共通テスト2025 数学Ⅱ・B・C 全問解説（令和7年度 本試験）

※ 問題文は大学入試センターが公表した2025年度（令和7年度）大学入学共通テスト 本試験の問題を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」代表 藤原進之介が独自に作成したものであり、大学入試センターが公表した公式解答そのものではありません。答えはすべて公表された正解表と突き合わせ、全問一致を確認しています。数表と図で与えられた条件も、解答に必要な内容を本文中に文字で示しています。

第1問（配点15・必答）　三角方程式（単位円で「等しくなる条件」を作る）

(1)(i)　まず「角が等しい」場合を押さえる

【型】\(\sin A=\sin B\) の解のうち、まず \(A=B\) の場合

【なぜこうするか】　\(\sin\) が等しくなる状況は2種類ありますが、いちばん素直な「角そのものが等しい」から入るのが誘導の意図です。ここで「これが解の一つにすぎない」と意識しておくことが、(ii)以降で取りこぼさないための準備になります。

\(\alpha=\beta\) より \(\theta+\dfrac{\pi}{6}=2\theta\)、すなわち \(\theta=\dfrac{\pi}{6}\)。アは6です。

このとき \(\theta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}\)、\(2\theta=\dfrac{\pi}{3}\) でどちらも \(\dfrac{\pi}{3}\)。よって

\[\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]

イは3、ウは2です。

【検算】　\(\theta=\dfrac{\pi}{6}\fallingdotseq 0.5236\) を①の両辺に入れると、左辺は \(\sin(0.5236+0.5236)=\sin\dfrac{\pi}{3}=0.8660\)、右辺 \(\sin\dfrac{\pi}{3}=0.8660\) で一致。数式処理系でも差が厳密に0になりました。

【定石】　三角方程式は「素直な解を1つ見つける」→「他にないか調べる」の順で進める。1つ見つかった時点で終わりにしないこと。

(1)(ii)　単位円で見れば「サインが等しい」＝「\(y\) 座標が等しい」

【型】\(\sin\theta\) は単位円上の点の \(y\) 座標、\(\cos\theta\) は \(x\) 座標

【なぜこうするか】　三角関数の定義そのものです。単位円上で角 \(\theta\) の動径と円の交点の座標が \((\cos\theta,\ \sin\theta)\)。だから \(\sin\alpha=\sin\beta\) は「P と Q の \(y\) 座標が等しい」とまったく同じ意味です。エは②です。

⓪は強すぎます（\(y\) 座標が等しくても \(x\) 座標が違えば別の点）。①は \(\cos\) が等しい条件で、これは別物。③は原点対称なら \(y\) 座標が符号反転するので、むしろ \(\sin\alpha=-\sin\beta\) になってしまいます。

この言い換えができると、次が見えます。単位円上で \(y\) 座標が等しい点は高々2つで、それらは\(y\) 軸に関して対称。したがって \(\alpha\) と \(\beta\) の関係は「等しい」か「和が \(\pi\) の奇数倍（＝\(y\) 軸対称）」のどちらかです。

【検算】　\(\alpha=\dfrac{\pi}{6},\ \beta=\dfrac{5\pi}{6}\) で確かめます。P \(=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{1}{2}\right)\)、Q \(=\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{1}{2}\right)\) で \(y\) 座標が一致し、\(x\) 座標は符号が逆。確かに \(y\) 軸対称で、\(\alpha+\beta=\pi\) です。

【定石】　\(\sin A=\sin B\ \Longleftrightarrow\ A=B+2n\pi\) または \(A+B=\pi+2n\pi\)。単位円で \(y\) 軸対称を思い浮かべれば、公式を暗記していなくても復元できる。

(1)(iii)　範囲を分けて、\(\alpha+\beta\) が何になるかを特定する

【型】\(\alpha+\beta=\pi+2n\pi\) のうち、範囲から \(n\) を1つに絞る

【なぜこうするか】　\(\alpha+\beta\) の候補は \(\pi,\ 3\pi,\ 5\pi,\ \cdots\) と無限にあります。どれになるかは\(\alpha+\beta\) が動きうる範囲から決まる。だから問題文は \(\theta\) の範囲をわざわざ2つに分けているのです。範囲を出してから候補をあてはめる、という手順を守れば迷いません。

