共通テスト2026 数学Ⅱ・B・C 全問解説（令和8年度 本試験）

第4問（配点16・選択）　数列（階差数列と、差分による和の求め方）

(1)(i)　階差数列の定義どおりに、1項ずつ積み上げる

【型】\(a_{n+1}=a_{n}+b_{n}\) を1段ずつ使う

【なぜこうするか】　いきなり一般項を求めにいく必要はありません。ここは定義を体に入れさせるための小問です。階差数列とは「隣どうしの差」だから、逆に「前の項＋差」で次の項が出ます。

\(b_{1}=4\cdot 1-1=3\) なのでアは3。\(a_{2}=a_{1}+b_{1}=1+3=4\) でイは4です。

\(b_{2}=4\cdot 2-1=7\) なのでウは7。\(a_{3}=a_{2}+b_{2}=4+7=11\) でエオは11です。

【検算】　漸化式のまま計算機で回すと \(a_{1},\dots ,a_{7}=1,\ 4,\ 11,\ 22,\ 37,\ 56,\ 79\)。差をとると \(3,\ 7,\ 11,\ 15,\ 19,\ 23\) で、確かに \(b_{n}=4n-1\) になっています。

【定石】　階差数列の問題は、まず具体的に3項ほど書き出す。一般項の公式を思い出す前に、構造を手で確かめた方が速い。

(1)(ii)　階差の和は \(n-1\) 項まで。ここを間違えると全部ずれる

【型】\(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_{k}\ (n\geqq 2)\)

【なぜこうするか】　なぜ \(n-1\) までなのか。\(a_{n}\) にたどり着くには \(a_{1}\to a_{2}\to\cdots\to a_{n}\) と矢印を \(n-1\) 本たどるからです。矢印1本が \(b_{k}\) ひとつ。この数え方さえ理解していれば、公式を忘れても復元できます。カは⓪です。

\[a_{n}=1+\sum_{k=1}^{n-1}(4k-1)=1+4\cdot\dfrac{(n-1)n}{2}-(n-1)\]

\[\phantom{a_{n}}=1+2n^{2}-2n-n+1=2n^{2}-3n+2\]

よってキは2、クは3、ケは2です。

【検算】　\(n=1\) を代入すると \(2-3+2=1=a_{1}\) となり、\(n\geqq 2\) で導いた式が \(n=1\) でも通用します。さらに \(n=1,\dots ,7\) で \(2n^{2}-3n+2\) を計算すると \(1,4,11,22,37,56,79\) となり、漸化式の値と完全に一致しました。

【定石】　階差から一般項を作ったら、必ず\(n=1\) を代入して初項に戻るか確認する。戻らなければ「\(n\geqq 2\) のとき」と場合分けが必要になる。

【よくあるミス】　\(\sum\) の上端を \(n\) にしてしまうこと。答えが \(2n^{2}+n-1\) となり、\(n=1\) で2になって初項1と合わなくなります。検算すれば必ず気づけるミスです。

(2)　和を求めたいなら「階差がそれになる数列」を逆算する

【型】望遠鏡和（差の形にすると、途中がすべて消える）

【なぜこうするか】　\(\sum(2n+1)2^{n}\) は、（等差）×（等比）型なので、普通は「\(S-2S\) をつくる」定番の計算をします。しかしこの問題はもっと本質的な道を示しています。和とは差の逆演算だ、という視点です。\(d_{n}=c_{n+1}-c_{n}\) と書ければ

\[\sum_{k=1}^{n}d_{k}=(c_{2}-c_{1})+(c_{3}-c_{2})+\cdots+(c_{n+1}-c_{n})=c_{n+1}-c_{1}\]

と途中がすべて打ち消し合って両端だけが残ります。積分の「原始関数を見つける」に相当する操作です。

\(c_{n}=(pn+q)2^{n}\) とおくと

\[c_{n+1}-c_{n}=\left\{p(n+1)+q\right\}2^{n+1}-(pn+q)2^{n}=2^{n}\left\{2(pn+p+q)-(pn+q)\right\}\]

\[\phantom{c_{n+1}-c_{n}}=2^{n}\left\{pn+(2p+q)\right\}\]

よってコは⓪、サは⑤です。これが \((2n+1)2^{n}\) と一致するには、\(n\) の係数と定数項を比べて

\[p=2,\qquad 2p+q=1\ \Longrightarrow\ q=1-4=-3\]

