共通テスト2025 数学Ⅰ・A 全問解説（令和7年度 本試験）

※ 問題文は大学入試センターが公表した2025年度（令和7年度）大学入学共通テスト 本試験の問題を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」代表 藤原進之介が独自に作成したものであり、大学入試センターが公表した公式解答そのものではありません。答えはすべて公表された正解表と突き合わせ、全22問一致を確認しています。図表で与えられた条件も、解答に必要な内容を本文中に文字で示しています。

第1問（配点30）　2次方程式の因数分解と必要十分条件／2円と正弦定理

〔1〕(1)　次数の低い文字について整理する

【型】文字が2種類あるときは、次数の低い方について整理する

【なぜこうするか】　\(a=1\) を入れた式 \(4bx^{2}+16x-b-8\) は、\(x\) について見れば2次で係数に \(b\) が混ざり、扱いにくい。しかし \(b\) について見れば1次です。1次式なら「\(b\) の係数」と「残り」に分けるだけで整理が終わります。これが問題文の②の正体です。

\(a=1\) のとき①の左辺は \(4bx^{2}+16x-b-8=(4x^{2}-1)b+16x-8\)。ここで両方の塊に共通因数が現れます。

\[4x^{2}-1=(2x-1)(2x+1),\qquad 16x-8=8(2x-1)\]

どちらも \(2x-1\) を含むので

\[(2x-1)(2x+1)b+8(2x-1)=(2x-1)\left\{(2x+1)b+8\right\}=(2x-1)(2bx+b+8)\]

よってアは2、イは8です。\(2x-1=0\)、すなわち \(x=\dfrac{1}{2}\) が \(b\) の値によらず①の解になります。

【検算】　数式処理系に \(a=1\) を代入した左辺を因数分解させると \((2x-1)(2bx+b+8)\) が返り、一致しました。展開して戻しても \(4bx^{2}+16x-b-8\) になります。

【定石】　文字が複数あるときは最も次数の低い文字について整理する。1次になった文字でくくると、共通因数が見えて因数分解が一気に進む。

〔1〕(2)(i)　今度は \(a\) を残したまま因数分解する

【型】文字を含む2次式の因数分解は、定数項と最高次の係数から候補を絞る

【なぜこうするか】　\(b=2\) を代入すると \((2a+6)x^{2}+(5a+11)x-10\)。答えの形が \((\ \square x+\square)\{(a+\square)x-\square\}\) と与えられているので、\(a\) を含む因数は1つだけだとわかります。ということは、最高次の係数 \(2a+6=2(a+3)\) の「2」が \(a\) を含まない因数の側、「\(a+3\)」がもう一方の側です。

定数項 \(-10\) は \((\ 2x+p)\{(a+3)x-q\}\) の形では \(-pq=-10\)。\(p=5,\ q=2\) と当たりをつけて展開すると

\[(2x+5)\left\{(a+3)x-2\right\}=2(a+3)x^{2}+\left\{5(a+3)-4\right\}x-10\]

\[\phantom{(2x+5)\left\{(a+3)x-2\right\}}=(2a+6)x^{2}+(5a+11)x-10\]

となり一致します。よってウは2、エは5、オは3、カは2です。

【検算】　数式処理系で \((2a+6)x^{2}+(5a+11)x-10\) と \((2x+5)\{(a+3)x-2\}\) の差を展開したところ、恒等的に0になりました。

【定石】　文字入りの2次式でも、最高次の係数と定数項の分け方から候補は数通りに絞れます。答えの形が与えられているマーク式では、その形から逆算すると効率よく進められます。

〔1〕(2)(ii)　無理数の解は分母を有理化して形を合わせる

【型】分母に無理数が出たら、共役をかけて有理化する

【なぜこうするか】　(i)の因数分解を使えば、それぞれの因数を0とおくことで解を求められます。\(2x+5=0\) から \(x=-\dfrac{5}{2}\)。もう一方は \((a+3)x-2=0\) から \(x=\dfrac{2}{a+3}\) で、\(a=2\sqrt{2}\) を入れると \(\dfrac{2}{2\sqrt{2}+3}\)。答えの形が「整数 \(-\) 整数 \(\times\sqrt{2}\)」と指定されているため、分母を有理化します。

\[\dfrac{2}{2\sqrt{2}+3}=\dfrac{2(2\sqrt{2}-3)}{(2\sqrt{2}+3)(2\sqrt{2}-3)}=\dfrac{2(2\sqrt{2}-3)}{8-9}=\dfrac{2(2\sqrt{2}-3)}{-1}=6-4\sqrt{2}\]

よってキは6、クは4です。

【検算】　\(6-4\sqrt{2}\fallingdotseq 0.343\)。これを \((2a+6)x^{2}+(5a+11)x-10\) に \(a=2\sqrt{2}\) とともに代入すると0になります。数式処理系で解かせても \(\left\{-\dfrac{5}{2},\ 6-4\sqrt{2}\right\}\) が返りました。

【定石】　有理化は「\(\sqrt{\ }\) を含む項の符号を反転させたもの」を分母分子にかける。分母が \(-1\) になると符号が全部ひっくり返るので、そこだけ注意する。

〔1〕(2)(iii)　「〜だけである」条件は、重解の場合を忘れない

【型】必要条件・十分条件は両方向を別々に確かめる

【なぜこうするか】　必要条件・十分条件を判定するには、片方向だけでなく逆方向も確かめる必要があります。ここでは逆向きに「解が \(-\dfrac{5}{2}\) だけになる \(a\) をすべて求める」ことが大切です。解が1つだけになる場合には、そもそも2次方程式でなくなる場合と重解になる場合の2通りがあります。

