共通テスト2025 追試験 数学Ⅰ・A 全問解説｜令和7年度【数強塾】

第2問〔1〕（配点30のうち）　2点を通る放物線の族

(1)　平方完成で頂点を出す

【型】平方完成、または頂点の \(x\) 座標 \(=-\dfrac{b}{2a}\)

【なぜこうするか】　\(y=2x^{2}-7x+7\) の頂点は、公式で \(x\) 座標を先に出すのが速いです。

\[x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-7}{2\cdot 2}=\dfrac{7}{4}\]

これを代入して \(y\) 座標を求めます。

\[y=2\left(\dfrac{7}{4}\right)^{2}-7\cdot\dfrac{7}{4}+7=\dfrac{49}{8}-\dfrac{49}{4}+7=\dfrac{49-98+56}{8}=\dfrac{7}{8}\]

頂点は \(\left(\dfrac{7}{4},\ \dfrac{7}{8}\right)\)。アは7、イは4、ウは7、エは8です。

【検算】　平方完成でも確かめます。\(2x^{2}-7x+7=2\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^{2}-\dfrac{49}{8}+7=2\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^{2}+\dfrac{7}{8}\) ✓。数式処理でも頂点は \(\left(\dfrac{7}{4},\,\dfrac{7}{8}\right)\) でした。

【定石】　頂点の \(x\) 座標は \(-\dfrac{b}{2a}\)、\(y\) 座標は代入して求めるのが確実。\(\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}\) を暗記するより計算ミスが少ない。

(2)　2点を通る条件を \(a\) の式に翻訳する

【型】通る点の座標を代入して連立

【なぜこうするか】　「グラフが点を通る」＝「その座標を代入すると成り立つ」。素直に2つ代入します。

\[\mathrm{P}(1,\,2):\quad a+b+c=2\]

\[\mathrm{Q}(3,\,4):\quad 9a+3b+c=4\]

未知数は \(a\)、\(b\)、\(c\) の3つで式は2本なので、\(a\) を残して \(b\)、\(c\) を \(a\) で表します。2式を引くと \(c\) が消えて

\[8a+2b=2\quad\Longleftrightarrow\quad 4a+b=1\quad\Longleftrightarrow\quad b=1-4a\]

オは1、カは4です。これを1本目に戻して

\[c=2-a-b=2-a-(1-4a)=1+3a\]

キは1、クは3です。

これで\(a\) を1つ決めるごとに1つの放物線が決まり、どれも必ず P と Q を通るという「放物線の族」ができました。以降の小問はすべてこの族を動かす話です。

【検算】　\(a=2\) を入れると \(b=1-8=-7\)、\(c=1+6=7\) で、最初の \(y=2x^{2}-7x+7\) に戻ります ✓。数式処理で連立を解いても \(b=1-4a\)、\(c=3a+1\) でした。

【定石】　「\(n\) 個の条件、\(n+1\) 個の未知数」なら1つを残して他をその文字で表す。残した文字が図形を動かすパラメータになる。

(3)　頂点の \(y\) 座標の最大値を、図形的に見抜く

【型】計算する前に、図形の性質で候補を絞る

【なぜこうするか】　花子さんの誘導がそのまま解法です。\(a\gt 0\) なら下に凸なので、頂点はグラフ上で最も低い点。そしてグラフは必ず \(\mathrm{P}(1,\,2)\) を通ります。

したがって

（頂点の \(y\) 座標）\(\leqq\)（P の \(y\) 座標）\(=2\)

が常に成り立ちます。頂点の \(y\) 座標は絶対に2を超えられない。あとは「ちょうど2になれるか」を確かめるだけです。

等号が成り立つのは頂点が P そのものになるとき。そのとき放物線は

\[y=a(x-1)^{2}+2\]

と書け、これが \(\mathrm{Q}(3,\,4)\) を通る条件は

\[4a+2=4\quad\Longleftrightarrow\quad a=\dfrac{1}{2}\]

\(a=\dfrac{1}{2}\gt 0\) なので条件を満たします。最大値は2でケは2、そのときの \(a\) は \(\dfrac{1}{2}\) でコは1、サは2です。

頂点の座標を式で計算すると、頂点の \(y\) 座標は

\[-a+3-\dfrac{1}{4a}\]

となり、相加相乗平均を用いても最大値を求められます。この方法でうまく解ける理由は、放物線が必ず点 P を通り、頂点がグラフ上の最小値になるため、頂点の高さの上限を P の高さ2から直接決められるからです。