シは2、スセは \(-3\) です。つまり \(c_{n}=(2n-3)2^{n}\)。

\[\sum_{k=1}^{n}d_{k}=c_{n+1}-c_{1}=\left\{2(n+1)-3\right\}2^{n+1}-(2-3)\cdot 2=(2n-1)\cdot 2^{n+1}+2\]

したがってソは③、タは2です。

【検算】　\(c_{n+1}-c_{n}=d_{n}\) が \(n=1\) から8まですべて成り立つことを計算機で確認しました。また和の値も、直接足した結果と公式の値が \(n=1,2,5,10\) でそれぞれ \(6,\ 26,\ 578,\ 38914\) と完全に一致しました。

【定石】　（多項式）×\(r^{n}\) の和は、同じ形 （同じ次数の多項式）×\(r^{n}\) を \(c_{n}\) として係数比較すれば必ず求まる。\(S-rS\) を作る従来の方法より速く、符号ミスも減る。

(3)　同じ手を2次式に上げる。次数を合わせるだけでよい

【型】(2)の方法をそのまま次数を上げて適用する（未定係数法）

【なぜこうするか】　\(d_{n}\) の多項式部分が2次になったので、\(c_{n}\) も2次式 × \(2^{n}\) と置きます。次数を合わせるのが唯一のコツで、あとは(2)と同じ計算です。

\(c_{n}=(\alpha n^{2}+\beta n+\gamma)2^{n}\) とおくと

\[c_{n+1}-c_{n}=2^{n}\left[2\left\{\alpha(n+1)^{2}+\beta(n+1)+\gamma\right\}-(\alpha n^{2}+\beta n+\gamma)\right]\]

\[\phantom{c_{n+1}-c_{n}}=2^{n}\left\{\alpha n^{2}+(4\alpha+\beta)n+(2\alpha+2\beta+\gamma)\right\}\]

これが \((n^{2}-n-1)2^{n}\) と一致するので、係数を比べて

\[\alpha=1,\qquad 4+\beta=-1\ \Longrightarrow\ \beta=-5,\qquad 2-10+\gamma=-1\ \Longrightarrow\ \gamma=7\]

よって \(c_{n}=(n^{2}-5n+7)2^{n}\) です。和は

\[\sum_{k=1}^{n}d_{k}=c_{n+1}-c_{1}=\left\{(n+1)^{2}-5(n+1)+7\right\}2^{n+1}-(1-5+7)\cdot 2\]

\[\phantom{\sum_{k=1}^{n}d_{k}}=(n^{2}-3n+3)\cdot 2^{n+1}-6\]

したがってチは⑦、ツは6です。

【検算】　\(c_{n+1}-c_{n}=d_{n}\) を \(n=1\) から8まで確認し、さらに和を直接計算した値と公式の値を比べたところ、\(n=1,2,5,10\) でそれぞれ \(-2,\ 2,\ 826,\ 149498\) とすべて一致しました。\(n=1\) で和が負になるのは \(d_{1}=(1-1-1)\cdot 2=-2\) だからで、符号も含めて正しく再現できています。

【定石】　（\(n\) の \(m\) 次式）×\(r^{n}\) の和は、同じ \(m\) 次式 × \(r^{n}\) を置いて係数比較。次数は上がらないので、置き方に迷う余地がない。

第5問（配点16・選択）　統計的な推測（正規分布と仮説検定）

(1)　標準化して、正規分布表の引ける形にする

【型】標準化 \(Y=\dfrac{X-m}{\sigma}\)（\(m\) は平均、\(\sigma\) は標準偏差）

【なぜこうするか】　正規分布表は標準正規分布 \(N(0,1)\) の値しか載っていません。だから、どんな正規分布も平均を引いて標準偏差で割ることで表が引ける形に直します。分母は分散 \(25^{2}\) ではなく標準偏差 \(25\) であることに注意してください（選択肢②⑤はこの引っかけです）。よってアは①です。

\[P(X\geqq 120)=P\left(Y\geqq\dfrac{120-116}{25}\right)=P(Y\geqq 0.16)\]

正規分布表の \(z_{0}=0.16\) の値は \(0.0636\)。表は「0から \(z_{0}\) までの面積」なので

\[P(Y\geqq 0.16)=0.5-0.0636=0.4364\fallingdotseq 0.44\]