まず \(a=-3\) のとき、①は \((2(-3)+6)x^{2}+(5(-3)+11)x-10=-4x-10=0\) となり1次方程式。解は \(x=-\dfrac{5}{2}\) だけです。よって十分条件です。

逆はどうか。\(a\neq-3\) のときは2次方程式で、解は \(-\dfrac{5}{2}\) と \(\dfrac{2}{a+3}\) の2つ。これらが一致すれば、解は \(-\dfrac{5}{2}\) だけになります。

\[\dfrac{2}{a+3}=-\dfrac{5}{2}\ \Longrightarrow\ 4=-5(a+3)\ \Longrightarrow\ a=-\dfrac{19}{5}\]

つまり \(a=-\dfrac{19}{5}\) でも「解は \(-\dfrac{5}{2}\) だけ」になります。したがって \(a=-3\) は必要条件ではありません。ケは①です。

【検算】　\(a=-\dfrac{19}{5}\) を代入すると \(\left(-\dfrac{38}{5}+6\right)x^{2}+\left(-19+11\right)x-10=-\dfrac{8}{5}x^{2}-8x-10\)。\(-\dfrac{2}{5}\) でくくると \(4x^{2}+20x+25=(2x+5)^{2}\) となり、確かに \(x=-\dfrac{5}{2}\) の重解です。

【定石】　「解が1つだけ」は①1次に落ちる場合と②重解の場合の2つ。2次の係数に文字が入っていたら、必ず「2次でない場合」を先に確認する。

【よくあるミス】　\(a=-3\) を代入して確かめただけで「必要十分」と答えること。逆向きの検証を省略すると、重解のケース \(a=-\dfrac{19}{5}\) を見落とします。

〔2〕(1)前半　弦の長さは「半径 × 2sin（中心角の半分）」で出る

【型】中心から弦に下ろした垂線は弦を2等分する

【なぜこうするか】　弦 PA の長さを直接測るのは難しい。しかし中心 O から垂線を下ろせば、垂線の足 H が弦の中点になります。だから \(\mathrm{PA}=2\mathrm{AH}\) と半分だけ考えればよい。

なぜ \(\angle\mathrm{AOH}=\alpha\) なのか。半径 OA は接線 \(\ell\) と垂直なので \(\angle\mathrm{OAB}=90^{\circ}\)。よって \(\angle\mathrm{OAH}=90^{\circ}-\alpha\)。直角三角形 OAH で \(\angle\mathrm{AHO}=90^{\circ}\) だから \(\angle\mathrm{AOH}=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha\) です。

\(\mathrm{OA}=2\) なので \(\mathrm{AH}=\mathrm{OA}\sin(\angle\mathrm{AOH})=2\sin\alpha\)。コは2です。

\[\mathrm{PA}=2\mathrm{AH}=4\sin\alpha\]

でサは4。円 O’ は半径4なので、まったく同じ議論で \(\mathrm{BH}’=4\sin\beta\)、\(\mathrm{PB}=8\sin\beta\)。シは8です。

【検算】　座標で確かめます。\(\mathrm{A}(0,0)\)、\(\mathrm{O}(0,2)\)、\(\mathrm{B}(2\sqrt{7},0)\)、\(\mathrm{O}'(2\sqrt{7},4)\) とおいて2円の交点を求めると \(\mathrm{P}\left(\dfrac{\sqrt{7}}{2},\ \dfrac{7}{2}\right)\)、\(\mathrm{Q}\left(\dfrac{3\sqrt{7}}{4},\ \dfrac{7}{4}\right)\)。このとき \(\mathrm{PA}=\sqrt{\dfrac{7}{4}+\dfrac{49}{4}}=\sqrt{14}\)、\(\mathrm{QA}=\sqrt{7}\) となり、問題文の「\(\mathrm{QA}=\sqrt{7}\)」と一致します。

【定石】　円と接線の問題では「半径と接線は垂直」「中心から弦への垂線は弦を2等分」の2つだけで、たいていの長さが出る。

〔2〕(1)後半　正弦定理と①②を組み合わせて \(\sin\) の関係を出す

【型】正弦定理は「辺 ÷ 向かい合う角の \(\sin\)」

【なぜこうするか】　正弦定理でよくある誤りは、「どの角と向かい合っているか」を取り違えることです。\(\triangle\mathrm{PAB}\) で辺 PA と向かい合うのは頂点 B の角、つまり \(\beta\)。辺 PB と向かい合うのは頂点 A の角、つまり \(\alpha\)。よってスは①、セは⓪です。

\(\dfrac{\mathrm{PA}}{\sin\beta}=\dfrac{\mathrm{PB}}{\sin\alpha}\) から \(\mathrm{PA}\sin\alpha=\mathrm{PB}\sin\beta\)。ここに①②を代入すると

\[4\sin\alpha\cdot\sin\alpha=8\sin\beta\cdot\sin\beta\ \Longrightarrow\ \sin^{2}\alpha=2\sin^{2}\beta\ \Longrightarrow\ \sin\alpha=\sqrt{2}\sin\beta\]

（\(\alpha,\beta\) は三角形の内角なので \(\sin\) は正。）よってソは2です。これを②に戻すと

\[\mathrm{PB}=8\sin\beta=8\cdot\dfrac{\sin\alpha}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}\sin\alpha=\sqrt{2}\,\mathrm{PA}\]

