30秒でわかる結論検算とは「もう一度解き直す」ことではありません。同じ手順をなぞれば、同じ間違いをします。
別の経路で確かめるのが検算です。型は7つ。
① 逆代入：方程式なら、答えを元の式に入れる。
② 極端な値：0、1、とても大きい数を入れて、破綻しないか。
③ 次数と単位：長さ＋面積のような式になっていないか。
④ 対称性：対称な問題なら、答えも対称か。
⑤ 特別な場合：n＝1, 2 で、公式が実際に合うか。
⑥ 微分して戻す：積分の答えは、微分すれば元に戻る。
⑦ 別解で出す：2通りで解いて一致するか。
どれも30秒で終わります。解き直しより速く、しかも確実です。
別の経路で確かめるのが検算です。型は7つ。
① 逆代入：方程式なら、答えを元の式に入れる。
② 極端な値：0、1、とても大きい数を入れて、破綻しないか。
③ 次数と単位：長さ＋面積のような式になっていないか。
④ 対称性：対称な問題なら、答えも対称か。
⑤ 特別な場合：n＝1, 2 で、公式が実際に合うか。
⑥ 微分して戻す：積分の答えは、微分すれば元に戻る。
⑦ 別解で出す：2通りで解いて一致するか。
どれも30秒で終わります。解き直しより速く、しかも確実です。
見直しても間違いが見つからない——よくあることです。同じ道を歩けば、同じ落とし穴に落ちるからです。
検算は「別の道から答えに近づく」作業です。この記事では、その道を7本示します。
この記事を読む前に（前提）
- 答えの形から逆算する｜解く前に「答えはこうなるはず」を予想する技術。検算と表裏です
- 同値変形と必要十分｜どの操作で解が増えるか。逆代入が必要になる理由
- 対称性の活用｜④で使う。ただし「対称だから答えも対称」が成り立たない場合も
- 積分の方針の決め方｜⑥の検算が効く場面
- 図の描き方7つの原則｜図は検算にも使える。答えと図が食い違ったらどちらかが誤り
1. 7つの型と、効く場面
| 型 | 何をするか | 効く問題 |
|---|---|---|
| ① 逆代入 | 答えを元の式に入れる | 方程式・連立・分数方程式（解が増えていないか） |
| ② 極端な値 | 0, 1, 大きい数を入れる | 文字式・不等式・場合の数 |
| ③ 次数と単位 | 次数が揃っているか見る | 式変形・図形の量（長さと面積を足していないか） |
| ④ 対称性 | 文字を入れ替えて同じか | 対称式・3変数の問題 |
| ⑤ 特別な場合 | n＝1, 2 を入れる | 数列の一般項・和の公式・二項定理 |
| ⑥ 微分して戻す | 積分の答えを微分 | 不定積分（ほぼ100%見つかる） |
| ⑦ 別解 | 2通りで解く | 図形・場合の数（時間があるとき） |
検算の本質は「行きと帰りで違う道を使う」ことです。積分して微分で戻すのは、まさに逆向きの道。方程式を解いて代入するのも、逆向き。同じ計算をなぞる見直しは、検算とは呼びません。
2. 例題｜わざと間違えた答えを、検算で捕まえる
例題1 方程式 √x+2＝x を解いたところ、x＝2 と x＝−1 が出た。検算せよ。★★
①逆代入。
x＝2：左辺＝√4＝2、右辺＝2。○
x＝−1：左辺＝√1＝1、右辺＝−1。1≠−1 なので×。
答：x＝2 のみ
ひとこと2乗すると解が増えます。両辺を2乗して x+2＝x2 を解くと x＝2, −1 が出ますが、2乗は同値変形ではないので、必ず戻して確かめます。
根号・分母払い・2乗が出てきたら、逆代入は必須です。→ 同値変形と必要十分
x＝2：左辺＝√4＝2、右辺＝2。○
x＝−1：左辺＝√1＝1、右辺＝−1。1≠−1 なので×。
答：x＝2 のみ
ひとこと2乗すると解が増えます。両辺を2乗して x+2＝x2 を解くと x＝2, −1 が出ますが、2乗は同値変形ではないので、必ず戻して確かめます。
根号・分母払い・2乗が出てきたら、逆代入は必須です。→ 同値変形と必要十分
例題2 「n 人が全員と1回ずつ握手する回数は n(n−1) 回」という答えを検算せよ。★★
⑤特別な場合。n＝2 を入れる。
2人なら握手は1回のはず。
公式では 2×1＝2回。合わない。
正しくは n(n−1)2 で、n＝2 なら 1回。○
（n＝3 でも確かめる：公式は 3、実際も A-B, B-C, C-A の3回。○）
ひとことn＝1, 2, 3 を入れるだけで、公式の間違いはほぼ見つかります。「2で割り忘れ」はこの単元で最も多いミスで、n＝2 を入れれば一瞬で分かります。一般項や和の公式を出したら、必ず小さい n で確かめてください。
