共通テスト2024 追試験 数学Ⅰ・A 全問解説｜令和6年度 第1問〜第5問【数強塾】

本試験の解説は共通テスト2024 数学Ⅰ・A 全問解説（本試験）にあります。一次資料は、大学入試センターの令和6年度 追・再試験の問題と令和6年度 追・再試験の正解です（2026年8月7日確認）。

全体の構成と配点

第1問〔1〕 対称式と根号の処理（ア〜カ）

連立する2式
① 50(x²+y²) = (x+7y)²　② −4√3x + y = 1
から実数 x, y を求める問題です。

①の左辺から右辺を引くと

50x²+50y² − (x²+14xy+49y²) = 49x² − 14xy + y² = (7x − y)²

①はこれが0に等しいということなので、y = 7x。ここが最初の関門で、「50 と 7² の関係に気づけるか」が問われています。ア = 7

②に代入すると x(7 − 4√3) = 1。分母を有理化して

x = 1/(7−4√3) = (7+4√3)/(49−48) = 7 + 4√3（イ = 7、ウ = 4）

さらに x²+y²−50 を求めます。y = 7x なので x²+y² = 50x²。よって

50x² − 50 = 50(x²−1) = 50{(7+4√3)² − 1} = 50(97+56√3−1) = 4800 + 2800√3 = 400(12 + 7√3)（エオ = 12、カ = 7）

第1問〔2〕 速さと不等式（キ〜ツ）

一般道（時速30km、A–B間75km）と高速道路（時速80km、A–B間48km）。PはA から10kmの地点、QはPとBの間。P→Qの道のりを x km とします。

経路1：一般道だけで P→Q。所要 x/30 時間。

経路2：P→A（一般道10km）→A→B（高速48km）→B→Q（一般道）。ここでB→Qの距離が要点です。一般道でA–B が75km、A–P が10km、P–Q が x なので A–Q = 10 + x。よって

B–Q = 75 − (10 + x) = 65 − x

一般道を通る合計距離は 10 + (65 − x) = 75 − x。したがって一般道部分の所要時間は (75 − x)/30 時間（キク = 75、ケコ = 30）、高速部分は 48/80 = 3/5 時間（サ/シ = 3/5）。

経路2の方が速い条件は

(75−x)/30 + 3/5 < x/30（ス = ⓪ の「<」、セソ = 30）

両辺を30倍して 75 − x + 18 < x、すなわち 93 < 2x。よって x > 46.5（タチ.ツ = 46.5）

第1問〔3〕 三角比と合同条件（テ〜ホ）

BC = 4、外接円の半径 R = 4√3/3 の △ABC。正弦定理より

4/sin∠BAC = 2R = 8√3/3　→　sin∠BAC = 12/(8√3) = √3/2

0° < ∠BAC < 180° なので ∠BAC = 60° または 120°（テ = ② 60°、ト = ④ 120°）。sin の値だけでは角が一つに決まらない——これが後半の命題の伏線になっています。

面積が 3√3/4 のとき、S = (1/2)·AB·AC·sin∠BAC = (√3/4)·AB·AC より AB·AC = 3（ナ = 3）

∠BAC = 60° のとき余弦定理から

16 = AB² + AC² − 2·3·(1/2)　→　AB² + AC² = 19（ニヌ = 19）

(AB+AC)² = 19 + 2·3 = 25 なので AB + AC = 5（ネノ = 25、ハ = 5）。AC = 5 − AB を AB·AC = 3 に代入して AB² − 5AB + 3 = 0、よって

AB = (5 ± √13)/2（ヒ = 5、フヘ = 13）

(2) 命題の真偽。(a)「一組の辺・面積・外接円の半径が等しければ合同」——反例がこの問題自身にあります。BC = 4、R = 4√3/3、面積 3√3/4 という同じ条件で、∠BAC = 60° の三角形と 120° の三角形の両方が存在し、辺の長さが違います。よって偽。

(b)「一組の角・面積・外接円の半径が等しければ合同」——角Aと R から a = 2R sinA が決まり、面積から bc が決まり、余弦定理から b²+c² が決まります。b+c と bc が決まれば b, c は解と係数の関係で一意に定まるので真。

第2問〔1〕 絶対値を含む関数のグラフ（ア〜サ）

y = (1/8)|x²+2x−8| + (1/8)(x²−6x) のグラフを考えます。

x²+2x−8 = (x+4)(x−2) なので、これが負になるのは −4 < x < 2（アイ = −4、ウ = 2）。この範囲では絶対値が外れて符号が反転し、x² の項が消えて y = −x + 1 という直線になります。

範囲外では y = (1/4)x² − (1/2)x − 1。平方完成すると

y = (1/4)(x−1)² − 5/4　→　頂点 (1, −5/4)（エ = 1、オカ/キ = −5/4）

x = −4 と x = 2 で直線と放物線の値は一致する（ともに 5 と −1）ので、グラフはつながります。全体は「下に凸の放物線 → 右下がりの直線 → 下に凸の放物線」（ク = ①）。

