共通テスト2024 数学Ⅰ・A 全問解説（令和6年度本試験・全23問）

2024年（令和6年度）大学入学共通テスト「数学Ⅰ・数学A」本試験を、必答2問と選択3問のすべてについて解説します。最終答案だけでなく、式の立て方、考え方を選ぶ理由、検算、間違えやすい点まで一続きで確認できます。

第1問・第2問は必答です。第3問〜第5問は3問から2問を選びますが、この記事では学習用に3問とも扱います。問題の条件、図表から読み取る数値、選択肢を本文中に記載しているため、このページだけで問題と解説を順に確認できます。

この記事の目次

第1問：無理数／電柱の影
第2問：動く点／データの分析
第3問：全種類のカードがそろう確率
第4問：n進数タイマー
第5問：星形五角形と円

第1問（30点・必答）数と式／図形と計量

〔1〕√13を小数第2位まで絞る

問題：整数 n が n<2√13<n+1 を満たすときの n を求める。さらに a=2√13−n、b=1/a と定め、b と a²−9b² を指定された形に直す。得られた不等式を使い、√13 の整数部分、小数第1位、小数第2位を決定する。

最終答案：ア=7、イ=7、ウ=3、エオカ=−56、キク=14、ケ=3、コ=6、サ=0。

7²=49<52<64=8² より、7<2√13<8 です。したがって n=7、a=2√13−7 となります。

b=1/a の分母を有理化すると、

b=(2√13+7)/(52−49)=(7+2√13)/3

です。また 3b=7+2√13 なので、差の平方を計算すれば

a²−9b²=(2√13−7)²−(7+2√13)²=−56√13

を得ます。

この方法でうまく解ける理由：平方根を整数と比べるときは2乗すると安全です。また、分母の共役を掛けると無理数が消え、問題が求める「整数＋無理数」の形に直接そろいます。

さらに 14/3<b<15/3 から 3/15<a<3/14。ここへ a=2√13−7 を戻すと、

3.6<√13<3.607142…

となるため、整数部分3、小数第1位6、小数第2位0が確定します。

検算：√13=3.605551… で、絞り込んだ区間と3・6・0の各桁が一致します。(a−3b)(a+3b)=−14×4√13=−56√13 でも確認できます。

よくある誤り：正の数の逆数を取ると不等号の向きが逆になります。14/3<b<5 からは 1/5<a<3/14 です。

〔2〕勾配7％と電柱の影

問題：水平な地面に垂直な電柱ABがあり、影は地面上のBCと、勾配7％の上り坂に沿うCDからなる。地面と坂の境界線に直交する平面内で考え、直線ADと地面BCの交点をP、坂の傾斜角を∠DCP、太陽高度を∠APBとする。
まず n°<∠DCP<(n+1)° を満たす1以上9以下の整数nを求め、以後は傾斜角をn°とする。ある日は BC=7m、CD=4m、∠APB=45° だった。DからABに下ろした垂線の足をEとしてBE、DE、電柱の高さABを求める。ABの選択肢は10.4、10.7、11.0、11.3、11.6、11.9mである。別の日に太陽高度が42°となったとき、坂上の影CDと前回からの増加量を求める。

最終答案：シ=4、ス=4、セ=0、ソ=7、タ=4、チ=2、ツ=3、テ=7、ト=5、ナ=0、ニ=1。

道路標識の7％は「水平100mにつき7m上がる」という意味なので、坂の角を θ とすれば tanθ=7/100=0.07 です。表の tan4°=0.0699、tan5°=0.0875 から 4°<θ<5°。以後は問題の指示どおり θ=4° とします。

最初の日は BC=7、CD=4、∠APB=45°。CDの鉛直成分は BE=4sin4°、水平成分を加えた距離は DE=7+4cos4° です。太陽高度45°では水平距離と鉛直距離が等しいため、

AB=4sin4°+7+4cos4°≈11.27m

よって小数第2位を四捨五入した選択肢は11.3m（ツ=3）です。

別の日は太陽高度42°です。坂上の影を x=CD とおくと、鉛直方向と水平方向の関係から

AB−x sin4°=(7+x cos4°)tan42°

したがって、

CD=(AB−7tan42°)/(sin4°+cos4°tan42°)