よってイは⑤です。

【検算】　平均116点は合格ライン120点より低いので、合格者は半分未満のはず。実際 \(0.44\lt 0.5\) で整合します。また、ずれが標準偏差の \(0.16\) 倍しかないので0.5から大きくは離れないはずで、0.44という値は妥当です。

【定石】　正規分布表は「0から \(z_{0}\) まで」の面積を与える型が多い。\(P(Y\geqq z_{0})\) を求めるときは \(0.5\) から引く、と手順を固定しておく。

(2)(i)　0か1しかとらない確率変数の平均と分散

【型】ベルヌーイ試行の平均は \(p\)、分散は \(p(1-p)\)

【なぜこうするか】　定義に戻れば一瞬です。\(E(W_{i})=0\cdot(1-p)+1\cdot p=p\) なのでウは⓪。分散は与えられた式に \(E(W_{i})=p\) を代入して

\[V(W_{i})=p^{2}(1-p)+(1-p)^{2}p=p(1-p)\left\{p+(1-p)\right\}=p(1-p)\]

\(p(1-p)\) でくくると中括弧の中が1になる——ここが計算のポイントです。エは③です。

【検算】　\(p=0.5\) のとき \(V=0.25\) で、0か1が半々のときにばらつきが最大になるという直感と合います。\(p=0\) や \(p=1\) では \(V=0\)（値が確定するのでばらつかない）となり、これも正しい振る舞いです。

【定石】　0と1しかとらない変量（合否・成否）の分散は必ず \(p(1-p)\)。この形は標本比率の標準偏差 \(\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\) として何度も出てくるので、導出ごと覚えておく。

(2)(ii)　標本平均の分布を作り、仮説検定に持ち込む

【型】標本平均は \(N\left(p,\ \dfrac{p(1-p)}{n}\right)\)。有意水準と確率を比べて棄却を判断する

【なぜこうするか】　\(N(\ ,\ )\) の第2引数は分散であって標準偏差ではありません。\(V(\overline{W})=\dfrac{V(W_{i})}{n}=\dfrac{p(1-p)}{n}\) なのでオは⑦です。選択肢④（標準偏差の形）を選ばないよう、正規分布を \(N(\text{平均},\text{分散})\) と表す書き方を確認しておきましょう。

\(p=0.4,\ n=400\) のとき標準偏差は

\[\sqrt{\dfrac{0.4\times 0.6}{400}}=\sqrt{\dfrac{0.24}{400}}=\sqrt{0.0006}=\dfrac{\sqrt{6}}{100}\]

でカは②です（\(0.0006=\dfrac{6}{10000}\) と直すと見えます）。

標準化すると

\[z=\dfrac{0.46-0.4}{\sqrt{6}/100}=\dfrac{0.06\times 100}{\sqrt{6}}=\dfrac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}=2.45\]

正規分布表より \(z_{0}=2.45\) の値は \(0.4929\) なので

\[P(\overline{W}\geqq 0.46)=0.5-0.4929=0.0071\]

キは②です。パーセントに直すと \(0.71\%\) で、有意水準 \(5\%\) より小さい。したがって帰無仮説は棄却されます（クは①）。棄却された以上、対立仮説 \(p\gt 0.4\) が採択されるので、合格率は0.4より高いと判断できます（ケは⓪）。

【検算】　標準偏差を計算機で求めると \(0.02449490\)、\(\dfrac{\sqrt{6}}{100}=0.02449490\) で一致。標準化した値も \(2.4494897\) となり、問題文が与えた近似値 \(\sqrt{6}=2.45\) とぴったり合います。\(0.0071\) は「めったに起こらない」と言える小さな確率で、棄却という結論とも整合します。

【定石】　仮説検定は「観測された値以上が起こる確率」と有意水準を比べるだけ。確率が小さい＝偶然では説明しにくい＝帰無仮説を捨てる、という向きを取り違えないこと。

【よくあるミス】　\(N(p,\ \sigma)\) と書いてあると思い込んでオに④を選ぶこと。\(N\) の第2引数は分散です。

(3)　比率が同じでも、標本が小さければ結論はひっくり返る

【型】標本の大きさ \(n\) は標準偏差を \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\) 倍する

【なぜこうするか】　太郎さんの疑問は、統計を学ぶ人が必ず一度は抱くものです。答えは「比率が同じでも結論は変わる」。理由は、標本が小さいほど標本平均のばらつきが大きく、0.46という値が偶然でも起こりやすくなるからです。\(n\) が \(\dfrac{1}{4}\) になると標準偏差は2倍になります。

