共通テスト2026 追試験 数学Ⅰ・A 全問解説（令和8年度 追・再試験）

※ 問題文は大学入試センターが公表した2026年度（令和8年度）大学入学共通テスト 追・再試験の問題を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」代表 藤原進之介が独自に作成したものであり、大学入試センターが公表した公式解答そのものではありません。答えはすべて公表された正解表と突き合わせ、全問一致を確認しています。散布図についても、判断に必要な座標範囲・点の配置・増減傾向を本文に記載しています。

第1問（配点30）　数と式（無理数の整数部分）／図形と計量（辺が自然数の三角形）

〔1〕(1)(2)　有理化してから、大小を比べて整数部分を決める

【型】分母の有理化 → 値を整数で挟んで整数部分を決める

【なぜこうするか】　分母に無理数があると大きさが見えません。まず有理化して「整数＋無理数」の形にすれば、整数部分が読みやすくなります。

(1)　\(\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^{2}-1^{2}}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\)。アは3、イは1、ウは2です。

\(1.7\lt\sqrt{3}\lt 1.8\) なので \(\dfrac{2.7}{2}\lt\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\lt\dfrac{2.8}{2}\)、すなわち値は \(1.35\) と \(1.4\) の間。整数部分は1でエは1です。

(2)　\(n=k^{2}+1\) のときは、分母を有理化すると分母がちょうど1になります。

\[\dfrac{1}{\sqrt{k^{2}+1}-k}=\dfrac{\sqrt{k^{2}+1}+k}{(k^{2}+1)-k^{2}}=\sqrt{k^{2}+1}+k\]

あとは \(\sqrt{k^{2}+1}\) を挟むだけ。問題文が示すとおり3つの数を比べます。

\[k^{2}\lt k^{2}+1\leqq k^{2}+2k+1=(k+1)^{2}\]

（\(k\geqq 1\) なので \(1\leqq 2k+1\)。等号は成り立たないので実際は真の不等号。）平方根をとると \(k\lt\sqrt{k^{2}+1}\lt k+1\)、したがって

\[2k\lt\sqrt{k^{2}+1}+k\lt 2k+1\]

整数部分は \(2k\) でオは③です。

【検算】　\(k=1,\ 2,\ 3,\ 5\) で実際に値を計算すると \(2.414\)、\(4.236\)、\(6.162\)、\(10.099\)。整数部分はそれぞれ \(2,\ 4,\ 6,\ 10\) で、確かに \(2k\) と一致しました。

【定石】　\(\dfrac{1}{\sqrt{A}-k}\) の有理化で分母が \(A-k^{2}\) になる。\(A=k^{2}+1\) なら分母が1になり、整数部分を読み取れる形になる。

〔1〕(3)　逆数をとって不等号の向きを反転させ、\(n\) の範囲を出す

【型】整数部分 \(\geqq\) 整数 \(k\) ⟺ もとの値 \(\geqq k\)（\(k\) が整数のときだけ成り立つ）

【なぜこうするか】　「整数部分が \(k\) 以上」と「値そのものが \(k\) 以上」は、\(k\) が整数だからこそ同値になります（\(k\) が整数でなければ崩れます）。問題文が「\(k\) が自然数であることを考慮すると」とわざわざ書いているのはそのためです。カは②です。

次に逆数。①も \(k\) も正なので、逆数をとると不等号の向きが逆になります。

\[\dfrac{1}{\sqrt{n}-k}\geqq k\ \Longrightarrow\ \sqrt{n}-k\leqq\dfrac{1}{k}\]

キは⓪です。移項して2乗すると（両辺とも正）

\[\sqrt{n}\leqq k+\dfrac{1}{k}\ \Longrightarrow\ n\leqq\left(k+\dfrac{1}{k}\right)^{2}=k^{2}+2+\dfrac{1}{k^{2}}\]

よって \(m=2\) でクは2です。

あとは \(k^{2}\lt n\leqq k^{2}+2+\dfrac{1}{k^{2}}\) を満たす自然数 \(n\) を数えます。ここで\(\dfrac{1}{k^{2}}\) が1以上かどうかで場合が分かれるのがポイントです。

\(k=1\) のとき：\(\dfrac{1}{k^{2}}=1\) なので \(1\lt n\leqq 4\)。\(n=2,\ 3,\ 4\) の3個。ケは3です。

\(k\geqq 2\) のとき：\(\dfrac{1}{k^{2}}\leqq\dfrac{1}{4}\lt 1\) なので、上限は \(k^{2}+2\) をわずかに超える程度。整数は \(k^{2}+1\) と \(k^{2}+2\) の2個です。コは②です。