【検算】　頂点の \(y\) 座標を \(a\) の式で表すと \(-a+3-\dfrac{1}{4a}\)。これを微分して0とおくと \(a=\pm\dfrac{1}{2}\)、\(a\gt 0\) では \(a=\dfrac{1}{2}\) で最大値2 ✓。数値でも \(a=\dfrac{1}{4}\) で \(\dfrac{7}{4}\)、\(a=\dfrac{1}{2}\) で \(2\)、\(a=1\) で \(\dfrac{7}{4}\)、\(a=2\) で \(\dfrac{7}{8}\) と、確かに \(a=\dfrac{1}{2}\) が山になっています ✓。

【定石】　「必ず通る点」があれば、下に凸なら頂点はその点より下。上限がすぐ言えて、あとは等号成立を確かめるだけ。共通テストの誘導は、こういう「計算を回避する見方」を教えてくれることが多い。

(4)　\(a\lt 0\) のとき何が起こりうるか、3つを個別に検証する

【型】3つを1つずつ、\(a\) の条件に翻訳して判定する

【なぜこうするか】　(2)で \(b=1-4a\)、\(c=1+3a\) と分かっているので、どの主張も\(a\) についての条件に書き換えられます。

(A) グラフが \((0,\,3)\) を通る　\(x=0\) を代入すると \(y=c\) なので、条件は \(c=3\)。

\[1+3a=3\quad\Longleftrightarrow\quad a=\dfrac{2}{3}\]

これは正の数なので、\(a\lt 0\) の範囲では起こりません。(A)は不可。

(C) 頂点の \(x\) 座標が2以下　頂点の \(x\) 座標は

\[-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1-4a}{2a}=\dfrac{4a-1}{2a}=2-\dfrac{1}{2a}\]

\(a\lt 0\) なら \(\dfrac{1}{2a}\lt 0\) なので \(-\dfrac{1}{2a}\gt 0\)。つまり

（頂点の \(x\) 座標）\(=2-\dfrac{1}{2a}\gt 2\)

常に2より大きいので、2以下にはなりません。(C)も不可。

(B) グラフと \(x\) 軸の負の部分が交わる　\(a\lt 0\) なので上に凸。グラフは \(\mathrm{P}(1,\,2)\) と \(\mathrm{Q}(3,\,4)\) を通り、どちらも \(y\gt 0\)。軸は上で見たとおり2より右にあります。

ここで \(x=0\) での値 \(c=1+3a\) の符号がカギ。\(-\dfrac{1}{3}\lt a\lt 0\) のとき \(c\gt 0\) です。上に凸の放物線が \(x=0\) で正の値をとり、しかも軸が \(x=0\) より右にあるなら、\(x=0\) は2つの解の間にある。すなわち小さいほうの解は負です。

例えば \(a=-\dfrac{1}{10}\) なら \(b=1.4\)、\(c=0.7\) で、\(y=-0.1x^{2}+1.4x+0.7\) の解は \(x=-0.4833\) と \(x=14.4833\)。確かに負の解があります。(B)は起こり得ます。

以上より、起こり得るのは(B)だけ。シは②です。

【検算】　\(a=-0.1,\ -0.5,\ -1,\ -3\) の4通りで、\(c\)、軸、2つの解を実際に計算しました。軸はそれぞれ \(7.000,\ 3.000,\ 2.500,\ 2.167\) ですべて2より大きい（(C)不可 ✓）。負の解をもつのは \(a=-0.1\) のときだけで、\(a=-0.5\) 以降は \(c\lt 0\) になり2解とも正でした。また \(c=3\) になるものは1つもありません（(A)不可 ✓）。

【よくあるミス】　(B)を「\(a\lt 0\) ならどれでも起こる」と早合点すること。実際に起こるのは \(-\dfrac{1}{3}\lt a\lt 0\) という狭い範囲だけです。ただし本問は「起こり得るか」を問うているので、1つでも例があれば十分。

