共通テスト2026 追試験 数学Ⅱ・B・C 全問解説｜令和8年度【数強塾】

第1問（必答・配点15）　複素数を係数にもつ2次方程式

(1)　実数係数なら、虚数解は必ず共役な2つで対になる

【型】解の公式で判別式の中身を見る

【なぜこうするか】　具体例と一般の式はいずれも2次方程式なので、解の公式を使えば、解と共役複素数の関係を同じ手順で確認できます。

\[x=\dfrac{4\pm\sqrt{16-64}}{2}=\dfrac{4\pm\sqrt{-48}}{2}=\dfrac{4\pm 4\sqrt{3}\,i}{2}=2\pm 2\sqrt{3}\,i\]

アは2、イは2、ウは3です。

次に \(x^{2}+px+q=0\)。解の公式そのままで

\[x=\dfrac{-p\pm\sqrt{p^{2}-4q}}{2}\]

エは③です。ここで\(p\)、\(q\) が実数だから \(\sqrt{p^{2}-4q}\) の中身も実数で、負なら虚数単位が出てきて \(\pm\) の形になる。だから虚数解は必ず共役な2つで現れます。

【検算】　\(x=2+2\sqrt{3}\,i\) を代入すると \((2+2\sqrt{3}i)^{2}-4(2+2\sqrt{3}i)+16=(4+8\sqrt{3}i-12)-(8+8\sqrt{3}i)+16=0\) ✓。数式処理でも解は \(2\pm 2\sqrt{3}\,i\) と確認できました。

【定石】　実数係数の方程式は、虚数解が共役なペアで出る。係数に虚数が含まれる場合はこの性質をそのまま使えないため、実際に代入して確認する。

(2)　係数が複素数になると、共役はもう解ではない

【型】計算した値をそのまま定数項に据える／平方完成で解く

【なぜこうするか】　まず素直に展開します。

\[(2-i)^{2}=4-4i+i^{2}=3-4i,\qquad 2i(2-i)=4i-2i^{2}=2+4i\]

足すと \((3-4i)+(2+4i)=5\)。虚部が打ち消し合って実数の5になりました。オは5です。つまり \(z=2-i\) は \(z^{2}+2iz-5=0\) の解です。

次に共役 \(\bar{z}=2+i\) を代入してみます。

\[(2+i)^{2}+2i(2+i)-5=(3+4i)+(-2+4i)-5=-4+8i\neq 0\]

共役は解になりません。(1)で「実数係数なら共役もセットで解」と確認した直後にこれを見せるのが、この問題の狙いです。②は \(2i\) という虚数の係数をもつので、(1)の理屈がそのまま使えません。

では②のもう一つの解は何か。平方完成します。

\[z^{2}+2iz-5=(z+i)^{2}-i^{2}-5=(z+i)^{2}+1-5=(z+i)^{2}-4\]

よって \((z+i)^{2}=4\) でカは4。すると \(z+i=\pm 2\) から

\[z=2-i\qquad z=-2-i\]

の2つが解です。

キクは \(-2\)（キが \(-\)、クが2）です。

【検算】　数式処理で \(z^{2}+2iz-5=0\) を解くと解は \(2-i\) と \(-2-i\) の2つ。共役 \(2+i\) を代入した値は \(-4+8i\) で確かに0ではありませんでした。また \((z+i)^{2}-(z^{2}+2iz-5)=4\) も確認済みです。

【定石】　複素数係数でも平方完成は使える。\(z^{2}+2\alpha z+\beta=(z+\alpha)^{2}-\alpha^{2}+\beta\) は係数が複素数でもそのまま成立する。

【よくあるミス】　「2次方程式の虚数解は共役どうし」を無条件に信じて、\(2+i\) をもう一つの解にしてしまうこと。この定理は実数係数のときだけです。

(3)前半　複素数係数でも、まず平方完成

【型】\(z^{2}+2\alpha z\) の形を見たら \(\alpha\) をつくって平方完成

【なぜこうするか】　\(z\) の係数は \(-(2+4i)\)。これを \(2\alpha\) と見れば \(\alpha=-(1+2i)\) なので、\(\left(z-(1+2i)\right)^{2}\) を作ればよいとわかります。

\[\left(z-1-2i\right)^{2}=z^{2}-2(1+2i)z+(1+2i)^{2}\]