最後に外接円の半径。\(2R_{1}=\dfrac{\mathrm{PA}}{\sin\beta}=\dfrac{4\sin\alpha}{\sin\beta}=4\sqrt{2}\) なので \(R_{1}=2\sqrt{2}\)。タは2、チは2です。

この計算から、\(R_{1}\) は2円の半径2と4だけで決まり、\(\alpha,\beta\) の具体的な値によらないこともわかります。

【検算】　上の座標で \(\triangle\mathrm{PAB}\) の外接円半径を計算します。\(\mathrm{PA}=\sqrt{14}\)、\(\mathrm{PB}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{14}=2\sqrt{7}\)、\(\mathrm{AB}=2\sqrt{7}\)。ヘロンの公式と \(R=\dfrac{abc}{4S}\) で計算すると \(R_{1}=2\sqrt{2}\fallingdotseq 2.828\) となり一致しました。

【定石】　同じ量を2通りの式で表して等号で結ぶ。ここでは \(\mathrm{PA},\mathrm{PB}\) を「円の半径と \(\sin\)」で表した式と「正弦定理」の式を突き合わせている。

〔2〕(2)　求め方が \(\alpha,\beta\) によらないので、Q でも同じ答えになる

【型】導出の過程を見直して、「何に依存していないか」を読む

【なぜこうするか】　計算をやり直す必要はありません。(1)の導出で使った情報は「円 O の半径が2」「円 O’ の半径が4」「A、B が接点」だけで、P という点の特別な性質は一切使っていません。同じ議論は Q にもそのまま通用します。したがって \(R_{2}=2\sqrt{2}=R_{1}\)。ツは①です。

次に \(\sin\) の比較。\(\triangle\mathrm{PAB}\) で辺 AB と向かい合うのは \(\angle\mathrm{APB}\) なので、正弦定理より

\[\dfrac{\mathrm{AB}}{\sin\angle\mathrm{APB}}=2R_{1},\qquad \dfrac{\mathrm{AB}}{\sin\angle\mathrm{AQB}}=2R_{2}\]

AB は共通で \(R_{1}=R_{2}\) だから \(\sin\angle\mathrm{APB}=\sin\angle\mathrm{AQB}\)。テは①です。

なお \(\angle\mathrm{APB}\lt\angle\mathrm{AQB}\) なのに \(\sin\) が等しいということは、2つの角の和が \(180^{\circ}\) だということ。つまり4点 A、P、B、Q は同一円周上にある、という隠れた結論まで読み取れます。

【検算】　座標から \(\angle\mathrm{APB}\) と \(\angle\mathrm{AQB}\) を数値計算すると、それぞれ約 \(69.3^{\circ}\) と約 \(110.7^{\circ}\) で、和はちょうど \(180^{\circ}\)。\(\sin\) はどちらも \(0.9354\fallingdotseq\dfrac{\sqrt{14}}{4}\) で一致します。

【定石】　同じ手順が別の対象にも使えるかどうかは、導出で何を使ったかを列挙すると判定できる。使っていない性質は結論に影響しない。

〔2〕(3)　外接円の半径が分かっているので、正弦定理を逆に使う

【型】正弦定理と余弦定理を組み合わせて1辺を決める

【なぜこうするか】　\(R_{1}=2\sqrt{2}\) が分かっているので、正弦定理を逆向きに使えば \(\sin\angle\mathrm{APB}\) を直接求められます。

\[\sin\angle\mathrm{APB}=\dfrac{\mathrm{AB}}{2R_{1}}=\dfrac{2\sqrt{7}}{4\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{14}}{4}\]

よってトナは14、ニは4です。

次に \(\cos\)。\(\cos^{2}=1-\dfrac{14}{16}=\dfrac{1}{8}\) なので \(\cos\angle\mathrm{APB}=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)。ここで花子さんの注意が必要です。\(\angle\mathrm{APB}\lt\angle\mathrm{AQB}\) で2角の和が \(180^{\circ}\) だから \(\angle\mathrm{APB}\lt 90^{\circ}\)、つまり \(\cos\angle\mathrm{APB}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\gt 0\) です。

\(\mathrm{PB}=\sqrt{2}\,\mathrm{PA}\) を使って \(\triangle\mathrm{PAB}\) に余弦定理を適用すると

\[\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{PA}^{2}+\mathrm{PB}^{2}-2\,\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}\cos\angle\mathrm{APB}\]

\[28=\mathrm{PA}^{2}+2\mathrm{PA}^{2}-2\sqrt{2}\,\mathrm{PA}^{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{4}=3\mathrm{PA}^{2}-\mathrm{PA}^{2}=2\mathrm{PA}^{2}\]

よって \(\mathrm{PA}^{2}=14\)、\(\mathrm{PA}=\sqrt{14}\)。ヌネは14です。

【検算】　座標から直接 \(\mathrm{PA}\) を計算すると \(\sqrt{14}\fallingdotseq 3.742\)、\(\mathrm{QA}=\sqrt{7}\fallingdotseq 2.646\) となり、どちらも問題文と一致しました。さらに \(\mathrm{PB}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{14}=2\sqrt{7}\) で、これは \(\mathrm{AB}\) と等しく \(\triangle\mathrm{PAB}\) が二等辺三角形になります。

【定石】　\(\sin\) から \(\cos\) を出すときは符号を必ず条件から決める。「角の大小」「鋭角である」といった一文は、たいていこの符号決定のために置かれている。

第2問（配点30）　噴水の放物線モデル／宿泊者数データの分析

〔1〕(1)　放物線は「2つの \(x\) 切片」から作るのが速い

【型】\(x\) 軸との交点が \(p,\ q\) なら \(y=a(x-p)(x-q)\)