【検算】　実際に計算機で数えました。\(k=1\) では \(n=2,3,4\) の3個。\(k=2\) では \(n=5,6\)、\(k=3\) では \(n=10,11\)、\(k=4\) では \(n=17,18\)、\(k=10\) では \(n=101,102\) と、いずれもちょうど2個。理論どおりです。

【定石】　正の数の逆数をとると不等号が逆転する。「小さい数の逆数は大きい」という当たり前のことだが、途中で向きを忘れやすいので、逆数をとった瞬間に書き換える習慣をつける。

〔2〕(1)(i)　余弦定理で \(\cos\)、そこから \(\sin\)、そして面積へ

【型】余弦定理 → \(\sin^{2}+\cos^{2}=1\) → 面積 \(\dfrac{1}{2}ac\sin B\)

【なぜこうするか】　3辺がわかっているので、角を求めるなら余弦定理。角 \(B\) をはさむ2辺は AB と BC で、向かい合うのは AC です。

\[\cos B=\dfrac{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}-\mathrm{AC}^{2}}{2\cdot\mathrm{AB}\cdot\mathrm{BC}}=\dfrac{81+25-36}{2\cdot 9\cdot 5}=\dfrac{70}{90}=\dfrac{7}{9}\]

サは7、シは9です。\(B\) は三角形の内角なので \(\sin B\gt 0\)。

\[\sin B=\sqrt{1-\left(\dfrac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\dfrac{81-49}{81}}=\dfrac{\sqrt{32}}{9}=\dfrac{4\sqrt{2}}{9}\]

スは4、セは2、ソは9です。面積は

\[\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{AB}\cdot\mathrm{BC}\cdot\sin B=\dfrac{1}{2}\cdot 9\cdot 5\cdot\dfrac{4\sqrt{2}}{9}=10\sqrt{2}\]

タチは10、ツは2です。9が約分で消えるので、計算はきれいに終わります。

【検算】　ヘロンの公式でも確かめます。3辺 \(9,\ 5,\ 6\) で \(s=10\)、面積 \(=\sqrt{10\cdot 1\cdot 5\cdot 4}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\) ✓。数式処理系でも同じ値が返りました。

【定石】　3辺から面積を出すルートは2つ。余弦定理→\(\sin\)→\(\dfrac{1}{2}ac\sin B\) とヘロンの公式。前者は途中で \(\cos\) が手に入るので、後の設問で使えることが多い。

〔2〕(1)(ii)　面積最大は「\(|\cos B|\) 最小」に読み替える

【型】\(\sin\) の最大は \(|\cos|\) の最小（\(\sin^{2}+\cos^{2}=1\) より）

【なぜこうするか】　面積は \(\dfrac{1}{2}\cdot 9\cdot 5\cdot\sin B\) で、\(9\) と \(5\) は固定。だから面積最大 ⟺ \(\sin B\) 最大でテは①です。

この方法でうまく解ける理由は、3辺から \(\cos B\) を直接計算できるからです。\(\sin^{2}B=1-\cos^{2}B\) なので、\(\sin B\) が最大 ⟺ \(|\cos B|\) が最小。トは⓪です。\(\cos B\) が負になる場合もあるため、絶対値を付けて比較します。

余弦定理から

\[\cos B=\dfrac{81+25-n^{2}}{90}=\dfrac{106-n^{2}}{90}\]

\(\cos B\lt 0\) は \(n^{2}\gt 106\)。\(10^{2}=100\lt 106\lt 121=11^{2}\) なので \(n\geqq 11\)、つまり \(n=11,\ 12,\ 13\)。ナは⑦です。

\(|\cos B|=\dfrac{|106-n^{2}|}{90}\) を最小にする \(n\) は、\(n^{2}\) が106にいちばん近いもの。\(n=10\) で \(|106-100|=6\)、\(n=11\) で \(|106-121|=15\)。よって \(n=10\) が最小でニは⑥です。

【検算】　\(n=5\) から13まで \(\cos B\) を全部計算すると \(\dfrac{9}{10},\ \dfrac{7}{9},\ \dfrac{19}{30},\ \dfrac{7}{15},\ \dfrac{5}{18},\ \dfrac{1}{15},\ -\dfrac{1}{6},\ -\dfrac{19}{45},\ -\dfrac{7}{10}\)。負になるのは \(n=11,12,13\) ✓、絶対値が最小なのは \(n=10\) の \(\dfrac{1}{15}\) ✓。このとき面積は \(\dfrac{45}{2}\sqrt{1-\dfrac{1}{225}}=\dfrac{45}{2}\cdot\dfrac{4\sqrt{14}}{15}=6\sqrt{14}\fallingdotseq 22.45\) で、\(n=6\) の \(10\sqrt{2}\fallingdotseq 14.1\) より確かに大きくなっています。