\(n=100\) のときの標準偏差は

\[\sqrt{\dfrac{0.4\times 0.6}{100}}=\sqrt{0.0024}=\dfrac{\sqrt{6}}{50}\]

標準化すると

\[z=\dfrac{0.46-0.4}{\sqrt{6}/50}=\dfrac{3}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}=1.225\]

正規分布表で \(z_{0}=1.22\) が \(0.3888\)、\(z_{0}=1.23\) が \(0.3907\) なので、\(1.225\) ではおよそ \(0.3898\)。したがって

\[P(\overline{W}\geqq 0.46)\fallingdotseq 0.5-0.390=0.110\]

パーセントに直すと約 \(11\%\) で、有意水準 \(5\%\) より大きい。よって帰無仮説は棄却されません。コは①、サは①です。

同じ「46%」でも、400人なら「偶然とは考えにくい」、100人なら「偶然の範囲」。データの量そのものが証拠の強さになるという、統計の核心がここに置かれています。

【検算】　標準偏差を計算機で求めると \(n=100\) で \(0.04898979\)、\(n=400\) で \(0.02449490\) とちょうど2倍。標準化した値も \(1.224745\) と \(2.449490\) で2倍の関係にあり、\(z\) が \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\) に反比例することが数値でも確認できます。

【定石】　標本比率が同じでも、\(n\) が4倍になれば \(z\) は2倍になる。「比率だけ見て結論を決めない」——これが仮説検定を学ぶ意味そのもの。

第6問（配点16・選択）　ベクトル（始点をそろえて係数で言い切る）

(1)　正六角形は中心からのベクトルで書くと計算が消える

【型】正六角形の頂点は、中心からの6本のベクトルで表す

【なぜこうするか】　図1をよく見ると、正六角形 DEFGCA の中心が B になっています（\(\triangle\mathrm{ABC}\) が正三角形で、B が六角形の中心）。正六角形の中心から各頂点へのベクトルは、長さが等しく \(60^{\circ}\) ずつ回転した関係にあるので、B を始点にとると計算が最短になります。

B を原点とし、\(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) の向きを基準に六角形の半径を1とすると

\[\mathrm{A}\left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right),\quad \mathrm{B}(0,0),\quad \mathrm{C}(1,0),\quad \mathrm{D}\left(-\dfrac{1}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right),\quad \mathrm{E}(-1,0)\]

M が A のとき、①は \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{AA}}+2\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)。

\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(-\dfrac{1}{2},\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)、\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\left(\dfrac{1}{2},\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) なので

\[\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(-1,\ -\sqrt{3})-\left(\dfrac{1}{2},\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\left(-\dfrac{3}{2},\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

\(\mathrm{P}=\mathrm{A}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=(-1,\ 0)=\mathrm{E}\)。よってアは④です。

M が D のときも同様に \(\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\overrightarrow{\mathrm{DA}}+2\overrightarrow{\mathrm{DB}}-\overrightarrow{\mathrm{DC}}\) を成分で計算すると \(\left(\dfrac{1}{2},\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) となり、\(\mathrm{P}=\mathrm{D}+\overrightarrow{\mathrm{DP}}=(0,0)=\mathrm{B}\)。イは①です。

【検算】　7点すべての座標を計算機に持たせ、\(\mathrm{M}=\mathrm{A}\) と \(\mathrm{M}=\mathrm{D}\) について①の右辺を計算して P の座標を求め、7点のどれと一致するかを照合しました。結果は \(\mathrm{M}=\mathrm{A}\to\mathrm{P}=\mathrm{E}\)、\(\mathrm{M}=\mathrm{D}\to\mathrm{P}=\mathrm{B}\) で、誤差 \(10^{-9}\) 以内で一致しています。

【定石】　正六角形が出たら中心を原点にとって座標を入れる。ベクトルの図形的な操作より、成分計算の方が確実で速い。

(2)　始点を A にそろえると、\(\overrightarrow{\mathrm{AM}}\) の係数が答えを教えてくれる

【型】始点をそろえて \(\overrightarrow{\mathrm{XY}}=\overrightarrow{\mathrm{AY}}-\overrightarrow{\mathrm{AX}}\) に書き直す

【なぜこうするか】　「M がどこにあっても P が動かない」を数式で言うには、M を含む項をひとまとめにして、その係数を0にするのが唯一の道です。そのためにはすべてのベクトルを同じ始点（ここでは A）に直す必要があります。この方針が立てば、あとは機械的な計算です。