となり、AB=11.3 を代入すると約5.2m。前回の4mより約1.2m長くなります。

この方法でうまく解ける理由：坂上の長さCDを「水平成分CDcos4°」と「鉛直成分CDsin4°」に分けると、太陽光の傾きtan42°を同じ直角三角形に結び付けられます。

検算：arctan(0.07)=4.004…° なので、表から得た「4°と5°の間」は正しいです。高さも 4sin4°+7+4cos4°=11.269… となります。

よくある誤り：勾配7％をsinθ=0.07としないこと。道路勾配は「鉛直÷水平」なのでtanです。また、CD=4mは斜辺であり、そのまま高さに足せません。

第2問（30点・必答）2次関数／データの分析

〔1〕動く2点P、Qと三角形PBQの面積

問題：座標平面上の台形 O(0,0)、A(6,0)、B(4,6)、C(0,6) を考える。PはOからAへx軸上を毎秒1で進み、QはCからOへ、続いてOからCへy軸上を毎秒2で進む。P、Qは同時に出発し、6秒後に同時に停止する。三角形PBQについて、1秒後の面積、最初の3秒間の最小値と最大値、全6秒間の最小値と最大値、面積が10以下となる時間の合計を求める。

最終答案：ア=9、イ=8、ウエ=12、オ=8、カキ=13、面積が10以下となる時間は 3−√3+√2 秒（ク=3、ケ=3、コ=2）。

開始から t 秒後の点を P=(t,0) とします。Qは最初の3秒でCからOへ進み、その後Cへ戻るため、

0≤t≤3：Q=(0,6−2t)
3≤t≤6：Q=(0,2t−6)

です。B=(4,6)とし、座標の行列式で面積Sを求めると、

0≤t≤3：S=t²−4t+12=(t−2)²+8
3≤t≤6：S=−t²+10t−12=13−(t−5)²

となります。t=1ではS=9。最初の2秒間では最小8、最大12、全区間では最小8、最大13です。

S≤10を解くと、前半は 2−√2≤t≤3、後半は 3≤t≤5−√3。時間の合計は

(3−(2−√2))+((5−√3)−3)=3−√3+√2

秒です。

この方法でうまく解ける理由：QはOで折り返すので、座標をt=3の前後に分ける必要があります。各区間の面積は2次関数になり、平方完成すれば最大・最小と不等式を同じ式から処理できます。

検算：境目t=3では両方の式が9を返します。開始時t=0は12、終了時t=6も12で、図形の位置とも矛盾しません。

よくある誤り：折り返した後もQ=(0,6−2t)を使い続けないこと。面積S≤10の区間は、0≤t≤3と3≤t≤6との共通部分を取ります。

〔2〕マラソン記録のヒストグラム、箱ひげ図、標準得点、散布図

問題：2022年末時点の男子マラソン日本人選手を、2018年より前に自己ベストを出した50人（A）と2018年以降の50人（B）に分ける。記録は実際のタイムから2時間を引き、秒で表す。
幅30秒のヒストグラムの度数は、Aが360〜390：1人、390〜420：2人、420〜450：1人、450〜480：9人、480〜510：10人、510〜540：19人、540〜570：8人。Bが270〜300：0人、300〜330：1人、330〜360：0人、360〜390：3人、390〜420：5人、420〜450：10人、450〜480：16人、480〜510：14人、510〜540：1人である（各階級は左端を含み右端を含まない）。Aの最頻値を含む階級と、Bの中央値を含む階級を、270〜300から540〜570までの10階級から選ぶ。
中央値線を省いた箱ひげ図では、Aは最小値約375、第1四分位数約480、第3四分位数約540、最大値約555秒、Bは最小値約295、第1四分位数約435、第3四分位数約485、最大値約520秒と読める。速い方から13番目の差を5、15、25、35、45、55秒から、四分位範囲の差の絶対値を0〜20、20〜40、40〜60、60〜80、80〜100秒の区間から選ぶ。
A、Bの速い方から5番目の記録・平均・標準偏差は、それぞれAが376・504・40秒、Bが296・454・45秒である。記録=平均+z×標準偏差と定め、記録とzの両方でどちらが優れるか答える。
さらに3種目すべての記録がある日本人男子のマラソン上位50人を調べる。散布図の横軸・縦軸は、マラソン対10000mでは約320〜520秒・1640〜1720秒、5000m対10000mでは約780〜840秒・1640〜1720秒。前者は点が広く散り、後者は右上がりにより密集している。「マラソン上位3人の10000mは3人とも1670秒未満」「マラソンと10000mの相関の方が5000mと10000mより強い」の正誤を判定する。

