a³−b³=65 の整数解｜8通りの場合分けを1つの恒等式で1通りに減らす【2005年 京都大学 文系 第4問】

2005年（平成17年度）京都大学の入試数学は、文系と理系の両方で 第4問 にほとんど同じ顔の整数問題を置きました。文系は 、理系は 。どちらも「整数の組をすべて求めよ」の一行問題です。

この問題は、素直に解くと8通りの連立方程式が出てきます。標準的な解答は、そこから符号と3の倍数を使って場合を減らしていきます。この記事では、数強塾の独自研究として、たった1つの恒等式で符号・サイズ・3の剰余を同時に片付けてしまう整理の仕方を示します。結論だけ先に言うと、8通りの場合分けは実質1通りまで落ち、同じ道具が理系の にも、その他の にもそのまま効きます。

1．問題 ―― 文系と理系が、同じ形で出題された

同じ年の、同じ番号に、同じ形。違うのは右辺の数だけです。ところが答えの個数は文系が2組、理系が4組と食い違います。この差がどこから来るのかも、記事の後半で説明します。

2．素直に解くと、なぜ8通りになるのか

整数問題の基本方針は3つ。因数分解する・余りで分類する・不等式で絞る。この問題は左辺がきれいに因数分解できるので、まず1つ目を選びます。

整数どうしの積が なので、 は の約数です。 なので、負も含めた約数は

の 8個

したがって、次の8通りの連立方程式が生まれます。

2元2次の連立方程式が8組。全部解けば必ず答えは出ますが、試験時間を考えると現実的ではありません。京大がこの一行問題に30点を配ったのは、8通りを解く計算力ではなく、8通りを減らす発想を見たかったからだと考えるのが自然です。

3．標準的な解答が使う「2本のナイフ」

ナイフ1：符号 ―― は負にならない

を について平方完成します。

2乗の和なので、実数 に対してつねに0以上です。上の表で右側の列（(5)〜(8)）は が負なので、これで4通りが一瞬で消えます。

ナイフ2：3の倍数 ―― が整数であること

もう1つ、次の変形が使えます。

つまり と の差は、必ず の倍数です。これを各ケースで確かめると、

ここまでで残りは(2)と(4)。(2)は から となり 。これが答えです。

問題は(4)です。 かつ 。ここから先が地味に重い。 の約数の組を調べるか、 を代入して の判別式 を計算するか。どちらにせよ、4桁の計算が1回入ります。

4．【本題】1本の恒等式で、符号もサイズも同時に片付く

結論から書きます。次の恒等式が、この問題のすべてを引き受けます。

実際に展開してみます。

足すと と の項が打ち消し合って、。確かに成立します。

2つの文字を置き換える

ここで と を新しい文字にします。

、、

すると恒等式はこうなります。

この1本の式から、必要な情報が3つとも自動的に出てきます。

系1（符号）： である

と書き直します。 であり、 なので左辺は正。したがって 、すなわち が確定します。

【ここが効いている】平方完成をして「 だから4通り消える」と論じるのと同じことを、この式は置き換えた瞬間に済ませています。負の約数4個は、そもそも候補に上がりません。

系2（サイズ）：

（ なので）ですから、

これが本記事でいちばん言いたいことです。 は の約数であるだけでなく、 以下という上限を持ちます。 なら で、。つまり

は の正の約数で、かつ 　→　 か だけ

約数 と は、この時点で消えます。先ほど手計算を要求してきたケース(4)は、 が を超えるという一言で終わりです。

図1： のグラフと の壁。 は壁の下にあるが、 では となり壁をはるかに超える。 は「 の約数」であると同時に「 以下」でなければならない。

系3（3の剰余）： は3で割り切れる

の両辺を で割ると 。移項して

左辺は3の倍数なので、右辺も3の倍数でなければなりません。これは第3節の「 が整数」という条件と同じことを別の顔で書いたものです。3本目のナイフも、同じ式から出てきました。

