鎌倉学園中学校 算数 過去問の傾向と解説一覧【年度別】

数強塾オリジナル 類題4問——「工夫に気づけば取れた問題」を、気づく練習にする

このページで私は、意識したい3つのことの②として「計算の工夫への感度」を挙げ、こう書きました。「西暦の数を使った計算や共通のかたまりでくくる問題が好まれる傾向があり、力ずくで計算すると時間が足りなくなる設計です」。

また演習のすすめ方でも、丸付けのあとに「①確実に取るべきだった問題」「②工夫に気づけば取れた問題」「③今は捨ててよい問題」に仕分けることをおすすめしました。ところが読み返すと、その②を練習する素材を置いていません。ここを埋めます。

下に4問置きます。すべて数強塾の完全オリジナル類題で、答えはこちらで検算しました。4問とも、力ずくでも解けます。ただし、工夫すると所要時間が数分の1になります。

工夫は「速く解くため」だけのものではありません。力ずくの道は計算回数が多く、その1回ごとにミスの機会があります。工夫は、時間だけでなく正確さも同時に上げます。このページに書いたとおり、合格者の算数の最高点は3日程とも80点台——満点の受験生はいませんでした。だからこそ、取れる問題を確実に取り切る技術が効きます。実際の入試問題ではありませんので、本番の問題は公式サイトのPDFでご確認ください。

類題1　共通のかたまりでくくる

解答

なので、真ん中の項は

これで3つとも のかたまりになりました。

かっこの中は 。したがって答えは 。

答えが になるのは偶然ではありません。作った側が「くくれば になる」ように数を選んでいるからです。数字の中に、同じ数や、その 倍・半分が見えたら、くくれる合図。西暦や、そのまわりの数（半分・ 倍）が並んでいるときは、特に疑ってください。

検算

力ずくでも確かめます。、、。

2つの道で一致しました。ただし、この検算に 分かかっています——本番では、工夫の道だけで済ませるべきだと分かります。

類題2　差に分解する

解答

分母が「 ずつ離れた2数の積」なので、差に分解できます。

（ で、これを 倍すると 。たしかに合っています）

全部並べると、となりどうしが次々に消えます。

を掛けるのを忘れるのが、この形でいちばん多い誤りです。理由まで押さえておきましょう—— を通分すると分子は「」、ここでは になります。もとの分子は なので、 倍して調整する。「離れている数だけ、割る」と覚えると、 とび・ とびでも同じように作れます。

検算

力ずくでも。分母を にそろえると 。

と は で約分できて 　○

大きさの見当でも。最初の項だけで 、全部足しても 。 は超えません（無限に足しても ）　○

類題3　 から引く

解答

正方形の紙を と考えます。まず半分（）を取る。残りの半分（）を取る。またその残りの半分（）を取る——これをくり返すと、取った合計は

から、まだ取っていない部分を引いたものになります。 回取ったあと、残っているのは 。

「足し算を、引き算に読みかえる」のがこの工夫です。半分ずつ足していく形は、いつも「 から最後の項を引く」で終わります。項が 個あっても 個あっても同じ——通分の手間が、項の数に関係なくゼロになります。

検算

力ずくでも。分母を にそろえると

分子の も、 になっています——同じ構造です　○

項を減らして確かめることもできます。。式では 　○

類題4　わり算を分数に直してくくる

解答

小数を分数に直します。

どちらも のかたまりなので、くくれます。

わり算のままではくくれません。 と を並べても、共通のかたまりが見えないからです。分数に直して「かける」形にした瞬間に、くくれるようになります——くくるための前処理だと思ってください。類題1の「 は の半分」も、同じく前処理です。

検算

力ずくでも。、、差は 　○

形でも確かめられます。 は のちょうど 倍なので、 は のちょうど半分。だから「元 − その半分 ＝ 半分」で、答えは と同じになります　○　この見方なら、筆算1回で済みます。

4つの工夫と、見つける目印

2列目の「見つける目印」が、この記事でいう「計算の工夫への感度」の中身です。解き方を思いつくのではなく、目印を見つける——順番が逆になっていることに注意してください。

丸付けのあとの仕分けに使う

このページで、演習後に3つに仕分けることをおすすめしました。上の4問は、その仕分けの練習にもなります。

• ①確実に取るべきだった問題　→　力ずくでも時間内に終わったはずの問題。計算ミスなら、途中式の書き方を直す。
• ②工夫に気づけば取れた問題　→　上の4問がこれです。復習でやるべきは解き直しではなく、「目印は何だったか」を1行書くこと。
• ③今は捨ててよい問題　→　工夫を知っていても時間内には終わらない問題。次の年度に回します。

②の復習で、もう一度解き直してはいけません。解き方はもう分かっているからです。やるべきは目印を覚えること——「同じ数の 倍が並んでいた」「分母が積の形だった」。目印は問題を見た瞬間に使うもので、解き終わってからでは遅いので、目印だけを集めたページを作るのがおすすめです。

この4問で確認したこと

• 工夫は速さだけでなく正確さも上げる。計算回数が減れば、ミスの機会も減る。
• 同じ数・その 倍・半分が並んでいたらくくれる合図（類題1）。
• 分母が「2数の積」で並んでいたら差に分解。離れている数だけ割る（類題2）。
• 半分ずつ足す形は から最後の項を引く。項が何個でも同じ（類題3）。
• わり算は分数に直すとくくれるようになる。これは前処理（類題4）。
• 復習は解き直しではなく、目印を1行書く。目印は問題を見た瞬間に使うもの。

各年度の傾向と解説は、このページの「年度別 傾向と解答・解説」からご覧ください。他校の傾向は 中学受験 算数 過去問の傾向と解説 学校別まとめ、類題つきの学校別記事としては 女子学院中学校 算数の傾向と対策【オリジナル類題つき】 もあります。

合格ラインの実データは 24校の合格ラインは49.4〜78.0%、算数の比重は 20校156回分の公表データを全部数えた にまとめました。

「なぜそうなるのか」は なぜ分数で割ると逆数を掛けるのか と なぜ分数は割り算と同じものなのか（類題4）、なぜ約分してよいのか（類題2）、なぜ階差を取ると数列の次数が1つ下がるのか と なぜ等差数列の和は「最初と最後の平均×個数」なのか（類題2・3）に書いてあります。

この計算の工夫は、中学の文字式で「共通因数でくくる」としてそのまま体系化されます。中1数学の要点辞典、型でそろえるなら 正負の数 全10型。全体の入口は 数学の要点辞典まとめ です。