【なぜこうするか】　\(y=ax^{2}+bx+c\) と置いて3点を代入すると3元連立になります。しかし2つの \(x\) 切片が分かっているので、因数分解形で置けば未知数は \(a\) ひとつだけ。残り1点を代入して終わりです。

\(C_{1}\) は \(x=-\dfrac{5}{2}\) と \(x=\dfrac{1}{2}\) で \(x\) 軸と交わるので \(y=a\left(x+\dfrac{5}{2}\right)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\)。点 \((0,1)\) を通るから

\[a\cdot\dfrac{5}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=1\ \Longrightarrow\ -\dfrac{5}{4}a=1\ \Longrightarrow\ a=-\dfrac{4}{5}\]

展開すると \(y=-\dfrac{4}{5}\left(x^{2}+2x-\dfrac{5}{4}\right)=-\dfrac{4}{5}x^{2}-\dfrac{8}{5}x+1\)。よってアは1、イは4、ウは5、エは8、オは5です。

頂点は2つの切片の中点 \(x=\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}\right)=-1\)。代入して \(y=-\dfrac{4}{5}+\dfrac{8}{5}+1=\dfrac{9}{5}\)。カは9、キは5です。

\(C_{3}\) は \(C_{1}\) を \(y\) 軸で折り返したものなので、頂点は \(\left(1,\ \dfrac{9}{5}\right)\)。\(C_{2}\) は \(\left(-1,\ \dfrac{9}{5}\right)\) と \(\left(1,\ \dfrac{9}{5}\right)\) の両方を通るので、軸は \(y\) 軸。よって \(C_{2}:y=px^{2}+q\) と置けます。

\(p+q=\dfrac{9}{5}\)（\(x=1\) を通る）と \(\dfrac{9}{4}p+q=0\)（\(\mathrm{P}_{2}\left(\dfrac{3}{2},0\right)\) を通る）を連立して \(p=-\dfrac{36}{25}\)、\(q=\dfrac{81}{25}\)。頂点の \(y\) 座標は \(\dfrac{81}{25}\) でクケは81、コサは25です。

高さの比は \(\dfrac{81/25}{9/5}=\dfrac{81}{25}\cdot\dfrac{5}{9}=\dfrac{9}{5}=1.8\) で、およそ2倍。シは⓪です。

【検算】　数式処理系で \(C_{1}=-\dfrac{4}{5}x^{2}-\dfrac{8}{5}x+1\) の零点を求めると \(\left\{-\dfrac{5}{2},\ \dfrac{1}{2}\right\}\)、\(x=0\) での値は1、頂点の \(y\) 座標は \(\dfrac{9}{5}\)。\(C_{2}\) は \(p=-\dfrac{36}{25},\ q=\dfrac{81}{25}\) となり、\(x=\pm 1\) で \(-\dfrac{36}{25}+\dfrac{81}{25}=\dfrac{45}{25}=\dfrac{9}{5}\) と確かに \(C_{1},C_{3}\) の頂点を通ります。比は \(1.8\) 倍でした。

【定石】　放物線は「2つの \(x\) 切片」が分かれば \(y=a(x-p)(x-q)\) と置く。頂点の \(x\) 座標は2切片の平均になるので、平方完成すら要らない。

〔1〕(2)　条件を1つ変えて、逆に位置を求める

【型】条件を1つ差し替えて、未知数を置き直す

【なぜこうするか】　(1)で使った「軸が \(y\) 軸」という性質は、\(C_{1}\) と \(C_{3}\) の頂点を通るという条件から出ていました。仮定2′ でもその条件は生きているので、軸が \(y\) 軸であることはそのまま使えます。変わったのは頂点の高さだけです。

\(C_{2}’:y=p’x^{2}+5\) と置くと、\(\left(1,\ \dfrac{9}{5}\right)\) を通るので

\[p’+5=\dfrac{9}{5}\ \Longrightarrow\ p’=\dfrac{9}{5}-5=-\dfrac{16}{5}\]

\(x\) 切片は \(-\dfrac{16}{5}x^{2}+5=0\) から \(x^{2}=\dfrac{25}{16}\)、正の方をとって \(x=\dfrac{5}{4}\)。すなわち \(\mathrm{P}_{2}’\left(\dfrac{5}{4},\ 0\right)\) です。

\(\mathrm{P}_{2}\) は \(\dfrac{3}{2}=\dfrac{6}{4}\) なので

\[\dfrac{6}{4}-\dfrac{5}{4}=\dfrac{1}{4}\]

だけ左（\(\mathrm{P}_{1}\) の側）にあります。スは1、セは4、ソは⓪です。

高くしたいなら水が出る位置を内側に寄せる——直感とも合う結論です。

【検算】　\(C_{2}’=-\dfrac{16}{5}x^{2}+5\) に \(x=1\) を入れると \(-\dfrac{16}{5}+5=\dfrac{9}{5}\) で確かに \(C_{1}\) の頂点を通り、\(x=\dfrac{5}{4}\) を入れると \(-\dfrac{16}{5}\cdot\dfrac{25}{16}+5=-5+5=0\) で \(x\) 軸上。頂点の高さは5です。

【定石】　設定を差し替える小問では、前問の結論のうちどれが生き残るかを最初に確認する。生き残る性質（ここでは「軸が \(y\) 軸」）を再利用すれば計算量は激減する。