(2) 計算せずに形を見抜く。会話文が示す手順は、絶対値の中身の符号で場合分けし、x² の係数がどうなるかだけを見るというものです。

3つ目は、絶対値の中が負のとき −(x²+2√5x−4) + (x²+2√5x) = 4 となり、8で割って y = 1/2 の水平な線分になるのが決め手です。

第2問〔2〕 トリム平均と分散（シ〜テ）

最小値と最大値を1個ずつ除外した「調整後の評点」を扱う、実務的なデータ処理の問題です。

(1) 元の評点 1,2,2,3,3,3,3,4,4,5（n = 10）。最小1と最大5を除いた8個は 2,2,3,3,3,3,4,4 なので ȳ = 24/8 = 3（シ = 3）。偏差は −1,−1,0,0,0,0,1,1 で二乗和が4、よって t² = 4/8 = 0.5（ス.セ = 0.5）。元の分散 1.2 から大きく下がっています。

(2) A = x₁+xₙ、B = x₂+…+x_{n−1} とおくと A = 2z̄、B = (n−2)ȳ なので

x̄ = (A+B)/n = (2/n)z̄ + ((n−2)/n)ȳ（ソ = ⑤、タ = ⑥）

x̄ ≤ ȳ を整理すると 2z̄ + (n−2)ȳ ≤ nȳ、すなわち 2z̄ ≤ 2ȳ。よって必要十分条件は z̄ ≤ ȳ（チ = ②）。「除外した2個の平均が、残りの平均以下」という自然な言い換えになります。

(3) 調整後が m 個の a と (8−m) 個の b（a < b）のとき、2値データの分散は

t² = m(8−m)(a−b)²/64（ツ = ④）

導出は、a − ȳ = (8−m)(a−b)/8、b − ȳ = m(b−a)/8 を分散の定義に代入して整理します。m(8−m) は m = 4 で最大になるので、両端の値が半々のときに散らばりが最大という直感と一致します。

表1の4選手について、調整後のデータと t² は次のとおりです。

最大は選手う（テ = ②）。分散は値の差の2乗 (a−b)² に比例するため、2と4に分かれている「う」が最も大きくなります。

第3問（選択）タイル配置の確率

1辺1のタイル6枚を1辺4の壁に、左と下に隙間ができないよう詰めて貼っていきます。候補が n 箇所あるとき各 1/n で選ばれます。「次に貼れる場所が何箇所あるか」を毎回数えることがすべての問題です。

1枚目は左下隅に確定。2枚目の候補は「すぐ右」「すぐ上」の2箇所なので、配置Aになる確率は 1/2（ア/イ = 1/2）。

(2) Aは下段に2枚。ここから貼れるのは (2,0) と (0,1) の2箇所です（(1,1) は左隣が空くのでNG）。Bは (2,0) を選んだ場合なので

P(B) = (1/2)×(1/2) = 1/4（ウ/エ = 1/2、オ/カ = 1/4）

CはA経由と「縦2枚」経由の両方から到達します。どちらも候補2箇所のうち1つなので

P(C) = (1/2)(1/2) + (1/2)(1/2) = 1/2（キ/ク = 1/2）

(3) ここで候補数が変わる点に注意します。Bからの候補は2箇所ですが、C（L字）からの候補は3箇所です（内側の (1,1) が貼れるようになる）。

Eに至るのはBとCから（ケ = ③）なので

P(E) = (1/4)(1/2) + (1/2)(1/3) = 1/8 + 1/6 = 7/24（コ/サシ = 7/24）

Fは2×2の正方形で、Cからしか到達できません（ス = ①）。P(F) = (1/2)(1/3) = 1/6（セ/ソ = 1/6）

条件付き確率。EかつAを経由する確率は、B経由 (1/2)(1/2)(1/2) = 1/8 と、C経由のうちA発 (1/2)(1/2)(1/3) = 1/12 の和で 5/24。よって

P(A | E) = (5/24)/(7/24) = 5/7（タ/チ = 5/7）

(4) 図2は階段状の6枚。5枚目としてあり得るのは、階段から角の1枚を除いた3通りで、それぞれの確率は 13/72、14/72、13/72。いずれの状態からも候補は3箇所あり、そのうち1つが図2につながるので

P(図2) = (13/72 + 14/72 + 13/72)×(1/3) = (40/72)(1/3) = 40/216 = 5/27（ツ/テト = 5/27）

第4問（選択）整数の性質と7進法

〔1〕 2xy − 4x − 3y = 0 を因数分解の形にします。

(2x − 3)(y − 2) = 2xy − 4x − 3y + 6 なので、与式は (2x−3)(y−2) = 6（ア = 3、イ = 2、ウ = 6）

ここで決定的なのは、2x − 3 は必ず奇数ということです。6の約数のうち奇数は ±1, ±3 の4つだけなので、整数解は4組（エ = 4）。

xy が最大なのは (x, y) = (2, 8)（オ = 2、カ = 8）

(2) 2xy − 4x − 3y = 3a は (2x−3)(y−2) = 3(a+2)。解の個数は 3(a+2) の奇数の約数の個数の2倍（正負）です。8組にするには奇数約数が4個必要。