左辺は \(\overrightarrow{\mathrm{MP}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}-\overrightarrow{\mathrm{AM}}\) でウは②です。右辺は \(\overrightarrow{\mathrm{MA}}=-\overrightarrow{\mathrm{AM}}\)、\(\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AM}}\)、\(\overrightarrow{\mathrm{MC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AM}}\) より

\[a\overrightarrow{\mathrm{MA}}+b\overrightarrow{\mathrm{MB}}+c\overrightarrow{\mathrm{MC}}=b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}-(a+b+c)\overrightarrow{\mathrm{AM}}\]

よってエは①、オは②、カは⑦です。両辺を等しいとおいて \(\overrightarrow{\mathrm{AM}}\) を移項すると

\[\overrightarrow{\mathrm{AP}}=b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}+(1-a-b-c)\overrightarrow{\mathrm{AM}}\]

キは①、クは②、ケは⑨です。

この式で M に依存するのは最後の項だけ。したがって「M がどこでも P が同じ」は\(\overrightarrow{\mathrm{AM}}\) の係数が0と同値で

\[1-a-b-c=0\ \Longleftrightarrow\ a+b+c=1\]

コは⑦です。太郎さんが挙げた \(a=1,b=0,c=0\)（和が1）はこれを満たし、花子さんの①の場合 \(a=1,b=2,c=-1\) も和が2なので満たさない——会話文とも整合します。

【検算】　数式処理系で \(a(-\overrightarrow{\mathrm{AM}})+b(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AM}})+c(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AM}})+\overrightarrow{\mathrm{AM}}\) を展開して整理したところ、\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) の係数 \(b\)、\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) の係数 \(c\)、\(\overrightarrow{\mathrm{AM}}\) の係数 \(1-a-b-c\) が得られ、上の変形と完全に一致しました。

【定石】　「点の位置が〜によらない」という条件は、その点を含むベクトルの係数を0とおく。始点をそろえる作業がそのまま解答になる。

(3)(i)　係数の和が定数なら、点は直線上を動く

【型】\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) で \(s+t=k\)（定数）なら、P は直線上

【なぜこうするか】　\(a+b+c=1\) より \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)。さらに \(a=\dfrac{1}{2}\) から \(b+c=\dfrac{1}{2}\) です。係数の和が一定——この形を見たら直線だと即断できます。理由は、\(b+c=1\) なら直線 BC そのもの、という基本形を知っていれば十分です。

実際、\(b+c=\dfrac{1}{2}\) のとき \(2b+2c=1\) なので

\[\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\dfrac{1}{2}\left\{(2b)\overrightarrow{\mathrm{AB}}+(2c)\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right\}\]

中括弧の中は係数の和が1なので直線 BC 上の点 Q を表します。よって \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\)、つまり P は直線 BC を A を中心に \(\dfrac{1}{2}\) 倍に縮めた直線の上を動きます。

その直線は、B の行き先が AB の中点 J、C の行き先が CA の中点 I なので、直線 IJ（中点連結定理の中線）です。サは④です。

【検算】　\(b=\dfrac{1}{2},\ c=0\) とすると \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) で P は J。\(b=0,\ c=\dfrac{1}{2}\) とすると P は I。\(b=c=\dfrac{1}{4}\) とすると \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}})\) で、これは IJ の中点。3点とも直線 IJ 上に乗っています。

【定石】　\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) において、\(s+t=1\) なら直線 BC、\(s+t=k\) なら直線 BC を \(k\) 倍に相似縮小した直線。この対応を覚えておくと領域の問題が一瞬で片づく。

(3)(ii)　1つの係数だけに不等号がつくと、半平面になる

【型】斜交座標の考え方。係数の符号がそのまま領域を決める

【なぜこうするか】　\(a+b+c=1\) より \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) で、条件は \(c\lt 0\) だけ。\(a\) は \(a=1-b-c\) として自由に選べるので、\(b\) には何の制約もありません。ここを見落とすと領域を狭く取りすぎます。

つまり P は「\(b\) は任意の実数、\(c\) は負」の範囲を動きます。\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) と \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) を軸とする斜交座標で見れば、\(c\) 座標が負の側の半平面です。境界は \(c=0\)、すなわち \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=b\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) が表す直線 AB。そして \(c\gt 0\) の側に C があるので、求める範囲は直線 AB に関して C と反対側の半平面（境界を含まない）です。