2人なら握手は1回のはず。
公式では 2×1＝2回。合わない。
正しくは n(n−1)2 で、n＝2 なら 1回。○
（n＝3 でも確かめる：公式は 3、実際も A-B, B-C, C-A の3回。○）
ひとことn＝1, 2, 3 を入れるだけで、公式の間違いはほぼ見つかります。「2で割り忘れ」はこの単元で最も多いミスで、n＝2 を入れれば一瞬で分かります。一般項や和の公式を出したら、必ず小さい n で確かめてください。
例題3 「a+b＝5、ab＝6 のとき a2+b2＝25−6＝19」という答えを検算せよ。★★★
④対称性と⑤特別な場合。
この条件を満たすのは a, b＝2, 3。
実際に計算すると 4+9＝13。19 は誤り。
正しくは (a+b)2−2ab＝25−12＝13。
2ab の 2 を落としていた。
ひとこと対称式の問題は、実際の値が出せることが多い——a, b が 2, 3 と分かれば、直接計算できます。「文字のまま出した答え」を「具体的な数」で確かめるのが、この型の検算です。文字式の公式を使ったら、数を入れて確かめる癖をつけてください。
この条件を満たすのは a, b＝2, 3。
実際に計算すると 4+9＝13。19 は誤り。
正しくは (a+b)2−2ab＝25−12＝13。
2ab の 2 を落としていた。
ひとこと対称式の問題は、実際の値が出せることが多い——a, b が 2, 3 と分かれば、直接計算できます。「文字のまま出した答え」を「具体的な数」で確かめるのが、この型の検算です。文字式の公式を使ったら、数を入れて確かめる癖をつけてください。
例題4 半径 r、高さ h の円柱の表面積を 「2πr2+2πrh」と答えた。検算せよ。★★★
③次数と単位。
表面積は長さの2乗の次元を持つ。
2πr2：r が2つ → 2乗。○
2πrh：r と h で2乗。○
次数が揃っているので、この点では問題ない。
②極端な値でも確かめる。h＝0 なら円柱は円板2枚分で 2πr2。公式に h＝0 を入れると 2πr2。○
答：正しい
ひとこと「2πr+2πrh」と書いていたら、次数で即座に分かります（1乗と2乗を足している）。長さ・面積・体積が混ざる問題では、次数チェックが最速です。h＝0 のような「つぶれた形」を入れるのも強力で、図形の公式はこれでほとんど検算できます。
表面積は長さの2乗の次元を持つ。
2πr2：r が2つ → 2乗。○
2πrh：r と h で2乗。○
次数が揃っているので、この点では問題ない。
②極端な値でも確かめる。h＝0 なら円柱は円板2枚分で 2πr2。公式に h＝0 を入れると 2πr2。○
答：正しい
ひとこと「2πr+2πrh」と書いていたら、次数で即座に分かります（1乗と2乗を足している）。長さ・面積・体積が混ざる問題では、次数チェックが最速です。h＝0 のような「つぶれた形」を入れるのも強力で、図形の公式はこれでほとんど検算できます。
例題5 ∫x cos x dx を 「x sin x+cos x+C」と答えた。検算せよ。★★★
⑥微分して戻す。
(x sin x+cos x)′＝sin x+x cos x−sin x＝x cos x
元に戻った。正しい。
（もし「x sin x−cos x」なら、微分すると xcos x+2sin x となり、その場で誤りが分かります。）
ひとこと不定積分の検算は、微分するだけ。ほぼ100%間違いが見つかります。しかも積分より微分のほうが簡単なので、時間もかかりません。積分の答えを書いたら、必ず微分してください。これをやるかどうかで、数III の失点は大きく変わります。
例題6 「x>0 のとき x+1x の最小値は 1」という答えを検算せよ。★★★★
②極端な値。x＝1 を入れると 1+1＝2。
最小値が 1 なら、2 は最小値以上のはず——それは矛盾しない。しかし 1 になる x が存在するかを確かめる。
x+1/x＝1 とすると x2−x+1＝0。判別式は 1−4＝−3<0 で実数解なし。
値 1 を取る x が存在しないので、1 は最小値ではない。
正しくは相加相乗平均より 2（x＝1 のとき）。
ひとこと「最小値」と答えたら、その値を実際に取る x があるかを必ず確かめます。等号成立の確認と呼ばれる手順です。相加相乗平均で「2以上」と示しただけでは、2 になる場合があることを言わないと最小値とは言えません。