【定石】　三角形の2辺が固定なら面積最大は「はさむ角が \(90^{\circ}\) に最も近いとき」。\(|\cos|\) が最小＝角が \(90^{\circ}\) に近い、と読み替えられる。

〔2〕(1)(iii)(2)　外接円の半径は、向かい合う角の \(\sin\) で決まる

【型】正弦定理 \(\dfrac{\mathrm{AB}}{\sin C}=2R\)。\(R\) 最小 ⟺ \(\sin C\) 最大

【なぜこうするか】　(iii)は(ii)とまったく同じ構造です。今度は辺 AB \(=9\) が固定で、それに向かい合うのは角 \(C\)。正弦定理より

\[2R=\dfrac{\mathrm{AB}}{\sin C}=\dfrac{9}{\sin C}\]

\(R\) 最小 ⟺ \(\sin C\) 最大 ⟺ \(|\cos C|\) 最小です。余弦定理から

\[\cos C=\dfrac{\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}-\mathrm{AB}^{2}}{2\cdot\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BC}}=\dfrac{n^{2}+25-81}{10n}=\dfrac{n^{2}-56}{10n}\]

\(n=7\) では \(\dfrac{49-56}{70}=-\dfrac{1}{10}\)、\(n=8\) では \(\dfrac{64-56}{80}=\dfrac{1}{10}\)。絶対値がどちらも \(\dfrac{1}{10}\) で並びます。他の \(n\) はこれより大きいので、\(R\) が最小になるのは \(n=7,\ 8\) のとき。ヌは④です。

(2)　外接円の半径が等しいので、共通の辺 BC \(=a\) に向かい合う角について正弦定理を使うと

\[\dfrac{a}{\sin A}=2R=\dfrac{a}{\sin A’}\ \Longrightarrow\ \sin A=\sin A’\]

この条件は \(A=A’\) か \(A+A’=180^{\circ}\)（\(\cos A=-\cos A’\)）のどちらか。両方を試して、\(a\leqq c\) を満たす方を採ります。

余弦定理より \(\cos A=\dfrac{c^{2}+16-a^{2}}{8c}\)、\(\cos A’=\dfrac{c^{2}+25-a^{2}}{10c}\)。

[1] \(\cos A=\cos A’\) のとき：\(10(c^{2}+16-a^{2})=8(c^{2}+25-a^{2})\) を整理して \(c^{2}-a^{2}=20\)。

[2] \(\cos A=-\cos A’\) のとき：同様に整理して \(a^{2}-c^{2}=20\)。これは \(a\gt c\) を意味し、条件 \(a\leqq c\) に反するので不適です。

よって \(c^{2}-a^{2}=20\)、すなわち \((c-a)(c+a)=20\)。\(c-a\) と \(c+a\) は偶奇が一致する（差が \(2a\) で偶数）ので、積が20になる組は \((c-a,\ c+a)=(2,\ 10)\) のみ。

\[c=6,\qquad a=4\]

ネは4、ノは6です。

【検算】　\(a=4,\ c=6\) で両方の三角形を作ります。\(\triangle\mathrm{ABC}\)：辺 \(6,\ 4,\ 4\) で \(\cos A=\dfrac{36+16-16}{48}=\dfrac{3}{4}\)。\(\triangle\mathrm{A}’\mathrm{BC}\)：辺 \(6,\ 5,\ 4\) で \(\cos A’=\dfrac{36+25-16}{60}=\dfrac{3}{4}\)。確かに一致し、外接円の半径はどちらも \(\dfrac{8\sqrt{7}}{7}\) です。また \(20\) の約数の組をすべて調べても、偶奇が一致するのは \((2,10)\) だけでした。

【定石】　\((c-a)(c+a)=N\) 型の整数問題は偶奇の一致で候補を絞れる。\(c-a\) と \(c+a\) は必ず同じ偶奇なので、\(N\) を「同じ偶奇の2数の積」に分解する組だけを調べればよい。