〔2〕(1)(i)　散布図の判定は「基準線との上下」で数える

【型】散布図の条件は「縦の線」「横の線」「斜めの線」に翻訳して数える

【なぜこうするか】　散布図の正誤問題は、点を漫然と眺めても答えが出ません。条件を図の上の「線」に置き換えるのがコツです。(a)は「\(x=100\) より右、かつ \(y=2500\) より上」という長方形の領域に入る点の個数。(b)は「\(y=10x\) の破線より下にある点」の割合です。

(a)：図1で右上の領域に入るのは2点です（外国人宿泊者数が突出して多い2つの都道府県）。よって正。

(b)：条件 \(y\lt 10x\) は破線より下という意味です。図1を見ると、点の大半は左端付近に密集し、日本人宿泊者数が数百〜1000程度で外国人宿泊者数がごく小さい。そのような点は \(y\) が \(10x\) をはるかに上回るので破線より上にあります。破線より下にある点は少数で、47の半分（24以上）には届きません。よって「50%未満」は正。

したがってタは⓪です。

【検算】　(b)の向きを式で再確認します。破線は \(y=10x\) なので、「日本人宿泊者数が外国人宿泊者数の10倍未満」は \(y\lt 10x\)、すなわち破線より下です。本文に文字起こしした図1の読み取り情報でも、該当する点は47点の半数を超えるために必要な24点に達していません。

【定石】　散布図に補助線が引いてあるときは、必ずその線が条件そのもの。傾き10の直線が引いてあるなら「10倍」の条件が問われる、と先読みできる。

〔2〕(1)(ii)　四分位数は順位で決まる。47個なら12番目と36番目

【型】\(n=47\) の四分位数は、下半分23個の中央（12番目）と上半分23個の中央（36番目）

【なぜこうするか】　47個のデータの中央値は24番目。これを除いた下側23個の中央が \(Q_{1}\)、上側23個の中央が \(Q_{3}\) です。下側は1〜23番目でその中央は12番目、上側は25〜47番目でその中央は36番目。順位さえ正しく数えれば表を読むだけで終わります。

\(Q_{1}=\mathrm{P}12=351\)、\(Q_{3}=\mathrm{P}36=1251\) なので

\[1251-351=900\]

チは④です。上側の外れ値の判定値は

\[Q_{3}+1.5\times 900=1251+1350=2601\]

表1で2601以上なのは \(\mathrm{P}45=2831\)、\(\mathrm{P}46=2839\)、\(\mathrm{P}47=5226\) の3つ。下側の判定値は \(351-1350\lt 0\) なので該当なしです。

この3つはいずれも印が付いている（外国人宿泊者数でも外れ値）ので、両方で外れ値となるのは3。ツは3です。

【検算】　表1の47個の値を計算機に入れて四分位数を求めると \(Q_{1}=351\)、\(Q_{3}=1251\)、四分位範囲900、上側判定値2601、該当は \(\mathrm{P}45,\mathrm{P}46,\mathrm{P}47\) の3件。いずれも印付きリスト（\(\mathrm{P}37,40,42,43,44,45,46,47\)）に含まれるので、共通は3件と確認できました。

【定石】　四分位数は「値」ではなく「順位」で決まる。データ数 \(n\) を4で割った位置を数え間違えないことが全て。表が与えられていれば計算はほぼ不要。

〔2〕(2)　和の分散は「分散の和 ＋ 共分散の2倍」

【型】\((A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}\) を偏差に対して使う

【なぜこうするか】　分散は「偏差の2乗の平均」です。問題文が \(z_{i}-\overline{z}=(x_{i}-\overline{x})+(y_{i}-\overline{y})\) を先に示してくれているので、両辺を2乗して平均をとるだけ。展開したときの交差項が共分散の定義そのものになります。

\[(z_{i}-\overline{z})^{2}=(x_{i}-\overline{x})^{2}+2(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})+(y_{i}-\overline{y})^{2}\]

平均をとると、第1項が \(s_{x}^{2}\)、第3項が \(s_{y}^{2}\)、第2項が \(2s_{xy}\)。よって \(s_{z}^{2}=s_{x}^{2}+s_{y}^{2}+2s_{xy}\) でテは④です。

正の相関があるとは \(s_{xy}\gt 0\) ということ。したがって \(s_{z}^{2}\gt s_{x}^{2}+s_{y}^{2}\) でトは⓪です。

意味を読むと、同じ方向に動く2つの量を足すと、ばらつきは単純な和より大きくなる。外国人も日本人も多く泊まる県はどちらも大きい値なので、合計はいっそう極端になる、ということです。

【検算】　極端な例で確かめます。\(x=y\) のとき \(z=2x\) なので \(s_{z}^{2}=4s_{x}^{2}\)。一方 \(s_{x}^{2}+s_{y}^{2}=2s_{x}^{2}\) で、確かに \(s_{z}^{2}\) の方が大きい。公式でも \(s_{xy}=s_{x}^{2}\) だから \(s_{x}^{2}+s_{y}^{2}+2s_{xy}=4s_{x}^{2}\) と一致します。逆に \(y=-x\)（負の相関）なら \(z\) は定数で \(s_{z}^{2}=0\) となり、公式の \(2s_{x}^{2}-2s_{x}^{2}=0\) とも合います。

【定石】　\(s_{x+y}^{2}=s_{x}^{2}+s_{y}^{2}+2s_{xy}\) は、共分散の意味を理解するための最重要公式。「相関が正なら合計のばらつきは増える」と言葉で覚えておく。