最終答案：サ=8、シ=6、ス=4、セ=0、ソ=3、タチ=51、ツ=1、テ=1。

図1の最も度数が高い階級は510秒以上540秒未満なのでサ=8。図2は50人分のため、中央値は25番目と26番目の間です。450秒未満の累積度数は19人で、480秒未満までに35人となるため、25番目と26番目はいずれも450秒以上480秒未満に入り、シ=6です。

箱ひげ図では速い方から13番目がおおむね第1四分位数に対応します。AとBの差は約45秒なのでス=4。AとBの箱の幅、すなわち四分位範囲の差は20秒未満なのでセ=0です。

Bの5位選手の標準得点は、

z=(296−454)/45=−158/45=−3.511…

です。Aの5位選手は (376−504)/40=−3.2。実タイムも標準得点もBの選手の方が優れるのでツ=1です。

散布図では、マラソン上位5人の10000m記録はいずれも1670秒未満です。一方、5000mと10000mの点群の方が直線状にまとまっており、マラソンとの相関の方が強いとはいえません。したがって「前者は正、後者は誤」のテ=1です。

この方法でうまく解ける理由：グラフ問題は目盛りから読み取れる事実と、計算で得る事実を分けます。標準得点は単位の異なる集団内で「平均から標準偏差何個分離れたか」を比較できます。

検算：Bのz値は 454−3.51×45=296.05 となり、表の296秒へ戻ります。Aは 504−3.2×40=376 です。

よくある誤り：タイムは小さいほど速いので、z値も小さい方が優れます。相関の強さは傾きの大きさではなく、点が一本の直線の周囲にどれだけまとまるかで判断します。

第3問（20点・選択）全種類のカードがそろう確率

問題：箱からカードを1枚取り出し、文字を確認して戻す試行を繰り返す。
（1）A、Bが1枚ずつ入る箱で、2回、3回、4回の試行までに両方が少なくとも1回出る確率を求める。
（2）A、B、Cが1枚ずつ入る箱で、3回目、4回目、5回目の試行で初めて3種類がそろう取り出し方の数と確率を求める。「n回目で初めてそろう」とは、n回までに3種類すべてが出て、いずれか1種類がn回目に初登場することをいう。
（3）A、B、C、Dが1枚ずつ入る箱で、6回目に初めて4種類がそろう確率を求める。誘導では、最初の5回のうち3回目、4回目、5回目に初めてA、B、Cだけがそろい、6回目にDが初登場する場合などへ分ける。

最終答案：ア/イ=1/2、ウ=6、エオ=14、カ/キ=7/8、ク=6、ケ/コ=2/9、サシ=42、スセ=54、ソタ=54、チツ/テトナ=75/512。

A、Bの2種類

n回で両方が一度以上出る並びは、全2ⁿ通りから「すべてA」「すべてB」の2通りを除いた 2ⁿ−2 通りです。n=2では2/4=1/2、n=3では6通り、n=4では14通りで確率は14/16=7/8です。

A、B、Cの3種類が最後の試行で初めてそろう

3回目で初めてそろう並びは3!=6通り。4回目で初めてそろう場合は、最後に出る種類を3通りから選び、最初の3回に残り2種類を両方出すので 3×(2³−2)=18 通り、確率2/9です。5回目なら 3×(2⁴−2)=42 通りです。