第2問（配点30）　2次関数（価格と利益）／データの分析（Jリーグ2022）

〔1〕(1)　1次関数を作り、定義域を押さえてから最大値を求める

【型】「\(a\) 増えると \(b\) 減る」＝傾き \(-\dfrac{b}{a}\) の1次関数

【なぜこうするか】　10円上がると20個減るので、傾きは \(-\dfrac{20}{10}=-2\)。売り上げ数を \(f(x)=-2x+b\) とおき、\(x=100\) で160個という1点を代入すれば \(b\) が決まります。

\[-200+b=160\ \Longrightarrow\ b=360\]

よって売り上げ数は \(-2x+360\) 個。アイは \(-2\)、ウエオは360です。

売り上げ数が0以上という条件から

\[-2x+360\geqq 0\ \Longrightarrow\ x\leqq 180\]

カは⑤です。この定義域は(2)(3)でも前提になるため、ここで控えておきます。

売り上げ額は \(y=x(-2x+360)=-2x^{2}+360x=-2x(x-180)\)。上に凸で、2つの零点0と180の中点が頂点なので \(x=90\)。

\[y(90)=-2\cdot 8100+360\cdot 90=-16200+32400=16200\]

キクは90、ケは③です。\(90\leqq 180\) で定義域内なので問題ありません。

【検算】　与えられた表と照合します。\(x=110\) なら \(-220+360=140\) 個 ✓、\(x=130\) なら \(-260+360=100\) 個 ✓。売り上げ額も \(x=90\) のとき \(90\times 180=16200\) 円で一致しました。

【定石】　\(y=ax(x-p)\) 型（定数項なし）の頂点は2つの零点の中点。平方完成せずに軸が出る。

〔1〕(2)(3)　利益は「（価格−原価）×売り上げ数」。原価を文字にして条件を出す

【型】利益＝（1個あたりの利益）×（個数）。2つの零点の中点が最大を与える

【なぜこうするか】　1個あたりの利益は \(x-60\) 円なのでコは⑥。

\[z=(x-60)(-2x+360)=-2(x-60)(x-180)\]

上に凸で零点が60と180。頂点はその中点で \(x=\dfrac{60+180}{2}=120\)。

\[z(120)=(120-60)(-240+360)=60\times 120=7200\]

サは④、シは④です。\(120\leqq 180\) なので定義域内 ✓。

(3)　原価を \(w\) 円として同じことをします。

\[z=(x-w)(-2x+360)=-2(x-w)(x-180)\]

零点が \(w\) と180なので頂点は \(x=\dfrac{w+180}{2}\)。そのときの最大値は

\[z_{\max}=\left(\dfrac{180-w}{2}\right)\times\left(180-w\right)=\dfrac{(180-w)^{2}}{2}\]

これが5000以上であればよいので

\[\dfrac{(180-w)^{2}}{2}\geqq 5000\ \Longrightarrow\ (180-w)^{2}\geqq 10000\ \Longrightarrow\ 180-w\geqq 100\ \Longrightarrow\ w\leqq 80\]

（\(w\lt 180\) なので \(180-w\gt 0\)。）スセは80です。原価が80円を超えると、価格をどう決めても1日5000円の利益は出せません。

【検算】　\(w=80\) のとき最適価格は \(x=130\) 円、\(z=(130-80)(-260+360)=50\times 100=5000\) 円でちょうど5000円 ✓。\(w=81\) なら最大値は \(\dfrac{99^{2}}{2}=4900.5\lt 5000\) で届きません。境目が80円で正しいことが確認できます。

【定石】　文字を含んだまま最大値を求めるときは「零点の中点が頂点」を使うと平方完成が要らない。最大値も「（零点の間隔）の2乗 ÷ 2 ×（先頭の係数の絶対値）」の形で求められる。

〔2〕(1)(2)　四分位範囲から外れ値を求め、除いたときの変化を比べる

【型】\(n=18\) の四分位数は、下位9個の中央（5番目）と上位9個の中央（14番目）

【なぜこうするか】　18個なので下位9個（1〜9番目）と上位9個（10〜18番目）に分かれ、それぞれの中央が第1・第3四分位数。9個の中央は5番目なので、\(Q_{1}\) は全体の5番目、\(Q_{3}\) は全体の14番目です。

\(Q_{1}=32\)、\(Q_{3}=47\) なので四分位範囲は \(47-32=15\)。ソタは15です。外れ値の判定値は

\[32-1.5\times 15=9.5,\qquad 47+1.5\times 15=69.5\]

\(9.5\) 以下の値はなく、\(69.5\) 以上は70だけ。チは①です（65は69.5未満なので外れ値ではありません）。

(2)(i)　データ \(A\) は18個なので中央値は9番目と10番目の平均。

\[m_{A}=\dfrac{44+45}{2}=44.5\]