ここで \((1+2i)^{2}=1+4i+4i^{2}=-3+4i\) なので

\[\left(z-1-2i\right)^{2}=z^{2}-(2+4i)z-3+4i\]

④の左辺と見比べると、④の左辺は上の式より \((-9+12i)-(-3+4i)=-6+8i\) だけ小さい。したがって

\[\left(z-1-2i\right)^{2}-6+8i=0\quad\Longleftrightarrow\quad \left(z-1-2i\right)^{2}=6-8i\]

ケは1、コは2、サは6、シは8です。

③の右辺は実数の4でしたが、⑤の右辺は \(6-8i\) という虚数です。そこで平方根を実数の平方根だけで処理せず、次の設問では実部と虚部に分けて求めます。

【検算】　数式処理で \(\left(z-1-2i\right)^{2}-(6-8i)\) と \(z^{2}-(2+4i)z-9+12i\) の差を計算したところちょうど0。変形は正しいです。

【定石】　\(z^{2}+\beta z\) の平方完成は、係数が複素数でも \(\left(z+\dfrac{\beta}{2}\right)^{2}-\dfrac{\beta^{2}}{4}\) でよい。

(3)中盤　\(w=a+bi\) とおいて、実部と虚部で連立させる

【型】複素数の等式は「実部＝実部」「虚部＝虚部」に分解する

【なぜこうするか】　\(\sqrt{6-8i}\) を \(a+bi\) とおけば、2乗したときの実部と虚部を比較できます。複素数の平方根を実数の連立方程式へ変換できるため、この方法を選びます。

\[w^{2}=(a+bi)^{2}=a^{2}+2abi+b^{2}i^{2}=(a^{2}-b^{2})+2ab\,i\]

スは③、セは⑥です。

【検算】　数式処理で \((a+bi)^{2}\) を展開すると \(a^{2}+2iab-b^{2}\)。実部 \(a^{2}-b^{2}\)、虚部 \(2ab\) で一致しています。

【定石】　\((a+bi)^{2}=(a^{2}-b^{2})+2ab\,i\)。複素数の平方根を実部・虚部の比較で求めるときに使う基本形です。

(3)後半　連立を解いて、複素数の平方根を取り出す

【型】\(a\) を消去して \(b\) の複2次方程式に持ち込む

【なぜこうするか】　⑥と⑦を等しいとおくと、実部と虚部から2本の式が出ます。

\[a^{2}-b^{2}=6,\qquad 2ab=-8\]

2本目から \(ab=-4\)、つまり \(a=-\dfrac{4}{b}\)（\(b\neq 0\) なので割れます）。これを1本目へ代入して

\[\dfrac{16}{b^{2}}-b^{2}=6\quad\Longleftrightarrow\quad 16-b^{4}=6b^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad b^{4}+6b^{2}-16=0\]

\(b^{2}=t\) とおくと \(t^{2}+6t-16=(t+8)(t-2)=0\)。\(t=b^{2}\geqq 0\) なので \(t=2\)、つまり

\[b=\pm\sqrt{2}\]

ソは2です。あとは \(a=-\dfrac{4}{b}\) から

\[b=\sqrt{2}\ \Rightarrow\ a=-\dfrac{4}{\sqrt{2}}=-2\sqrt{2},\qquad b=-\sqrt{2}\ \Rightarrow\ a=2\sqrt{2}\]

したがって \(w=-2\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i\) または \(w=2\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i\)、まとめて

\[w=\pm\left(2\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i\right)\]

タは2、チは2です。最後に \(z=w+1+2i\) に戻して

\[z=1+2\sqrt{2}+\left(2-\sqrt{2}\right)i,\qquad z=1-2\sqrt{2}+\left(2+\sqrt{2}\right)i\]

この2つが④の解です。実部も虚部も互いに共役になっていない——やはり複素数係数では共役ペアにならないことが、最後にはっきり確認できます。

【検算】　得られた2つの \(z\) を④の左辺に直接代入したところ、どちらも0になりました。また数式処理で④を解いた結果も \(1\pm 2\sqrt{2}+(2\mp\sqrt{2})i\) で完全に一致しています。

【定石】　複素数 \(c+di\) の平方根は、\(w=a+bi\) とおいて \(a^{2}-b^{2}=c\)、\(2ab=d\) を解く。\(a\) を消去すると\(b\) の複2次方程式になり、\(b^{2}\geqq 0\) から解が絞れる。