【定石】　「\(x\) 軸の負の部分と交わる」は\(f(0)\) の符号と軸の位置で判定する。判別式だけでは足りない。

第2問〔2〕　相関係数と「見かけの相関」

(1)　負の相関を言葉に直す

【型】相関係数の符号＝傾向の向き

【なぜこうするか】　相関係数が負なら「片方が増えるともう片方は減る」傾向。\(-0.85\) は絶対値が1に近いので、かなり強い負の相関です。スは①。

太郎さんの「一つの集団に見えないね」という発言は、後の小問で集団別に考える必要があることを示しています。

【検算】　図1は、スポーツ好きの割合が大きい点ほど反復横とびの平均値が小さくなる右下がりの配置です。これは相関係数 \(-0.85\) の負の符号と一致します。

【定石】　相関係数 \(r\) は \(-1\leqq r\leqq 1\)。符号が向き、絶対値が強さ。\(|r|\) が1に近いほど直線的な関係が強く、0に近いほど弱いと読みます。

(2)　集団を分けると相関が消える

【型】散布図の「かたまり具合」から相関係数を見積もる

【なぜこうするか】　図3（中学校第2学年）の点は、横軸方向にも縦軸方向にも広く散らばっていて、右上がりの帯にも右下がりの帯にもなっていません。直線的な傾向がまったく見えない散布図の相関係数は0の近くです。

選択肢のうち0に最も近いのは \(0.1\)。セは②です。

ここで、全体と各集団の相関係数を比較します。

• 全体（図1）：\(r=-0.85\)　→　強い負の相関
• 小5だけ（図2）：\(r=0.07\)　→　ほぼ無相関
• 中2だけ（図3）：\(r\fallingdotseq 0.1\)　→　ほぼ無相関

つまり、どちらの集団の内部にも相関はないのに、まとめると強い負の相関が現れたのです。これは「スポーツ好きが増えると反復横とびが下がる」からではありません。

原因は2つの集団の位置関係です。中2は「スポーツ好きの割合が低め・反復横とびは高め」（左上）、小5は「スポーツ好きの割合が高め・反復横とびは低め」（右下）に固まっている。この2つのかたまりを重ねると、全体としては右下がりの並びに見えてしまう。

これを見かけの相関（あるいは疑似相関）といいます。「相関があるから因果がある」と結論するのが危ういことを、実データで示した良問です。

【検算】　図2の \(r=0.07\) と図3の推定値 \(r\fallingdotseq 0.1\) は、どちらも0に近く、各集団の散布図に明確な右上がり・右下がりがないことと一致します。

【よくあるミス】　\(-0.9\) を選んでしまうこと。図1の \(-0.85\) につられていますが、問われているのは図3（中2だけ）の相関係数です。図2が \(0.07\) だったという情報も、「集団内では相関がない」というヒントとして与えられています。

【定石】　散布図が複数のかたまりに分かれて見えたら、全体の相関係数を信用しない。層別（グループ分け）して計算し直すのが鉄則。

(3)(i)　平均・分散・共分散を定義どおり計算する

【型】共分散 \(=\) 偏差の積の平均

【なぜこうするか】　6組は \((-1,1),\,(1,-1),\,(-2,0),\,(0,-2),\,(0,2),\,(2,0)\)。まず平均から。

\[\bar{x}=\dfrac{-1+1-2+0+0+2}{6}=\dfrac{0}{6}=0\]

ソは⓪です。同様に \(\bar{y}=\dfrac{1-1+0-2+2+0}{6}=0\)。両方の平均が0になったので、以降の偏差は値そのままで済みます。

\[s_{x}^{2}=\dfrac{(-1)^{2}+1^{2}+(-2)^{2}+0^{2}+0^{2}+2^{2}}{6}=\dfrac{1+1+4+0+0+4}{6}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}\]

タは⑦です。共分散は偏差の積の平均なので

\[s_{xy}=\dfrac{(-1)(1)+(1)(-1)+(-2)(0)+(0)(-2)+(0)(2)+(2)(0)}{6}\]

\[=\dfrac{-1-1+0+0+0+0}{6}=-\dfrac{1}{3}\]

チは⑤です。追加した4組はすべて片方が0なので、積がすべて0。共分散に効いているのは最初の2組だけ、という構造が見えます。

【検算】　有理数のまま計算して \(\bar{x}=0\)、\(\bar{y}=0\)、\(s_{x}^{2}=\dfrac{5}{3}\)、\(s_{y}^{2}=\dfrac{5}{3}\)、\(s_{xy}=-\dfrac{1}{3}\) を確認 ✓。

【定石】　共分散は \(s_{xy}=\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}\)。平均が0なら偏差＝値そのものなので計算が簡単になります。データを見て平均が0になりそうなら、先に確かめます。