よって最小の a は 3（キ = 3）。2の因数は奇数約数の個数に効かない、という点が肝です。

〔2〕7進法。M = abc₍₇₎ = 49a+7b+c、N = cba₍₇₎ = 49c+7b+a。差をとると b が消えて

X = M − N = 48(a−c) = (a−c)×7² + (c−a)（ク = ⑤、ケ = ②）

ただし c+1 < a より a−c ≥ 2、また c−a は負なので、このままでは7進法の各位になりません。そこで上の位から1を借りる変形をします。

X = (a−c−1)×7² + 6×7 + 7 + (c−a)（コ = 6）

実際 (a−c−1)·49 + 42 + 7 + (c−a) = 49(a−c) − 49 + 49 − (a−c) = 48(a−c) で一致します。よって X = def₍₇₎ の各位は d = a−c−1、e = 6、f = 7+c−a。

ここで d + f = (a−c−1) + (7+c−a) = 6 という、a, c によらない定数になるのが決め手です。Y = fed₍₇₎ とすると

X + Y = 49(d+f) + 14e + (d+f) = 50·6 + 14·6 = 384

384 を7進法に直すと 384 = 1·343 + 0·49 + 5·7 + 6、すなわち 1056₍₇₎（サ = 1、シ = 0、ス = 5、セ = 6）

第5問（選択）外心・垂心・内心

外心O、垂心H、内心I。OについてA, B, Cと対称な点をP, Q, R とします。「Oに関する対称点＝直径の反対端」なので、円周角90°が使える——これが全体を貫く発想です。

(1)(i) ACに垂直な3直線。CRは直径なので∠CAR = 90°、つまり AR ⊥ AC。APは直径なので∠ACP = 90°、つまり CP ⊥ AC。3つ目は垂心の定義から BH（ア = ②）。同様にBCに垂直なのは AH、BR、CQ（イ = ⑥）。

(ii) BD:DC = 4:1、AE:EC = 2:3。△ADCと直線BEにメネラウスの定理を使います。

(AH/HD)·(DB/BC)·(CE/EA) = 1　→　(AH/HD)·(4/5)·(3/2) = 1

よって AH/HD = 5/6（ウ/エ = 5/6）

面積比を出すには、まず AHBR が平行四辺形であることに気づきます。AH ⊥ BC かつ BR ⊥ BC なので AH ∥ BR、BH ⊥ AC かつ AR ⊥ AC なので BH ∥ AR。したがって

△ARB の面積 = △AHB の面積

あとはHの位置から面積比を出します。AH/HD = 5/6 より HD/AD = 6/11 なので △HBC = (6/11)△ABC。また △BEC と直線ADにメネラウスを使うと BH/HE = 10、すなわち HE/BE = 1/11 なので △HCA = (1/11)△ABC。よって

△AHB = (1 − 6/11 − 1/11)△ABC = (4/11)△ABC（オ/カキ = 4/11）

(2) APが直径なので∠ABP = 90°、△ABPは直角三角形。△ADCも∠ADC = 90°の直角三角形です。さらに∠APBと∠ACBは弧ABに対する円周角で等しく、∠ACB = ∠ACD。よって

△ABP ∽ △ADC（ク = ①）、∠APB = ∠ACD（ケ = ⓪）

この相似から∠BAP = ∠DAC、すなわちAOとAHは∠Aの二等分線AIに関して対称（等角共役）といえます。命題(a)は真。一方(b)は、対称なら AO = AH が必要ですが一般には成り立たないので偽（コ = ①）。

(3) ∠BACが鈍角の場合も等角共役の関係は保たれ、∠BAP = ∠CAD（サ = ②）。ただし鈍角三角形ではOもHも三角形の外に出るため、AIから見た向きが反転し

∠OAI + ∠HAI = 180°（シ = ②）

が成り立ちます。鋭角三角形なら∠OAI = ∠HAI だったものが、鈍角では補角の関係に変わる——ここが本問で特に注意すべき点です。

この回の総評

追試験らしく、「一つの条件から答えが一つに決まらない」場面を意図的に作る問題が目立ちました。第1問〔3〕の sin から角が2通り出る点、そこから合同条件の反例へつなぐ流れは典型です。

第3問は、状態が変わるたびに候補の数え直しが必要でした。L字になった瞬間に候補が2から3に増えることを見落とすと、以降がすべてずれます。第4問〔1〕の「2x−3 は奇数」、〔2〕の「d+f が定数6」も、計算を大きく短縮できる着眼点です。

第5問は五心の性質を暗記しているかではなく、直径→円周角90° という一手を自分で導けるかが重要でした。

※本記事の解答・解説は数強塾が独自に作成したもので、大学が公表した公式解答ではありません（すべての設問について大学入試センター公表の正解と照合しています）。問題文の引用は解法の説明に必要な最小限にとどめています。掲載内容について権利者の方からご連絡がある場合は、お問い合わせより速やかに対応いたします。