\(\alpha+\beta=\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)+2\theta=3\theta+\dfrac{\pi}{6}\) であることを押さえておきます。

[1] \(0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}\) のとき。\(\alpha+\beta=3\theta+\dfrac{\pi}{6}\) は \(\dfrac{\pi}{6}\) 以上 \(\dfrac{3\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{3}\) 以下。この範囲に入る \(\pi\) の奇数倍は \(\pi\) だけです。オは②。

\[3\theta+\dfrac{\pi}{6}=\pi\ \Longrightarrow\ 3\theta=\dfrac{5\pi}{6}\ \Longrightarrow\ \theta=\dfrac{5}{18}\pi\]

カは5、キクは18です。

[2] \(\dfrac{\pi}{2}\lt\theta\lt\pi\) のとき。\(\alpha+\beta=3\theta+\dfrac{\pi}{6}\) は \(\dfrac{3\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{3}\) より大きく \(3\pi+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{19\pi}{6}\) より小さい。この範囲に入る \(\pi\) の奇数倍は \(3\pi\) だけです（\(\dfrac{5\pi}{3}\fallingdotseq 1.67\pi\)、\(\dfrac{19\pi}{6}\fallingdotseq 3.17\pi\)）。ケは⑥。

\[3\theta+\dfrac{\pi}{6}=3\pi\ \Longrightarrow\ 3\theta=\dfrac{17\pi}{6}\ \Longrightarrow\ \theta=\dfrac{17}{18}\pi\]

コサは17、シスは18です。以上より①の解は \(\theta=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5}{18}\pi,\ \dfrac{17}{18}\pi\) の3つです。

【検算】　\(0\leqq\theta\lt\pi\) を400万分割して \(\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)-\sin 2\theta\) の符号変化を数えたところ、解は \(0.523598,\ 0.872665,\ 2.967059\) のちょうど3個。理論値 \(\dfrac{\pi}{6}=0.523599\)、\(\dfrac{5\pi}{18}=0.872665\)、\(\dfrac{17\pi}{18}=2.967060\) と一致し、解の個数まで含めて正しいことが確認できました。

【定石】　\(\pi+2n\pi\) 型の候補を絞るときは、左辺の動く範囲を先に計算する。範囲の両端を \(\pi\) で割って考えると、入る奇数倍が一目でわかる。

【よくあるミス】　\(\alpha+\beta=\pi\) だけを考えて、\(3\pi\) の場合を落とすこと。\(\theta\) の範囲が広いときは \(\alpha+\beta\) も広く動くので、必ず範囲を書き出して確認します。

(2)　コサインなら「\(x\) 軸対称」。単位円の使い方は同じ

【型】\(\cos A=\cos B\ \Longleftrightarrow\ A=\pm B+2n\pi\)

【なぜこうするか】　(ii)の単位円の考え方を、\(\cos\) に適用します。\(\cos\) は単位円上の点の \(x\) 座標です。\(x\) 座標が等しい2点は\(x\) 軸に関して対称なので、角の関係は「等しい」か「和が \(2n\pi\)（＝符号が逆）」になります。\(\sin\) の「和が \(\pi\) の奇数倍」という条件との違いを確認しておきましょう。

[1] 角が等しい場合。\(\theta+\dfrac{\pi}{6}=2\theta\) より \(\theta=\dfrac{\pi}{6}\)。セは6です。

[2] 角の符号が逆の場合。\(\theta+\dfrac{\pi}{6}=-2\theta+2n\pi\) より

\[3\theta=-\dfrac{\pi}{6}+2n\pi\ \Longrightarrow\ \theta=-\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{2n\pi}{3}\]

\(0\leqq\theta\lt\pi\) に入るのは \(n=1\) のときだけで

\[\theta=-\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{12\pi}{18}=\dfrac{11}{18}\pi\]

（\(n=0\) なら負、\(n=2\) なら \(\dfrac{23}{18}\pi\gt\pi\) で範囲外。）よってソタは11、チツは18です。

解が3個から2個に減ったことにも意味があります。\(\cos\) の場合は「和が \(2n\pi\)」と間隔が \(\sin\) の2倍なので、同じ範囲に入る解が少なくなるのです。