ツは④です。データ \(B\) は70を除いた17個で、中央値は9番目。小さい順に \(29,30,30,31,32,33,35,43,\mathbf{44},\cdots\) なので \(m_{B}=44\)。テは③です。

(ii)　除いたのは70の1個だけなので、合計の差は70。トは①です。データ \(B\) は17個なので合計は \(17\overline{b}\)、データ \(A\) は18個で合計 \(18\overline{a}\)。したがって

\[18\overline{a}=17\overline{b}+70\]

ナニは17です。

【検算】　表1の18個を実際に足すと771（問題文の値と一致）。\(\overline{a}=\dfrac{771}{18}=42.833\)、\(\overline{b}=\dfrac{701}{17}=41.235\)。\(17\times 41.235+70=701+70=771=18\times 42.833\) ✓ で式が成り立ちます。

【定石】　外れ値を除いたデータの平均は「合計から引いて、個数も減らす」。分母が変わることを忘れると結果がずれます。

〔2〕(2)(iii)　平均・中央値・四分位数の「動きにくさ」を比べる

【型】平均は外れ値に敏感、中央値・四分位数は鈍感

【なぜこうするか】　結論の見当は先につきます。平均はすべての値を足すので、極端な値を1つ除くだけで大きく動く。一方、中央値や四分位数は「順位」で決まるので、端の1個を除いても位置がわずかにずれるだけです。あとは実際に計算して確かめます。

\(\overline{a}=\dfrac{771}{18}=42.833\cdots\)、\(\overline{b}=\dfrac{771-70}{17}=\dfrac{701}{17}=41.235\cdots\) なので

\[T_{1}=\left|42.833-41.235\right|=1.598\cdots\]

中央値は \(m_{A}=44.5\)、\(m_{B}=44\) なので \(T_{2}=0.5\)。

第1四分位数は、\(A\)（18個）では5番目で \(Q_{A}=32\)。\(B\)（17個）では下位8個（1〜8番目）の中央、つまり4番目と5番目の平均で

\[Q_{B}=\dfrac{31+32}{2}=31.5\]

よって \(T_{3}=|32-31.5|=0.5\)。まとめると \(T_{2}=T_{3}=0.5\lt T_{1}=1.598\)。ヌは④です。

【検算】　計算機で \(T_{1}=1.5980\)、\(T_{2}=0.5000\)、\(T_{3}=0.5000\)。平均だけが3倍以上動いていることがはっきりわかります。外れ値の影響を受けにくい指標として中央値が推奨される理由が、数値で見えるようになっています。

【定石】　外れ値を除いたときの変化は平均 ≫ 中央値・四分位数。\(n\) が奇数か偶数かで四分位数の求め方が変わる点だけ注意する。

〔2〕(3)　散布図の読み取りと相関係数

【型】相関の向きは「増えると増えるか、減るか」。相関係数 \(r=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}s_{y}}\)

【なぜこうするか】　まず(c)を確認します。図2の点は全体として右下がりに分布しているため、失点総数と勝点には負の相関があります。したがって「正の相関がある」とする(c)は誤です。

(b)は範囲（最大−最小）の比較。得点総数は表1から \(70-29=41\)。失点総数は図2の横軸から読むと最小約30・最大約56で範囲は約26。\(41\gt 26\) なので正です。

(a)は「同じチームかどうか」を問うています。図1で得点総数が最小のチームの勝点と、図2で失点総数が最大のチームの勝点を読み比べると値が異なるので、別のチームです。よって誤。

したがって(a)誤・(b)正・(c)誤でネは⑤です。

(ii)は公式どおり。

\[r=\dfrac{125.1}{13.4\times 10.0}=\dfrac{125.1}{134}=0.9335\cdots\]

最も近いのは0.93でノは⑥です。

【検算】　分母 \(134\) と分子 \(125.1\) の差は \(8.9\) で、\(\dfrac{8.9}{134}=0.066\)。よって \(r\fallingdotseq 1-0.066=0.934\) と暗算でも0.93にたどり着きます。選択肢⑦の \(1.07\) は \(|r|\leqq 1\) に反するので計算前に消せます。得失点差は「得点−失点」なので勝点と強く連動するのが自然で、\(0.93\) という高い値も納得できます。

【定石】　相関の正負は散布図の傾きの向きで判断する。「失点が多いと勝点が下がる」のように、現実の意味から予想してから図を確認すると読み違えない。