A、B、C、Dの4種類が6回目で初めてそろう

最後に初登場するカードを4通りから選びます。最初の5回で残り3種類がすべて出る並びは包除原理から

3⁵−3×2⁵+3=150

通り。したがって有利な並びは600通り、確率は 600/4⁶=75/512 です。誘導中の内訳は、3回目までに3種類がそろう場合が 6×3²=54 通り、4回目でそろう場合が 18×3=54 通りです。

この方法でうまく解ける理由：「最後の試行で初めてそろう」とき、最後の1枚を固定すると、それ以前には残りの種類がすべて登場し、新しい種類は登場していません。条件が重ならない形に分解できます。

検算：4種類の場合、最初の5回に3種類すべてが出る数は150。これは3種類の全並び243通りから、少なくとも1種類欠ける93通りを除いた値です。4×150=600 と一致します。

よくある誤り：「n回までにそろう」と「n回目で初めてそろう」は別です。後者ではn回目のカードがそれ以前に一度も出ていない条件を必ず入れます。

第4問（20点・選択）n進数タイマー

問題：T3、T4、T6は、それぞれ3進数、4進数、6進数を3桁表示するタイマーである。開始時は000、1秒ごとに1増え、3桁の最大値の1秒後に000へ戻って同じ動作を繰り返す。
（1）T6の40秒後の表示と、T4の2進数10011秒後の表示を求める。
（2）T4が初めて000へ戻る秒数と、T4・T6が同時に初めて000へ戻る秒数を求める。
（3）T4が012を示す時刻lの合同条件を求め、T3・T4が初めて同時に012を示す時刻mを求める。最後に、T4・T6が初めて同時に012を示す時刻はmより前、m、mより後、または一度もない、の4択から選ぶ。

最終答案：アイウ=104、エオカ=103、キク=64、ケコサシ=1728、スセ=64、ソ=6、タチツ=518、テ=3。

T6で40秒後の表示は、40=1×6²+0×6+4 より104。T4では問題文の2進数 10011₂=19₁₀ を4進数に直し、19=1×4²+0×4+3 より103です。

3桁のT4は 4³=64 秒ごと、T6は 6³=216 秒ごとに000へ戻ります。同時に000へ戻る最初の時刻は、

lcm(64,216)=2⁶×3³=1728 秒です。

T4が012を示す条件は、012₄=6 なので ℓ≡6 (mod 64)。T3とT4が同時に012となる時刻mは、

m≡012₃=5 (mod 27)、m≡6 (mod 64)

を満たす最小の正数で、m=518です。

T4とT6が同時に012なら、t≡6 (mod 64) かつ t≡012₆=8 (mod 216) が必要です。しかし前者は8で割ると余り6、後者は余り0で両立しません。よって同時に012になることはなく、テ=3です。

この方法でうまく解ける理由：3桁n進数タイマーはn³秒を周期とする時計です。「ある表示になる」は合同式、「同時に000へ戻る」は周期の最小公倍数へ翻訳できます。

検算：518を割ると 518=27×19+5=64×8+6。T3では012、T4でも012になります。

よくある誤り：10011は10進数ではなく2進数です。また、表示012の値は基数ごとに異なり、012₃=5、012₄=6、012₆=8です。

第5問（20点・選択）星形五角形と円

問題：平面上の5点A、B、C、D、Eを線分AC、CE、EB、BD、DAで結んだ星形を考える。交点を P=AC∩BE、Q=AC∩BD、R=BD∩CE、S=AD∩CE、T=AD∩BE とし、AP:PQ:QC=2:3:3、AT:TS:SD=1:1:3 とする。
（1）三角形AQDを横切るCE、BEにメネラウスの定理を用い、QR:RD、QB:BD、BQ:QR:RDを求める。式 (QR/RD)×(DS/SA)×(□/CQ)=1 の□はAC、AP、AQ、CP、PQから選ぶ。
（2）P、Q、R、S、Tが同一円周上にあり、AC=8とする。ATとDRを求め、AQ・CQとBQ・DQを比較して、Dが3点A、B、Cを通る円の内部・周上・外部のどこにあるか判定する。さらに CR=RS=SE=3 を用い、A、Bが3点C、D、Eを通る円の内部・周上・外部のどこにあるか判定する。