5．3行で終わる解答（文系4番）

あとは戻すだけです。

【検算】。。どちらも成立します。さらに の全数探索でも、解はこの2組しか現れないことを確認しました。

図2：曲線 と、その上にある2つの格子点。2点は破線 について互いに鏡像になっている。次の節で、この対称性が偶然でないことを示す。

6．なぜ解は必ずペアで現れるのか

図2を見ると、2つの解が直線 について対称に並んでいることに気づきます。これは偶然ではありません。

この操作を2回行うと元に戻ります（）。つまり解の集合は2つずつペアになっているのです。実際 に施すと 。まさにもう一方の解です。

の言葉で見るともっと明快です。 のとき

は不変、 は符号が反転

だからこそ、第5節の表で と符号2つが同時に出てきたのです。 の が、そのままペアの正体でした。

ペアが1つにつぶれる例外

ペアの2つが一致するのは 、すなわち 、つまり のときだけです。このとき 。

が「立方数の2倍」でないかぎり、解の個数は必ず偶数

は の形ではないので、解の個数は偶数。実際に2組でした。一方 なら が唯一の解で、確かに奇数個（1組）になります。

7．「3で割った余り」の正体

第3節で使った「 が整数」という条件、第4節の系3で出てきた「 が3の倍数」という条件。この2つの背後には、次の事実があります。

証明。 なので、 で割った余りは の余りに等しい。整数の2乗を で割った余りは か しかない（ を2乗して確かめられる）。よって の余りも か 。■

この補題を使うと、ケース(1)が消える理由が一段深く見えます。 なので を で割った余りは 。そもそも という数は の形に書けないのです。同じ理由でケース(3)の （余り ）も不可能。

【なぜこうするか】「 で割った余り」を選ぶ必然性は、 と の差がちょうど だからです。差が の倍数なら、 を法にすれば2つは同じ顔になる。余りで分類するときは「何で割るか」を式が教えてくれる——ここが、闇雲に や を試すのとの決定的な違いです。

8．同じ年の理系4番 も、同じ3行で解ける

道具が本物かどうかは、別の問題に当てて確かめるのが一番です。理系の でやってみます。、。

は の正の約数で 。、 は論外。よって 。

【検算】。。。。4組すべて成立。全数探索でもこの4組だけでした。

文系は2組、理系は4組。この差はどこから来たか

両者を分けたのは、 のケースが生き残るかどうかでした。

第7節の補題で言えば、 は で割った余りが なので の形に書けず、（すなわち ）は最初から不可能。一方 は で割った余りが で、実際に と書けてしまう。文系と理系の難易度差は、右辺の数を で割った余りに仕込まれていたわけです。

より深く見ると、 の形に表せる整数は、 で割って 余る素因数を偶数個しか含まないもの、という古典的な事実（アイゼンシュタイン整数のノルムの理論）に行き着きます。 の がまさに「 で割って 余る素数」で、しかも1個。ここが文系版の急所でした。高校範囲では第7節の補題までで十分です。

9．一般化 ―― を解くアルゴリズム

ここまでの議論は にも にも依存していません。正の整数 について、そのまま次のようにまとめられます。

【落とし穴】③の偶奇のチェックを飛ばしてはいけません。たとえば で は を満たしますが、 となり整数解ではありません（ は の約数でもない）。式を満たすことと、整数解であることは別です。

実際に回してみると、 がどれだけ大きくても調べる は数個で済みます。以下はすべて、 の全数探索と一致することを確認した結果です。

だけ解が1組なのは、第6節で見たとおり が「立方数の2倍」だからです。理論どおりに例外が出ています。

10．答案での書き方 ―― 減点されないために

採点基準は公表されていないので断定はできませんが、論理の飛びを埋めておくという原則は変わりません。この解法で書くときに、埋めるべき穴は3つです。

もちろん、標準的な「8通り→符号で4通り→ で2通り→判別式」の道筋でも完答できます。試験本番で恒等式が思い出せなければ、迷わず標準ルートで走ってください。本記事の狙いは「速い別解を暗記する」ことではなく、「なぜ場合分けが減るのか」を1つの式で見通すことです。

11．練習問題

12．この記事の独自研究について

誠実に書いておきます。恒等式 そのものは、 という二次形式（アイゼンシュタイン整数のノルム）を平方完成した形と本質的に同じもので、数学的に新しい発見ではありません。

数強塾の独自研究として提示しているのは、次の3点です。

• この恒等式を「場合分けを機械的に減らす道具」として一本化し、符号・サイズ・3の剰余という3種類の絞り込みが1つの式から順に導かれることを整理したこと。
• そこから という上限を取り出し、標準解法で最後まで残る のケースを計算せずに落とせることを示したこと。
• 同じ枠組みで、同年の理系4番 との難易度差を「 を で割った余り」として説明したこと。

本文中の解・個数・表の値は、すべて全数探索による独立検証を行っています。誤りにお気づきの方は、お問い合わせフォームからご指摘いただけると助かります。

13．よくある質問

14．関連ページ

• 整数問題の3つの方針｜因数分解・余りで分類・不等式で絞るの使い分け（総論）
• ① 積の形に持ち込む整数問題｜変形の3つの型と約数の数え方
• ② 余りで分類する整数問題｜法をいくつに取るかは式が教えてくれる
• ③ 不等式で絞る整数問題｜対称性と大小の仮定
• 京都大学 2005年度 数学 過去問・解答（この記事で扱った問題の原典）
• 京都大学 2008年度 数学 過去問の全問解説
• 大学入試 過去問の全問解説
• 解法テクニック一覧
• 高1数学：整数の性質（無料プリント）
• 無料プリント・映像授業