は十の位の和450＋一の位の和405＝855。
残り11個は100・101・102の9個（和は1＋1＋1＋1＋2＝6）と、103の「1」「0」の2個（和1）。
合計 45＋855＋6＋1＝907。

【✅検算】実際に数列を200個作るプログラムで、50番目は3、100番目までの2は16個、200個の和は907。すべて一致しました。

大問5（数の性質・逆順の2整数）　答：(1) 9と9　(2) 3と24　(3) 47

足した答えとかけた答えの「数字の並びが逆」になる2つの整数を考える問題です（例：2と497 → 和499、積994）。和や積が1桁になる場合は除きます。

【👀ここに注目】和と積を「十の位」「一の位」の関係で見比べます。1桁どうしなら和は最大18。調べる範囲がせまいことに気づけば全探索も立派な正攻法です。

解答：
(1) 2つとも1桁なら、和は10〜18のどれか。並びを逆にした積の候補は「01〜81」ですが、積が2桁になる必要があるので、和18・積81の組を調べると 9＋9＝18、9×9＝81 でぴったり。よって9と9。（和10〜17に対応する積01〜71で作れる組がないことも確かめられます）
(2) 和が27なら積は72。和27・積72となる2数は、72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝8×9 の中から和が27になる組をさがして3と24。
(3) もう1つの整数を□（2桁）とすると、和＝□＋2、積＝□×2。積は和の2倍より4小さいことに注目します。和を「十の位s・一の位t」とすると、積は「十の位t・一の位s」なので、
10×t＋s＝(10×s＋t)×2−4 → 8×t＝19×s−4。
sに1から順に入れると、19×s−4が8の倍数になるのはs＝4のとき（t＝9）だけ。和＝49、□＝49−2＝47。（確認：2＋47＝49、2×47＝94 ✓。例の497と同じく「4…7」の形になるのが面白いところです）

【✅検算】(1)は45通り、(3)は2桁の整数90通りをコンピュータで全探索し、条件を満たすのがそれぞれ「9と9」「47」だけであることを確認しました。(2)も和27の組を全探索して3と24のみでした。

大問6（数の操作・各位の積）　答：(1) 0　(2) 24個　(3) 77

整数の各位の数字をかけ合わせ、結果が2桁以上ならまた各位をかける…をくり返し、1桁になったらその値をAとする操作の問題です（例：246→48→32→6）。

解答：
(1) 87→8×7＝56→5×6＝30→3×0＝0。操作3回で終わり、A＝0。
(2) A＝0になるのは、操作の途中で「一の位が0の2桁の数」（10、20、30…）が現れるときです。2桁の整数を分類すると、
・一の位が0：10、20、…、90の9個（1回で0）。
・積が10になる25・52、積が20になる45・54、積が25→10となる55、積が30になる56・65、積が40になる58・85、積が45→20となる59・95。ここまで5がらみで11個。
・積が54→20となる69・96、積が56→30となる78・87 の4個。
合計 9＋11＋4＝24個。
(3) 操作の回数が多い数は、積がなかなか1桁にならない数。77→49→36→18→8 で4回かかります。ほかの2桁はどれも3回以下（たとえば88→64→24→8の3回）なので、答は77。

【✅検算】10〜99の90個すべてをコンピュータで操作し、A＝0は上の24個、操作回数の最大は4回で77だけでした。

【💡ポイントコラム】この操作は数学の世界で「乗法的persistence（しつこさ）」と呼ばれ、77が2桁チャンピオンであることは有名です。入試では知識ではなく「もれなく分類して数え上げる」腕前が問われます。A＝0の分類では『5と偶数が同居すると一の位が0になる』という感覚が効きます。

大問7（図形の移動・ひもの巻きつけ）　答：(1) 25cm　(2) 141.3cm²　(3) 23.75cm

1辺5cmの正五角形ABCDEの頂点Aにひもをつけ、ひもはA→Bの向きにまっすぐのばした位置から、たるまないように反時計回りに動かして五角形に巻きつけていきます。ひもの先たんがFです。

【📖大切な考え方】巻きつけ問題では、ひもは「頂点を中心とするおうぎ形」を順にえがきます。回転の角度は正五角形の外角＝180−108＝72度ずつ。中心がB→C→D→Eと移るたびに、半径は5cmずつ短くなります。

解答：
(1) ひもはBを中心に72度、次にCを中心に72度…と巻きつき、最後はEを中心に回ってひも全体が五角形の辺にそいます。FがちょうどAに重なるのは、A→B→C→D→Eの4辺（20cm）を巻き取ったあと、残りがEA間の5cmぴったりのとき。よってひもの長さ＝20＋5＝25cm。
(2) ひもの長さが20cmのとき、「AB上にひもがある」段階＝Bを中心とする回転です。動くのはBより先の部分（20−5＝15cm）で、回転角は72度。ひもAF全体が通過するのは半径15cmのおうぎ形なので、
面積＝15×15×3.14×72/360＝225×3.14÷5＝45×3.14＝141.3cm²。
(3) 同じくBを中心とする72度の回転で、Fが動くきょりは半径を□cmとすると 2×□×3.14×72/360＝2×□×3.14÷5。これが23.55cmだから、
□＝23.55×5÷(2×3.14)＝117.75÷6.28＝18.75cm。
ひもの長さ＝AB＋□＝5＋18.75＝23.75cm。

【✅検算】(1)は正五角形の座標を使った巻きつけシミュレーションで、ひも25cmのとき最終位置のFとAのきょりが0.000になることを確認。(3)は逆に半径18.75cmで弧の長さを計算し直すと 2×3.14×18.75÷5＝23.55cm でぴったりでした。

大問8（立体図形・容器を傾ける）　答：(1) 216cm³　(2)① 108cm³　② 3cm

1辺9cmの立方体から、上の1つの角にそって1辺6cmの立方体をくり抜いたような形の、上面が開いた容器です（内側のくぼみは、たて・よこ6cm、深さ6cm。まわりの壁とゆかの厚みは3cm）。面ABCDは、上のふちの辺ABと、ななめ反対側の底の辺CDを含む長方形の面です。

【👀ここに注目】(2)は「ABの方向から容器を真横に見た断面図」で考えるのが決め手です。くぼみの断面は1辺6cmの正方形になります。

解答：
(1) 水が入るのはくぼみの部分だけなので、容積＝6×6×6＝216cm³。
(2)① 面ABCDが水平になるのは、容器をちょうど45度傾けたときです。真横から見ると、くぼみの正方形の断面（1辺6cm）も45度傾き、水面はこの正方形の対角線の位置まで下がります（水面は、くぼみの内側の上のふちと、ゆかの外側のふちを通ります）。つまり残る水は正方形の半分。
残った水＝216÷2＝108cm³、こぼれた水＝216−108＝108cm³。
② 元に戻すと、水108cm³が6×6の底に広がるので、深さ＝108÷36＝3cm。ちょうどくぼみの深さの半分です。

【✅検算】容器を45度傾けた状態を座標で表し、乱数200万点による体積測定を行ったところ、残る水は約107.9cm³で、計算値108cm³と一致。戻したときの深さ108÷36＝3cmも割り切れる値になりました。

【💡ポイントコラム】「傾けた容器」は、立体のまま考えると手も足も出ませんが、傾きの軸に垂直な断面を切り出せば平面図形の問題に変わります。45度傾けたときに直角二等辺三角形や対角線が現れるのは定番の展開。断面図に「水面は必ず水平」と書きこむ習慣をつけましょう。

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