最終答案：ア=0、イ:ウ=1:4、エ:オ=3:8、BQ:QR:RD=3:1:4、カ=5、キク=45、ケ=0、コ=1、サ=0、シ=2、ス=2、セ=2。

〔1〕メネラウスの定理で線分比をつなぐ

AP:PQ:QC=2:3:3よりAQ:QC=5:3、AC:CQ=8:3です。AT:TS:SD=1:1:3よりSA:SD=2:3。三角形AQDを横切る直線CEにメネラウスの定理を使うと、

(QR/RD)×(DS/SA)×(AC/CQ)=1

なので (QR/RD)×(3/2)×(8/3)=1、したがってQR:RD=1:4です（アはAC）。同様に直線BEについて計算するとQB:BD=3:8。QD=QR+RD=5の比をそろえると、BQ:QR:RD=3:1:4です。

この方法でうまく解ける理由：星形全体を一度に追わず、交点を含む三角形AQDだけを見ると、一直線上の3点にメネラウスの定理をそのまま適用できます。

〔2〕方べきで円との位置関係を判定する

P、Q、R、S、Tが同一円周上でAC=8とします。比からAP=2、AQ=5。点Aの方べきより AP×AQ=AT×AS で、AS=2ATだから

10=2AT²

したがってAT=√5（カ=5）です。同様の計算からDR=4√3。先ほどの比BQ:QR:RD=3:1:4より、BQ=3√3、DQ=5√3なので、

BQ×DQ=3√3×5√3=45

です。一方AQ×CQ=5×3=15なので AQ×CQ<BQ×DQ。円ABCが直線BDと再び交わる点をXとすると、方べきより AQ×CQ=BQ×XQ。したがってXQ<DQで、Dは円ABCの外部にあります。

さらにCR=RS=SE=3です。円CDEと直線ADの、Dではない交点をYとすると、交わる弦の定理から SD×SY=SC×SE=6×3=18。SD=3√5 なので SY=6/√5<SA=2√5 です。YはSとAの間にあり、Aは円の外部です。

同様に、円CDEと直線BDのDではない交点をZとすると、RD×RZ=RC×RE=18。RD=4√3 より RZ=3√3/2 です。一方 RB=RQ+QB=√3+3√3=4√3 なのでZはRとBの間にあり、Bも円の外部です。したがってス=2、セ=2です。

この方法でうまく解ける理由：円との位置関係は図の見た目ではなく方べきの積で判定できます。同じ交点QまたはRを通る2本の直線について積を比べれば、交点が円より手前か奥かが確定します。

検算：Bについて RC×RE=18 に対し RD×RB=(4√3)²=48。Bが円周上なら両積は等しいはずですが、48>18なのでBは周上ではなく外部です。Aについても SY<SA となり、円を出た先にAがあることを確認できます。

よくある誤り：最後の円CDEは図の見た目だけで内外を決めないこと。交わる弦の積から第2交点までの距離を求め、A・Bがその交点より先にあるかを判定します。

全問の答えを確認する

上の最終答案は、大学入試センター公表の正解表と全記号を照合しています。学習するときは、正解記号だけでなく「2次関数を区間で分けたか」「初めてそろう条件を入れたか」「進数を合同式に直したか」「円を方べきで判定したか」を確認してください。

出典と検証：問題設定と正解は、大学入試センター公表の令和6年度本試験「数学Ⅰ・数学A」の問題および正解表と照合しました。計算式は数強塾が独立に再計算し、図表は設問の判断に必要な数値・配置・傾向を文章で再構成しています。

続けて学ぶ場合は、共通テスト2024 数学Ⅱ・B 全問解説、共通テスト2024 追試数学Ⅰ・A 全問解説もご利用ください。年度別の一覧は大学入試数学過去問解説ハブにまとめています。