【検算】　こちらも400万分割で符号変化を数えると、解は \(0.523598\) と \(1.919862\) の2個。理論値 \(\dfrac{\pi}{6}=0.523599\)、\(\dfrac{11\pi}{18}=1.919862\) と一致しました。数式処理系でも両者を代入した差が厳密に0になります。

【定石】　\(\sin\) が等しい＝\(y\) 軸対称（和が \(\pi\) の奇数倍）／\(\cos\) が等しい＝\(x\) 軸対称（和が \(2\pi\) の倍数）。単位円の対称軸と結びつけると、二つの条件を区別しやすくなります。

第2問（配点15・必答）　常用対数（水草の増え方と除去作業の計画）

(1)前半　「\(n\) 日で何倍」は「1日あたりの倍率の \(n\) 乗」

【型】一定の倍率で増えるモデルでは、\(n\) 期間後の倍率は \(r^{n}\)

【なぜこうするか】　「1日ごとに \(r\) 倍」ということは、1日たつごとに \(r\) をかける。3日たてば \(r\) を3回かけるので \(r^{3}\) 倍です。足し算ではなく掛け算で増える——この区別が指数・対数の問題すべての土台になります。アは③です。

選択肢②の \(3r\) を選んでしまう人が一定数いますが、それは「1日あたり \(r\) ずつ足す」モデル（等差）です。今回は等比なので指数になります。

【検算】　観測値から3日ごとの倍率を実際に計算すると \(\dfrac{22.7}{17.2}=1.320\)、\(\dfrac{30.0}{22.7}=1.322\)、\(\dfrac{39.6}{30.0}=1.320\)。確かに小数第3位を四捨五入するといずれも1.32で、「一定の倍率で増える」というモデルが妥当だと確認できます。

【定石】　「一定の割合で増える」は等比数列（指数関数）。「一定の量だけ増える」は等差数列。文章題ではこの2つを最初に見分ける。

(1)後半　対数をとって、指数を前に下ろす

【型】\(\log_{10}r^{3}=3\log_{10}r\)

【なぜこうするか】　\(r^{3}=1.32\) から3乗根を直接扱うのは、常用対数表を使う計算には向きません。両辺の対数をとれば、指数の3を前に出して掛け算として扱えるため、表にある値から \(r\) を求められます。

常用対数表で \(\log_{10}1.32\) を引きます。行が \(1.3\)、列が \(2\) の交点で \(0.1206\)。イは①です。

\[\log_{10}r^{3}=\log_{10}1.32\ \Longrightarrow\ 3\log_{10}r=0.1206\ \Longrightarrow\ \log_{10}r=0.0402\]

ウエオカは0402です。

【検算】　実際の値で確かめると \(\log_{10}1.32=0.120574\cdots\)、3で割ると \(0.040191\cdots\)。表から読んだ \(0.1206\) と \(0.0402\) は、四捨五入の範囲で正しい値です。\(r=10^{0.0402}\fallingdotseq 1.0970\) となり、1日あたり約9.7%ずつ増えていることになります。

【定石】　指数の中に未知数があるときは両辺の対数をとる。常用対数表は「行＝上2桁、列＝3桁目」で引く、と手順を固定しておく。

(2)　条件を式にし、対数をとって整数解を出す

【型】\(\log_{10}(60)=\log_{10}6+1\) のように、桁を分けて表を使う

【なぜこうするか】　14日で \(r^{14}\) 倍になるのでキは③、そして \(a\cdot r^{14}=60\) でクケは60です。ここで対数をとりますが、常用対数表は1.00から9.99までしか載っていません。60は表の範囲外なので \(60=6\times 10\) と分けて \(\log_{10}60=\log_{10}6+1\) とするのが必須の手順です。

\[\log_{10}a+14\log_{10}r=\log_{10}60\]

\[\log_{10}a=(0.7782+1)-14\times 0.0402=1.7782-0.5628=1.2154\]