(3)(ii)　\(s_{x}^{2}=s_{y}^{2}\) を利用して相関係数を出す

【型】\(r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}s_{y}}\)

【なぜこうするか】　\(y\) の分散も計算しておきます。

\[s_{y}^{2}=\dfrac{1^{2}+(-1)^{2}+0^{2}+(-2)^{2}+2^{2}+0^{2}}{6}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}\]

確かに \(s_{x}^{2}=s_{y}^{2}\)。すると \(s_{x}s_{y}=\sqrt{s_{x}^{2}}\cdot\sqrt{s_{y}^{2}}=s_{x}^{2}\) となり、ルートを開かずに済みます。これが「着目すると」の意味です。

\[r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}s_{y}}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^{2}}=\dfrac{-\dfrac{1}{3}}{\dfrac{5}{3}}=-\dfrac{1}{5}\]

ツは③です。

意味を考えてみましょう。もとの2組だけなら相関係数は \(-1\)（完全な負の相関）でした。そこに4組を加えたら \(-\dfrac{1}{5}\) まで一気に弱まった。データを加えるだけで相関の見え方は大きく変わる——(2)の「見かけの相関」を、6点だけの簡単な例で再現した小問です。

【検算】　プログラムの相関係数関数に6組を入れると \(-0.2\)。\(-\dfrac{1}{5}=-0.2\) と一致しました ✓。

【定石】　\(s_{x}^{2}=s_{y}^{2}\) なら \(r=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^{2}}\) とルートなしで計算できる。共通テストではこの手の「計算を軽くする観察」がしばしば誘導される。

(4)　共分散が正になる条件を求める

【型】共分散を \(a\) の式で表し、符号を調べる

【なぜこうするか】　問題文が「相関係数が正 ⟺ 共分散が正」と教えてくれています（分母 \(s_{x}s_{y}\) は必ず正なので、符号は分子だけで決まる）。したがって共分散だけ計算すればよい。

まず平均を確認します。\(x\) の値は \(-1,\ 1,\ -1-a,\ 1-a,\ -1+a,\ 1+a\)。足すと

\[(-1+1)+\left\{(-1-a)+(1-a)\right\}+\left\{(-1+a)+(1+a)\right\}=0+(-2a)+2a=0\]

\(\bar{x}=0\)。\(y\) も同様に \(\bar{y}=0\) です。ここでも平均が0なので、共分散は積の平均そのもの。

\[(-1)(1)=-1,\qquad (1)(-1)=-1\]

残る4組は、それぞれ和と差の積の形になります。

\[(-1-a)(1-a)=-(1+a)(1-a)=a^{2}-1\]

\[(1-a)(-1-a)=a^{2}-1,\qquad (-1+a)(1+a)=a^{2}-1,\qquad (1+a)(-1+a)=a^{2}-1\]

4つとも同じ \(a^{2}-1\) になりました。合計すると

\[s_{xy}=\dfrac{-1-1+4\left(a^{2}-1\right)}{6}=\dfrac{4a^{2}-6}{6}=\dfrac{2a^{2}-3}{3}\]

これが正になる条件は

\[2a^{2}-3\gt 0\quad\Longleftrightarrow\quad a^{2}\gt\dfrac{3}{2}\]

\(a\gt 0\) なので

\[a\gt\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\]

テは6、トは2です。有理化を忘れずに。

(3)では追加した4点が原点を挟む十字に並んでいて共分散を薄める方向に働きましたが、今回の4点は右上がりの方向に並んでいます。\(a\) を大きくして4点を遠くへ離すほどその効果が強まり、\(a\gt\dfrac{\sqrt{6}}{2}\fallingdotseq 1.22\) を超えると、もとの2点が持っていた負の相関をひっくり返してしまうのです。

【検算】　数式処理で \(s_{xy}=\dfrac{2a^{2}}{3}-1\) を確認し、\(s_{xy}\gt 0\) の解として \(a\gt\dfrac{\sqrt{6}}{2}\) を得ました ✓。数値でも \(a=1.2\) では \(s_{xy}=-0.040\)（負）、\(a=1.2247\fallingdotseq\dfrac{\sqrt{6}}{2}\) でほぼ0、\(a=1.23\) では \(+0.0086\)（正）と、境界がぴったり \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}=1.224745\) にあることが確認できます ✓。

【定石】　相関係数の符号は共分散の符号だけで決まる（分母は必ず正）。符号だけ問われたら分母は無視してよい。