【よくあるミス】　\(b^{4}+6b^{2}-16=0\) の解を \(b^{2}=2,\,-8\) と出したあと、\(b^{2}=-8\) を捨て忘れること。\(b\) は実数と決めているので \(b^{2}\) は負になれません。

第2問（必答・配点15）　対数をとって、指数の連立不等式を直線の領域に変える

(1)(i)　まず具体的な \(p\) で、対数の値を出してみる

【型】\(10\) の累乗に直してから対数をとる

【なぜこうするか】　\(p=100=10^{2}\) なので、すべて10の累乗に直せます。

\[\log_{10}p^{2}=\log_{10}\left(10^{2}\right)^{2}=\log_{10}10^{4}=4\]

\[\log_{10}\dfrac{p^{3}}{10}=\log_{10}\dfrac{10^{6}}{10}=\log_{10}10^{5}=5\]

アは4、イは5です。

この小問は答えを出すこと自体より、「対数をとれば指数の掛け算・割り算が足し算・引き算になる」という方針を体感させるための導入です。

【検算】　\(p=100\) のとき \(p^{2}=10000=10^{4}\)、\(\dfrac{p^{3}}{10}=\dfrac{10^{6}}{10}=10^{5}\)。対数はそれぞれ4と5 ✓。

【定石】　\(\log_{10}10^{n}=n\)。10の累乗に直せば対数は暗算で出る。

(1)(ii)　対数をとっても大小関係は変わらない

【型】底が1より大きい対数は単調増加

【なぜこうするか】　底が \(10\gt 1\) なので \(y=\log_{10}x\) は増加関数。増加関数を両辺に施しても不等号の向きは変わりません。

よって \(M\lt N\iff\log_{10}M\lt\log_{10}N\) でウは⓪。等号の場合を合わせれば \(M\leqq N\iff\log_{10}M\leqq\log_{10}N\) でエは①です。

ささいに見えますが、この確認があるからこそ「対数をとった後の不等式を解けば元の不等式を解いたことになる」と言い切れます。同値変形であることを明示するのが共通テストらしい丁寧さです。

【検算】　\(M=10\)、\(N=100\) とすると \(10\lt100\) かつ \(\log_{10}10=1\lt2=\log_{10}100\)。底が10のとき不等号の向きが保たれることを具体例でも確認できます。

【定石】　底 \(\gt 1\) なら不等号はそのまま、底 \(\lt 1\) なら向きが逆転する。この問題は底が10なのでそのまま。

(1)　連立不等式を \(x\)、\(y\) の1次不等式に翻訳する

【型】\(\log\) の3公式（積・商・累乗）で、全部を \(x\)、\(y\) の1次式にする

【なぜこうするか】　\(\log_{10}p=x\)、\(\log_{10}q=y\) と置いたので、積・商・累乗の公式を使って、指数を \(x\)、\(y\) の1次式へ変換します。

①について　\(p^{2}\leqq q\leqq\dfrac{p^{3}}{10}\) の各辺の対数をとります。

\[\log_{10}p^{2}=2x,\qquad \log_{10}q=y,\qquad \log_{10}\dfrac{p^{3}}{10}=3x-1\]

よって \(2x\leqq y\leqq 3x-1\)。オは①、カは③です。

②について　右側は \(\log_{10}\dfrac{10^{9}}{p^{2}}=9-2x\) なので \(y\leqq -2x+9\) でクは④。

左側は \(\dfrac{10^{6}}{p^{2}q}\leqq q\) の対数をとると

\[6-2x-y\leqq y\quad\Longleftrightarrow\quad 6-2x\leqq 2y\quad\Longleftrightarrow\quad y\geqq -x+3\]

キは⓪です。左辺に \(y\) が含まれているので、移項してから2で割るひと手間が要ります。

【検算】　\(p=100\)（\(x=2\)）で試すと、③は \(4\leqq y\leqq 5\)、④は \(1\leqq y\leqq 5\)。元の不等式では \(p^{2}=10^{4}\leqq q\leqq\dfrac{p^{3}}{10}=10^{5}\)、そして \(q\leqq\dfrac{10^{9}}{10^{4}}=10^{5}\)。対数をとると確かに \(4\leqq y\leqq 5\) と一致します。