よってコは③です。

最後に \(a\) 自体を求めます。\(\log_{10}a=1.2154\) なので \(a=10^{1.2154}=10\times 10^{0.2154}\)。常用対数表を逆に引いて、値が \(0.2154\) に近いところを探すと \(\log_{10}1.64=0.2148\)、\(\log_{10}1.65=0.2175\)。\(0.2154\) はこの間なので \(10^{0.2154}\) は \(1.64\) と \(1.65\) の間、したがって \(a\) は \(16.4\) と \(16.5\) の間です。

\(a\) 以下で最大の整数は16。サシは16です。

【検算】　実数値で計算すると \(\log_{10}60-14\log_{10}r=1.77815-14\times 0.040191=1.21548\)、\(a=10^{1.21548}=16.419\cdots\)。確かに \(a\) 以下で最大の整数は16です。さらに \(16\times r^{14}=16\times 1.0970^{14}\fallingdotseq 58.5\lt 60\) で条件を満たし、\(17\times r^{14}\fallingdotseq 62.1\gt 60\) で超えてしまう。16が最大だと裏づけられます。

【定石】　常用対数表は1.00〜9.99の範囲しか載っていない。それ以外の数は \(a\times 10^{n}\) の形に直し、\(\log_{10}(a\times 10^{n})=\log_{10}a+n\) と分解してから引く。

【よくあるミス】　\(\log_{10}a=1.2154\) を見て \(a\fallingdotseq 1.2154\) と答えてしまうこと。対数の値と真数を取り違えないよう、最後は必ず \(a=10^{\square}\) の形に戻します。

第3問（配点22・必答）　微分・積分（同じ導関数をもつ2つの関数）

(1)　具体例で、極大・極小と積分定数の役割を確認する

【型】原始関数どうしの差は定数（グラフは上下にずれるだけ）

【なぜこうするか】　この小問の狙いは、「\(F\) と \(G\) は同じ導関数をもつので、グラフの形はまったく同じで、上下にずれているだけ」という事実を体感させることです。だから極値をとる \(x\) は \(F\) でも \(G\) でも同じ。違うのは極値の「値」だけです。

\(f(x)=F'(x)=6x^{2}+6x\) でアは6、イは6です。\(f(x)=6x(x+1)=0\) より \(x=-1,\ 0\)。\(f\) は下に凸なので \(x\lt-1\) で正、\(-1\lt x\lt 0\) で負、\(x\gt 0\) で正。よって \(F\) は \(x=-1\) で極大、\(x=0\) で極小です。ウエは \(-1\)。

\(G\) も導関数が同じ \(f\) なので \(G(x)=2x^{3}+3x^{2}+C\)。オは2、カは3です。極小をとる \(x\) は \(F\) と同じ \(x=0\) でキは0。

条件は「\(G\) は \(x=k\) で極大値0」。\(G\) の極大は \(x=-1\) なので \(k=-1\) であり

\[G(-1)=-2+3+C=1+C=0\ \Longrightarrow\ C=-1\]

クケは \(-1\) です。

【検算】　\(G(x)=2x^{3}+3x^{2}-1\) として \(G(-1)=-2+3-1=0\)（極大値0 ✓）、\(G(0)=-1\)（極小値）。一方 \(F(0)=0\)（極小値0 ✓）、\(F(-1)=1\)（極大値）。2つの関数の極値はちょうど1だけずれており、\(C=-1\) の分だけ \(G\) が下にあることが確認できます。

【定石】　導関数が同じ関数どうしは定数差だけ。「極値をとる \(x\) は共通、極値の値は定数分ずれる」と押さえておくと、この大問全体の見通しが立つ。

(2)(i)　条件を \(f\) の値と符号に翻訳し、グラフの形を決める

【型】極大・極小 ⇔ 導関数の符号変化

【なぜこうするか】　微分法の基本ですが、ここでは2つの条件を1つの \(f\) に同時に課しているのがポイントです。\(f\) は2次関数なので零点は高々2つ。それが \(x=0\) と \(x=k\) に決まり、しかも符号変化の向きまで指定されるので、\(f\) の形が完全に決まります。