したがってシは③です。

【検算】　\(\mathrm{A}(0,2),\ \mathrm{B}(-1,0),\ \mathrm{C}(1,0)\) と座標を入れて確かめます。直線 AB は \(2x-y+2=0\) で、C を代入すると \(2-0+2=4\gt 0\)。一方 \(b=0,\ c=-1\) のとき \(\mathrm{P}=\mathrm{A}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-1,\ 4)\) で、代入すると \(-2-4+2=-4\lt 0\)。確かに C と反対側です。\(b\) を大きく動かしても符号は変わらず、半平面全体を覆うことも確認できます。

【定石】　\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) を斜交座標 \((s,t)\) と見る。\(t=0\) が直線 AB、\(s=0\) が直線 AC、\(s+t=1\) が直線 BC。不等式はそのまま半平面や三角形の内部を表す。

【よくあるミス】　\(a+b+c=1\) から「\(a,b,c\) がすべて正なら三角形の内部」という知識を引っぱってきて、範囲を三角形の周辺に限定してしまうこと。今回は \(b\) に制約がないので、領域は無限に広がる半平面です。

第7問（配点16・選択）　複素数平面（円が線分や楕円に写る変換）

(1)　\(\dfrac{1}{z}\) は共役を絶対値の2乗で割ると出る

【型】\(\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}}\)

【なぜこうするか】　分母を実数化する計算は、\(\overline{z}\) を分母分子に掛けるのが基本ですが、先に \(|z|\) を求めておけば公式1本で終わります。この問題が最初に \(|z|\) を聞いているのは、そのための誘導です。

\(|z|=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{4}=2\) なのでアは2。よって

\[\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}}=\dfrac{\sqrt{3}-i}{4}\]

\[w=\sqrt{3}+i+\dfrac{\sqrt{3}-i}{4}=\dfrac{4\sqrt{3}+\sqrt{3}}{4}+\dfrac{4-1}{4}i=\dfrac{5\sqrt{3}}{4}+\dfrac{3}{4}i\]

したがってイは5、ウは3、エは4、オは3、カは4です。

【検算】　数式処理系で \(z+\dfrac{1}{z}\) を計算すると \(\dfrac{5\sqrt{3}}{4}+\dfrac{3}{4}i\) が返り、一致しました。虚部が \(1\) から \(\dfrac{3}{4}\) にわずかに減っているのは、\(\dfrac{1}{z}\) の虚部が負だからで、符号の扱いも正しいことがわかります。

【定石】　\(\dfrac{1}{z}\) は「共役を \(|z|^{2}\) で割る」。\(|z|=1\) なら \(\dfrac{1}{z}=\overline{z}\) という特別な形になり、これが(2)の伏線になっている。

(2)(i)　極形式に直すと、実部と虚部がきれいに分かれる

【型】極形式に直し、実部と虚部に分ける

【なぜこうするか】　軌跡を求めるには、実部と虚部を \(x,\ y\) として媒介変数表示に持ち込むのが定石です。\(\dfrac{1}{z}\) は絶対値が \(\dfrac{1}{r}\)、偏角が \(-\theta\) になるので、\(\cos\) は同じ符号、\(\sin\) は逆符号——ここで実部は足し算、虚部は引き算になるのがこの問題の心臓部です。

\[\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{r}\left\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\right\}=\dfrac{1}{r}(\cos\theta-i\sin\theta)\]

\[w=\left(r+\dfrac{1}{r}\right)\cos\theta+i\left(r-\dfrac{1}{r}\right)\sin\theta\]

よってキは⑥、クは⑨です。

虚部が \(\theta\) によらず0になるのは \(r-\dfrac{1}{r}=0\)、すなわち \(r^{2}=1\)。\(r\gt 0\) より \(r=1\) でケは1です。

【検算】　数式処理系で \(w\) の実部・虚部を求め、\(\left(r+\dfrac{1}{r}\right)\cos\theta\) と \(\left(r-\dfrac{1}{r}\right)\sin\theta\) との差をとったところ、どちらも恒等的に0になりました。

【定石】　\(z\) と \(\dfrac{1}{z}\) は実軸に関して対称な方向を向く（偏角が符号反転）。だから和をとると虚部が打ち消し合う方向に働く。

(2)(ii)(iii)　\(r=1\) なら線分、それ以外なら楕円

【型】\(x=A\cos\theta,\ y=B\sin\theta\) から \(\cos^{2}+\sin^{2}=1\) で \(\theta\) を消去する