〔2〕(3)　実験結果を確率とみなして仮説を検証する

【型】仮説検定は「仮説のもとでの確率」と基準（5%）を比べる

【なぜこうするか】　「Aの方がよいと答える割合とBの方がよいと答える割合が等しい」とは、1人あたり \(\dfrac{1}{2}\) ずつということ。これはコインを1枚投げるのと同じです。だから35人分は35枚のコイン投げに置き換えられる——これが実験結果を持ち出す理由です。

23枚以上が表となった割合を、表の値から足し上げます。

\[2.4+0.9+0.5+0.4+0.0+0.1+0.0+\cdots=4.3\]

（23枚が2.4、24枚が0.9、25枚が0.5、26枚が0.4、27枚が0.0、28枚が0.1、29枚以上はすべて0.0。）よってナは4、ニは3です。

\(4.3\%\lt 5\%\) なので、方針に従えば仮説は誤っていると判断する（ヌは⓪）。仮説（半々である）が否定された以上、Aの方がよいと思っている人が多いといえる（ネは⓪）。

【検算】　理論値でも確かめられます。二項分布 \(B\left(35,\ \dfrac{1}{2}\right)\) で23以上となる確率を計算すると約 \(4.5\%\)。実験で得た \(4.3\%\) はこれに非常に近く、実験結果が確率のよい近似になっていることが確認できます。どちらの値でも \(5\%\) を下回るので結論は変わりません。

【定石】　「割合が等しい」という仮説はコイン投げに読み替える。基準（5%）と比べるのは「観測された値以上が起こる確率」であって、観測された値ちょうどの確率ではない。

【よくあるミス】　「23枚ちょうど」の2.4%だけを見て \(5\%\) 未満と判断すること。方針には「23人以上」と書いてあるので、24枚以上の分も必ず足します。

第3問（配点20）　五面体と球面（方べきの定理と相似の連鎖）

(1)　交線をたどって、3直線が1点で交わることを示す

【型】1つの辺は、その辺を共有する2つの面の交線である

【なぜこうするか】　立体の証明は、「その線分がどの2つの面の境目になっているか」を探すのが基本動作です。辺 AD を含む面は、四角形 ABED と四角形 ACFD の2つ。したがって直線 AD はこの2平面の交線で、アは②です。

同じく辺 BE を含む面は四角形 ABED と四角形 BCFE。よってイは③です。

すると P は平面 ACFD 上にも平面 BCFE 上にもあることになります。この2平面の交線は、共有する辺 CF を含む直線。よって P は直線 CF 上にあり、3直線が P で交わることが示せました。

【検算】　五面体の各辺がどの2面に属するかを数え上げると、AD は{ABED, ACFD}、BE は{ABED, BCFE}、CF は{ACFD, BCFE}。3つの四角形の面が互いに1辺ずつ共有する構造になっていて、証明の筋が通っています。

【定石】　「3直線が1点で交わる」の空間版は「2直線の交点が、第3の直線を含む2平面の両方に乗る」と示すのが定番。平面幾何のチェバの定理とは別の、空間特有の論法。

(2)(i)　円に内接する四角形の外側の交点から、相似を作る

【型】円に内接する四角形の対辺の延長の交点は、2つの相似三角形を作る

【なぜこうするか】　球面を平面で切ると円になる——この見方が問題全体の鍵です。平面 ABED で切れば A、B、E、D は同一円周上にあり、円に内接する四角形ができます。すると円周角の性質から \(\angle\mathrm{PAB}=\angle\mathrm{PED}\)（外角＝対角）となり、\(\angle\mathrm{P}\) は共通なので \(\triangle\mathrm{PAB}\backsim\triangle\mathrm{PED}\)。相似比は対応する辺 AB と ED の比で \(3:9=1:3\)。ウは3です。

相似から \(\mathrm{PE}=3\mathrm{PA}\)、\(\mathrm{PD}=3\mathrm{PB}\)。一方、線分の長さの関係は

\[\mathrm{PE}=\mathrm{PB}+\mathrm{BE}=\mathrm{PB}+11,\qquad \mathrm{PD}=\mathrm{PA}+\mathrm{AD}=\mathrm{PA}+7\]

よって \(3\mathrm{PA}=\mathrm{PB}+11\)、\(3\mathrm{PB}=\mathrm{PA}+7\) でエオは11、カは7です。

連立して解きます。第2式より \(\mathrm{PA}=3\mathrm{PB}-7\)。第1式に代入して \(3(3\mathrm{PB}-7)=\mathrm{PB}+11\)、\(8\mathrm{PB}=32\)、\(\mathrm{PB}=4\)。よって \(\mathrm{PA}=5\)。キは5、クは4です。

【検算】　\(\mathrm{PE}=3\times 5=15\) で、\(\mathrm{PB}+\mathrm{BE}=4+11=15\) と一致。\(\mathrm{PD}=3\times 4=12\) で、\(\mathrm{PA}+\mathrm{AD}=5+7=12\) と一致。さらに方べきの定理 \(\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PD}=\mathrm{PB}\cdot\mathrm{PE}\) を確かめると \(5\times 12=60\)、\(4\times 15=60\) で成立します。

【定石】　球面を平面で切ると円。空間の問題でも、うまい平面で切れば平面幾何（円周角・方べき・相似）の道具がそのまま使える。

(2)(ii)　方べきの定理を別の平面でもう一度使う

【型】同じ点 P について、複数の切り口で方べきの定理を使う

【なぜこうするか】　P は3直線 AD、BE、CF すべての上にあります。だからどの切り口の円についても、P からの方べきの値は同じ——ここが本問の設計の妙です。