\(F\) が \(x=0\) で極小 → \(f(0)=0\)（コは⓪）で、\(x=0\) の前後で \(f\) は負から正（サは⓪）。

\(G\) が \(x=k\) で極大 → \(f(k)=0\)（シは⓪）で、\(x=k\) の前後で \(f\) は正から負（スは①）。

まとめると \(f\) は \(x\lt 0\) で負、\(0\lt x\lt k\) で正、\(x\gt k\) で負。つまり \(f\) は上に凸の放物線で、\(f(x)=a\,x(x-k)\ (a\lt 0)\) と書けます。

この \(f\) を導関数にもつ \(F\) は、\(x\lt 0\) で減少、\(0\lt x\lt k\) で増加、\(x\gt k\) で減少。しかも \(F(0)=0\)（極小値0）なので、グラフは \(x=0\) でちょうど \(x\) 軸に接し、そこから上がって \(x=k\) で極大、その後は下がっていきます。先頭の係数は負なので、左端から降りてきて右端で急降下する形。セは③です。

【検算】　具体例 \(a=-1,\ k=2\)、すなわち \(f(x)=-x(x-2)\) で確かめます。\(F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt=-\dfrac{x^{3}}{3}+x^{2}\)。\(F(0)=0\)（極小値0 ✓）、\(F(2)=-\dfrac{8}{3}+4=\dfrac{4}{3}\gt 0\)（極大値 ✓）、\(x\to\infty\) で \(F\to-\infty\)。③の概形と完全に一致します。

【定石】　グラフの概形を選ぶ問題は、①増減の順序 ②極値の符号 ③無限遠での向きの3点で絞る。この3つが決まればグラフは一意に決まる。

(2)(ii)　極大値を定積分（＝面積）として読み直す

【型】\(\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt\) は「\(x=a\) で0になる原始関数」

【なぜこうするか】　\(F\) は \(f\) の原始関数の中で「\(F(0)=0\)」という条件を満たすもの。原始関数はいくらでもありますが、\(x=0\) で0になるものはただ一つで、それが \(\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt\) です。

\[F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt\]

でソは③（上端が \(x\)）、タは⓪（下端が0）です。

極大値は \(x=k\) のときの値なので

\[F(k)=\int_{0}^{k}f(t)dt\]

チは②、ツは⓪です。

(i)で見たとおり \(0\leqq x\leqq k\) では \(f(x)\geqq 0\) なので、この定積分は符号を気にせずそのまま面積になります。つまり \(y=f(x)\) のグラフと \(x\) 軸で囲まれた図形の面積そのもの。テは⓪、トは⓪です。

最後のナ。\(F\) と \(G\) は導関数が同じなので \(G(x)-F(x)\) は定数。その定数は \(x=0\) で測れば \(G(0)-F(0)=G(0)\) です。よって \(G(x)=F(x)+G(0)\)。ここに \(x=k\) を入れると

\[G(k)=F(k)+G(0)\]

条件より \(G(k)=0\) なので \(F(k)=-G(0)\)。そして \(G\) の極小値は \(x=0\) でとる値 \(G(0)\)（\(G\) も \(F\) と同じ増減だから）。したがって

（\(F\) の極大値）＝ \(-1\times\)（\(G\) の極小値）

すなわち「\(G(x)\) の極小値の \(-1\) 倍」でナは②です。

【検算】　具体例 \(f(x)=-x(x-2)\)（\(k=2\)）で確かめます。\(F(x)=-\dfrac{x^{3}}{3}+x^{2}\) の極大値は \(F(2)=\dfrac{4}{3}\)。一方 \(G\) は \(G(2)=0\) を満たす原始関数なので \(G(x)=-\dfrac{x^{3}}{3}+x^{2}-\dfrac{4}{3}\)、その極小値は \(G(0)=-\dfrac{4}{3}\)。確かに \(F\) の極大値 \(\dfrac{4}{3}\) は \(G\) の極小値 \(-\dfrac{4}{3}\) の \(-1\) 倍です。さらに \(\displaystyle\int_{0}^{2}\left(-t(t-2)\right)dt=\dfrac{4}{3}\) で、面積とも一致しました。

【定石】　「\(x=a\) で0になる原始関数」＝\(\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt\)。この書き換えができると、極値を「面積」として図で捉え直せる。