最小値が 1 なら、2 は最小値以上のはず——それは矛盾しない。しかし 1 になる x が存在するかを確かめる。
x+1/x＝1 とすると x2−x+1＝0。判別式は 1−4＝−3<0 で実数解なし。
値 1 を取る x が存在しないので、1 は最小値ではない。
正しくは相加相乗平均より 2（x＝1 のとき）。
ひとこと「最小値」と答えたら、その値を実際に取る x があるかを必ず確かめます。等号成立の確認と呼ばれる手順です。相加相乗平均で「2以上」と示しただけでは、2 になる場合があることを言わないと最小値とは言えません。
例題7 △ABC で AB＝3、AC＝4、∠A＝60° のとき、BC＝√13 と答えた。2通りで検算せよ。★★★★
⑦別解。
[1] 余弦定理：BC2＝9+16−2⋅3⋅4⋅cos 60°＝25−12＝13。BC＝√13。
[2] 座標：A を原点、AB を x 軸に置く。B(3, 0)、C＝(4cos 60°, 4sin 60°)＝(2, 2√3)。
[1] 余弦定理：BC2＝9+16−2⋅3⋅4⋅cos 60°＝25−12＝13。BC＝√13。
[2] 座標：A を原点、AB を x 軸に置く。B(3, 0)、C＝(4cos 60°, 4sin 60°)＝(2, 2√3)。
BC2＝(3−2)2+(0−2√3)2＝1+12＝13
2通りで一致。正しい。
（②極端な値でも：∠A＝90° なら BC＝5（3:4:5）。60° はそれより小さい角なので BC<5。√13≈3.6<5 で整合。）
ひとこと別解は時間がかかりますが、最も確実です。まったく違う道具（余弦定理と座標）を使うのがポイントで、同じ道具の2回目では検算になりません。
時間がないときは、極端な値で「だいたい合っているか」を見るだけでも大きな間違いは捕まります。
3. つまずきやすいところ
3.1 同じ手順をなぞってしまう
見直しで間違いが見つからないのは、同じ道を歩いているからです。計算を追うのではなく、答えのほうから元の式へ戻る——これが検算です。
方程式なら代入、積分なら微分、公式なら小さい n。必ず逆向きか、別の道を選んでください。
方程式なら代入、積分なら微分、公式なら小さい n。必ず逆向きか、別の道を選んでください。
3.2 検算を「時間があれば」にする
7つの型はどれも30秒以内です。解き直しは5分かかりますが、n＝2 を入れるのは10秒。時間がないときこそ、短い検算を選んでください。
3.3 等号成立を確かめない
例題6のとおり、「〜以上」を示しただけでは最小値とは言えません。その値を実際に取る場合があるか——不等式で最大最小を出したら、必ず確かめます。
3.4 対称性を過信する
「対称な問題だから答えも対称」は、成り立たないことがあります。検算に使うのはよいのですが、対称でないから間違い、とは断定できません。→ 対称性の活用に、成り立たない例があります。
4. まとめ
- 検算は解き直しではない。行きと帰りで違う道を使う。
- 方程式 → 逆代入。特に2乗・分母払い・根号のあとは必須。
- 公式 → n＝1, 2 を入れる。2で割り忘れはこれで捕まる。
- 積分 → 微分して戻す。ほぼ100%見つかり、しかも速い。
- 図形の量 → 次数を見る。長さと面積を足していないか。
- 最大最小 → 等号成立を確かめる。その値を取る場合があるか。
検算は「もう一度やる」ではなく「逆から見る」技術です。だから解くのと同じ時間はかかりません。30秒で足ります。
そして検算は、答えが合っているときにも意味があります——「この答えでよい」と確信できれば、次の問題に迷いなく進めるからです。試験で最後まで解ききる人は、たいてい検算が速い人です。
そして検算は、答えが合っているときにも意味があります——「この答えでよい」と確信できれば、次の問題に迷いなく進めるからです。試験で最後まで解ききる人は、たいてい検算が速い人です。
次に読むもの
- 使っていない条件はないか｜答えではなく条件を確かめる側。この記事と対になります
- 答えの形から逆算する｜解く前に答えを予想する。検算と表裏の技術
- 同値変形と必要十分｜どの操作で解が増えるか。逆代入が必要になる場面
- 対称性の活用｜④の型と、その限界
- 積分の方針の決め方｜⑥が効く場面。方針の選び方も
- 図形問題を幾何・座標・ベクトルのどれで解くか｜⑦の別解を、図形で実演しています
- 数学 手技辞典｜単元をまたいで効く道具の索引