【なぜこうするか】　\(r=1\) のとき \(w=2\cos\theta\) で虚部が消え、\(\theta\) が動くと \(-2\) から2まで実軸上を往復します。円が線分につぶれるわけです。よってコは①（実軸上の \(-2\) から2までの線分）です。

\(r\neq 1\) のときは \(r-\dfrac{1}{r}\neq 0\) なので、②を

\[\cos\theta=\dfrac{x}{r+\frac{1}{r}},\qquad \sin\theta=\dfrac{y}{r-\frac{1}{r}}\]

と解いて \(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1\) に代入すれば

\[\dfrac{x^{2}}{\left(r+\frac{1}{r}\right)^{2}}+\dfrac{y^{2}}{\left(r-\frac{1}{r}\right)^{2}}=1\]

楕円です。サは②です。分母の割り当てを取り違えると④になるので、実部の係数は必ず \(x\) の下という対応を丁寧に確かめてください。

【検算】　\(r=2\) として \(\theta\) を20万点動かし \(w\) を実際に計算したところ、実部の範囲は \(\left[-2.5,\ 2.5\right]\)、虚部の範囲は \(\left[-1.5,\ 1.5\right]\) でした。理論値は \(r+\dfrac{1}{r}=2.5\)、\(r-\dfrac{1}{r}=1.5\) でぴったり一致します。

【定石】　\(w=z+\dfrac{1}{z}\) は原点中心の円を、焦点が \(\pm 2\) の楕円に写す（\(r=1\) だけは線分につぶれる）。飛行機の翼の設計に使われるジューコフスキー変換として有名で、共通テストでも繰り返し題材になりうる形です。

(3)　\(w^{2}\) は「同じ変換を \(z^{2}\) に施して2ずらす」だけ

【型】\(\left(z+\dfrac{1}{z}\right)^{2}=z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}}+2\)（\(2\cdot z\cdot\dfrac{1}{z}=2\)）

【なぜこうするか】　展開すると交差項が \(2\cdot z\cdot\dfrac{1}{z}=2\) という定数になります。これがこの小問の全てです。つまり

\[w^{2}=z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}}+2\]

でシは③。そして \(z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}}\) は、(2)で調べた \(z+\dfrac{1}{z}\) の \(z\) を \(z^{2}\) に置き換えただけの形です。\(z\) が半径 \(r\) の円を動けば \(z^{2}\) は半径 \(r^{2}\) の円を動くので、(2)の結果で \(r\to r^{2}\) と読み替えて

\[\dfrac{X^{2}}{\left(r^{2}+\frac{1}{r^{2}}\right)^{2}}+\dfrac{Y^{2}}{\left(r^{2}-\frac{1}{r^{2}}\right)^{2}}=1\]

スは②です。最後に \(+2\) は実軸方向に2だけ平行移動することを意味します。したがって \(w^{2}\) が描くのは、中心が \(2\)（実軸上）の横長の楕円です。

横半径は \(r^{2}+\dfrac{1}{r^{2}}\)、縦半径は \(\left|r^{2}-\dfrac{1}{r^{2}}\right|\) で、\(r\neq 1\) より横半径は2より大きい。つまり楕円の左端は原点より左に届きます。この特徴をもつのは③で、セは③です。

【検算】　\(r=2\) として \(\theta\) を20万点動かし \(w^{2}\) を直接計算したところ、実部の範囲は \(\left[-2.25,\ 6.25\right]\)、虚部の範囲は \(\left[-3.75,\ 3.75\right]\)。理論値は中心2・横半径 \(r^{2}+\dfrac{1}{r^{2}}=4.25\)・縦半径 \(\left|r^{2}-\dfrac{1}{r^{2}}\right|=3.75\) なので実部は \(\left[-2.25,\ 6.25\right]\) となり一致します。さらに楕円の方程式に代入した残差の最大値は \(1.1\times 10^{-15}\) で、20万点すべてが楕円上に乗っていることが確認できました。左端 \(-2.25\lt 0\) なので、確かに原点より左まで届いています。

【定石】　\(\left(z+\dfrac{1}{z}\right)^{2}=z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}}+2\) のように、同じ形が入れ子で現れたら「文字を置き換えただけ」と読む。前半で得た結果を \(r\to r^{2}\) と読み替えるだけで済む。