平面 BCFE で切ると B、C、F、E が同一円周上。方べきの定理より \(\mathrm{PB}\cdot\mathrm{PE}=\mathrm{PC}\cdot\mathrm{PF}\)。左辺は \(4\times 15=60\)。\(\mathrm{PF}=\mathrm{PC}+\mathrm{CF}=\mathrm{PC}+17\) なので

\[\mathrm{PC}(\mathrm{PC}+17)=60\ \Longrightarrow\ \mathrm{PC}^{2}+17\mathrm{PC}-60=0\ \Longrightarrow\ (\mathrm{PC}-3)(\mathrm{PC}+20)=0\]

長さは正なので \(\mathrm{PC}=3\)。ケは3です。

次に EF。平面 BCFE 内で \(\triangle\mathrm{PBC}\backsim\triangle\mathrm{PFE}\)（同じく内接四角形の外側の交点）。相似比は \(\mathrm{PB}:\mathrm{PF}=4:20=1:5\) なので

\[\mathrm{EF}=5\,\mathrm{BC}=5\times 3=15\]

コサは15です。同様に平面 ACFD 内で \(\triangle\mathrm{PAC}\backsim\triangle\mathrm{PFD}\)、相似比 \(\mathrm{PA}:\mathrm{PF}=5:20=1:4\) より

\[\mathrm{DF}=4\,\mathrm{AC}=4\times 3=12\]

シスは12です。

【検算】　平面 ACFD でも方べきの定理が成り立つか確認します。\(\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PD}=5\times 12=60\)、\(\mathrm{PC}\cdot\mathrm{PF}=3\times 20=60\) で一致。3つの切り口すべてで方べきの値が60になり、P からの「球面への方べき」が一定であることが確かめられました。

【定石】　球面上の1点 P から引いた直線について、方べきの値は切り口の円によらず一定。空間の複数の平面をまたいで長さを次々に決められる、強力な道具。

(2)(iii)　辺の長さから直角を見つけ、垂直の命題を判定する

【型】直線と平面の垂直は「その平面上の交わる2直線と垂直」で判定する

【なぜこうするか】　3つの角の大きさを、三平方の定理の逆で1つずつ判定していきます。ここまでに求めた長さがすべて効いてきます。

まず \(\angle\mathrm{EDF}\)。\(\mathrm{DE}=9\)、\(\mathrm{DF}=12\)、\(\mathrm{EF}=15\) で

\[9^{2}+12^{2}=81+144=225=15^{2}\]

よって \(\angle\mathrm{EDF}=90^{\circ}\)、すなわち \(\mathrm{DE}\perp\mathrm{DF}\)。

次に \(\angle\mathrm{ADE}\)。\(\triangle\mathrm{PED}\) の3辺は \(\mathrm{PE}=15\)、\(\mathrm{PD}=12\)、\(\mathrm{ED}=9\) で、これも \(9^{2}+12^{2}=15^{2}\)。したがって \(\angle\mathrm{PDE}=90^{\circ}\)。A は線分 PD 上にあるので、D から見た A の方向は P の方向と同じ。よって \(\angle\mathrm{ADE}=\angle\mathrm{PDE}=90^{\circ}\)、すなわち \(\mathrm{DE}\perp\mathrm{DA}\)。

DA と DF は平面 ACFD 上で D を通る交わる2直線。DE がその両方と垂直なので

すなわち DE は平面 ACFD に垂直です。

(b)は真。そして AC は平面 ACFD 上の直線なので、DE は AC とも垂直。(c)も真です。

最後に(a)。平面 ABED と平面 DEF はどちらも直線 DE を含みます。この2平面のなす角は、DE に垂直な方向で測ります。DE ⊥ DA かつ DE ⊥ DF なので、なす角はそのまま \(\angle\mathrm{ADF}\)。3点 P、D、F を頂点とする三角形で \(\mathrm{PD}=12,\ \mathrm{DF}=12,\ \mathrm{PF}=20\) だから

\[\cos\angle\mathrm{ADF}=\cos\angle(\overrightarrow{\mathrm{DP}},\overrightarrow{\mathrm{DF}})=\dfrac{12^{2}+12^{2}-20^{2}}{2\cdot 12\cdot 12}=\dfrac{-112}{288}=-\dfrac{7}{18}\]

\(90^{\circ}\) ではないので(a)は偽。よってセは④です。

【検算】　\(\cos\angle\mathrm{ADF}=-\dfrac{7}{18}\fallingdotseq-0.389\) より \(\angle\mathrm{ADF}\fallingdotseq 112.9^{\circ}\)。確かに直角ではありません。また \(\triangle\mathrm{PAB}\) の3辺 \(5,\ 4,\ 3\) も \(3^{2}+4^{2}=5^{2}\) を満たすので \(\angle\mathrm{PBA}=90^{\circ}\)。この五面体は直角がいくつも隠れている、よくできた設定になっています。

【定石】　直線が平面に垂直＝その平面上の交わる2直線と垂直。1本だけでは足りない。逆に平面に垂直だと分かれば、その平面上のすべての直線と垂直になる。

第4問（配点20）　くじ引きゲームの期待値

(1)　排反な場合を足す。余事象で引くと速い

【型】排反な事象の和／余事象で引く

【なぜこうするか】　問題文が与えている3つの確率は、いずれも「初めて当たりが出るのが \(k\) 回目」という互いに排反な事象の確率です。だから足し算がそのまま使えます。逆に「当たらない」は余事象で引くのが速い。

1回目または2回目に当たりが出る確率は

\[\dfrac{3}{16}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{16}+\dfrac{2}{16}=\dfrac{5}{16}\]