【定石】　\(\log(MN)=\log M+\log N\)、\(\log\dfrac{M}{N}=\log M-\log N\)、\(\log M^{k}=k\log M\)。指数の世界の掛け算・割り算は、対数の世界では足し算・引き算になり、曲線が直線になる。

(2)　4本の直線が囲む領域を特定する

【型】直線どうしの交点を全部求めて、領域の頂点を確定させる

【なぜこうするか】　図を目で選ぶ前に、領域の頂点を自分で計算してしまうのが確実です。境界となる4直線は

\[y=2x,\qquad y=3x-1,\qquad y=-x+3,\qquad y=-2x+9\]

まず \(x\) の範囲を押さえます。③が成り立つには \(2x\leqq 3x-1\)、つまり \(x\geqq 1\)。④が成り立つには \(-x+3\leqq -2x+9\)、つまり \(x\leqq 6\)。

次に交点を求めます。

\(y=2x\) と \(y=-x+3\) の交点：

\[2x=-x+3\ \Rightarrow\ x=1,\ y=2\]

\(y=3x-1\) と \(y=-x+3\) の交点：

\[3x-1=-x+3\ \Rightarrow\ x=1,\ y=2\]

この2つが同じ点です。つまり \(y=2x\)、\(y=3x-1\)、\(y=-x+3\) の3本が \((1,\,2)\) で1点に集まっています。残りは

\(y=3x-1\) と \(y=-2x+9\) の交点は \(x=2\)、\(y=5\)。

\(y=2x\) と \(y=-2x+9\) の交点は \(x=\dfrac{9}{4}\)、\(y=\dfrac{9}{2}\)。

したがって領域は3点 \((1,\,2)\)、\((2,\,5)\)、\(\left(\dfrac{9}{4},\,\dfrac{9}{2}\right)\) を頂点とする小さな三角形（境界を含む）です。原点より右上、\(x\) が1から2.25、\(y\) が2から5の範囲にあります。この形と位置に合致する図を選べばよく、正解は②です。

【検算】　4直線の交点をすべて列挙し、③④の両方を満たすものだけ残したところ、頂点は \((1,2)\)、\((2,5)\)、\((2.25,4.5)\) の3つでした。念のため \(x=2\) での縦の幅を調べると、③から \(4\leqq y\leqq 5\)、④から \(1\leqq y\leqq 5\) なので \(4\leqq y\leqq 5\)。三角形の内部として整合しています。

【定石】　図の選択肢問題は目で選ばず頂点を計算する。特に「3本が1点で交わる」ような特徴が見つかれば、それだけで図が絞れる。

(3)　\(\dfrac{q}{p}\) の範囲は、傾き1の直線を平行移動して求める

【型】切片を動かす（線形計画法）

【なぜこうするか】　\(k=\dfrac{q}{p}\) の対数をとります。

\[\log_{10}k=\log_{10}q-\log_{10}p=y-x\quad\Longleftrightarrow\quad y=x+\log_{10}k\]

コは⑤です。これは傾き1、\(y\) 切片が \(\log_{10}k\) の直線。\(k\) を動かすことは、この直線を上下に平行移動させることに対応します。

あとは「傾き1の直線が三角形と共有点をもつような切片の範囲」を求めるだけ。領域は凸な三角形なので、切片の最大・最小は必ず頂点でとります。各頂点で \(y-x\) を計算すると

\[(1,\,2):\ 2-1=1,\qquad (2,\,5):\ 5-2=3,\qquad \left(\dfrac{9}{4},\,\dfrac{9}{2}\right):\ \dfrac{9}{2}-\dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{4}\]

最小が1、最大が3なので \(1\leqq\log_{10}k\leqq 3\)。対数を外して

\[10^{1}\leqq k\leqq 10^{3}\quad\Longleftrightarrow\quad 10\leqq\dfrac{q}{p}\leqq 1000\]

サは⑤、シは⑦です。

【検算】　最小値をとる頂点 \((1,2)\) は \(p=10\)、\(q=100\) に対応し、元の①②を満たして \(q/p=10\)。最大値をとる頂点 \((2,5)\) は \(p=100\)、\(q=10^{5}\) に対応し、同じく①②を満たして \(q/p=1000\)。両端が実際に達成されます。

【定石】　「領域内で \(ax+by\) の最大最小」は直線を平行移動して、領域の頂点で決まる（線形計画法）。凸多角形なら頂点だけ調べれば十分。