アは5、イウは16です。その余事象が「1回目、2回目ともに当たらない」で

\[1-\dfrac{5}{16}=\dfrac{11}{16}\]

エオは11、カキは16です。3回とも当たらないのは、ここから「2回外して3回目に当たる」を引けばよいので

\[\dfrac{11}{16}-\dfrac{1}{16}=\dfrac{10}{16}=\dfrac{5}{8}\]

クは5、ケは8です。

【検算】　当たりが出る確率は \(\dfrac{3}{16}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{3+2+1}{16}=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}\)。1回も当たらない確率 \(\dfrac{5}{8}\) と足すと1になり、つじつまが合います。

【定石】　「初めて〜する回」の確率が並んでいたら、それらは排反。単純に足せるし、全部足して1から引けば「一度も起こらない」が出る。

(2)　期待値は「値 × 確率」の総和。2値なら一瞬

【型】期待値 \(E(X)=\sum x_{k}p_{k}\)（値と確率の積の総和）

【なぜこうするか】　\(X\) がとる値は1200か0の2つだけ。0の項は消えるので、実質「1200 × 景品を渡す確率」の一発計算です。(1)で「1回も当たらない確率 \(\dfrac{5}{8}\)」を求めてあるので、景品を渡す確率はその余事象 \(\dfrac{3}{8}\)。

\[E(X)=1200\times\dfrac{3}{8}+0\times\dfrac{5}{8}=450\]

コサシは450です。\(450\lt 500\) なのでスは⓪、判断は「妥当である」でセは⓪です。

主催者の立場で読むと、1人あたり平均450円の景品を配って500円もらうので、平均して50円の黒字。だから妥当だと判断しているわけです。

【検算】　景品を渡す確率を別経路で確認します。\(\dfrac{3}{16}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}=0.375\)。\(1200\times 0.375=450\) で一致しました。

【定石】　値が2つしかない期待値は「大きい方の値 × その確率」で終わる。表を書く前に、0になる項を消してしまう。

(3)(i)　支払い方法を変えると、確率の割り当ても変わる

【型】確率変数の値と確率の対応表を作ってから期待値を計算する

【なぜこうするか】　\(Y=510\) となる場合に注意が要ります。3回目に当たっても外れても、参加者は3回分の料金を払っているからです。だから \(Y=510\) の確率は「1回目、2回目ともに当たらない」の \(\dfrac{11}{16}\) であって、\(\dfrac{1}{16}\) や \(\dfrac{10}{16}\) ではありません。ここを間違えると期待値がずれます。

対応は \(Y=170\) が \(\dfrac{3}{16}\)、\(Y=340\) が \(\dfrac{1}{8}=\dfrac{2}{16}\)、\(Y=510\) が \(\dfrac{11}{16}\)。合計は \(\dfrac{3+2+11}{16}=1\) で確かに全体をおおっています。

\[E(Y)=170\cdot\dfrac{3}{16}+340\cdot\dfrac{2}{16}+510\cdot\dfrac{11}{16}=\dfrac{510+680+5610}{16}=\dfrac{6800}{16}=425\]

ソタチは425です。

【検算】　別の見方で確かめます。参加者が支払う回数の期待値は \(1\cdot\dfrac{3}{16}+2\cdot\dfrac{2}{16}+3\cdot\dfrac{11}{16}=\dfrac{3+4+33}{16}=\dfrac{40}{16}=\dfrac{5}{2}\) 回。これに \(170\) をかけると \(170\times\dfrac{5}{2}=425\) で一致しました。

【定石】　確率の割り当てで迷ったら、確率の合計が1になるかを必ず確認する。1にならなければ、どこかの場合分けが重複しているか抜けている。

(3)(ii)　文字のまま期待値を作り、不等式で条件を出す

【型】数値で確かめた計算を、文字のまま繰り返す

【なぜこうするか】　(i)で \(a=170\) の場合を計算させたのは、そのまま \(a\) を文字にして繰り返せという誘導です。(i)の検算で見たとおり、支払い回数の期待値は \(\dfrac{5}{2}\) 回で \(a\) によりません。だから

\[E(Y)=a\cdot\dfrac{3}{16}+2a\cdot\dfrac{2}{16}+3a\cdot\dfrac{11}{16}=\dfrac{40a}{16}=\dfrac{5}{2}a\]

まず \(a=170\) のとき。\(E(X)=450\)、\(E(Y)=425\) で \(450\geqq 425\) だからツは①（以上である）。主催者の負担の方が大きいので、くじ引き料170円は妥当ではない。テは①です。

一般の \(a\) で「妥当である」条件は \(E(X)\lt E(Y)\)、すなわち

\[450\lt\dfrac{5}{2}a\ \Longrightarrow\ a\gt 180\]

トナニは180です。逆に \(a\leqq 180\) なら妥当ではないと判断します。

支払い方法1では500円が妥当だったのに、支払い方法2では1回あたり180円を超えないと成立しない。同じゲームでも、料金の取り方を変えると必要な金額が変わる——これが本問の伝えたいことです。

【検算】　\(a=180\) のとき \(E(Y)=\dfrac{5}{2}\times 180=450=E(X)\) でちょうど等しくなり、境目であることが確認できます。\(a=181\) なら \(E(Y)=452.5\gt 450\) で妥当、\(a=179\) なら \(E(Y)=447.5\lt 450\) で妥当でない。境界が \(a=180\) で正しく切り替わっています。

【定石】　期待値の比較問題は「文字のまま期待値を作る → 不等式を解く」の2手。数値の小問はその手順を確かめるための練習だと読むと、誘導に乗りやすい。