模試が返ってきて、答えは合っているのに三角がついている。あるいは、方針は合っていたのに半分しか点が来ていない。その失点には、はっきりした型があります。このページは、数学の答案で点を失う25の型を、減点される答案と直した答案の対比で辞書にしたものです。
このページの使い方
- まず✗ 減点される答案を読み、どこが穴か自分で当ててから先に進みます。
- 赤枠の「なぜ減点されるのか」を読みます。ここを飛ばすと、この辞書の価値は半分以下になります。
- ○ 直した答案と見比べ、増えた一行だけに注目します。点はその一行で戻ります。
- 末尾の直前チェックリストを、試験前に上から読んでください。
掲載した例題と解はすべて数強塾のオリジナルで、答えは全44項目を計算機で検証済みです。
「論理と証明の要点辞典」との使い分け
このページは全単元の失点を、原因で分類した索引です。ひととおり見渡して、自分がどの型で落としているかを見つけるために使ってください。
一方、論理そのもの（命題・必要十分・すべてとある・逆裏対偶・背理法・同値変形・帰納法）を腰を据えて学ぶなら、論理と証明の要点辞典（全8章）が本体です。章ごとに定石・つまずきポイント・例題・チェックリストがそろっています。
本ページの 03・10・11・12・13・22 は論理の型なので、ここでは要点だけを示し、詳しい解説はそちらへ渡します。二重に読む必要はありません。
全体地図：6部25型
減点は「単元ごと」に起きるのではありません。原因ごとに起きます。だからこの辞典は原因で分類しました。
| 部 | 失点の原因 | 型 |
|---|---|---|
| 第I部 存在と条件 | あるはずのものを確かめていない | 01〜05 |
| 第II部 範囲 | 範囲を持ち歩いていない | 06〜09 |
| 第III部 論理の向き | 矢印が逆、または一方通行 | 10〜13 |
| 第IV部 記述 | 頭の中にあるが紙の上に無い | 14〜18 |
| 第V部 数式の扱い | 操作に伴う条件を落とす | 19〜22 |
| 第VI部 最後の詰め | あと一手で満点を逃す | 23〜25 |
- 変数で割って解を落とす
- 2乗して無縁解が混ざる
- 必要条件で絞って十分性を確かめない
- 真数・分母・根号の条件を書かない
- 場合分けの境界が重複・欠落
- 置きかえて新しい範囲を出さない
- 「少なくとも」の否定を取り違える
- 絶対値で右辺の符号を確認しない
- 解の配置で端点を書かない
- 逆を確かめず「したがって」でつなぐ
- 必要条件と十分条件を取り違える
- 「すべて」と「ある」の否定
- 示したい式を途中で使う
- 文字の定義を書かない
- 図に描いただけで本文に書かない
- 「同様に」で本質を飛ばす
- 使った定理の名前を書かない
- 問いの形に答えていない
- 等号成立条件を書かない
- 置換積分で区間を変え忘れる
- 不定形のまま極限を計算する
- 帰納法で仮定の使い所を書かない
- 求めたもので止まっている
- 明らかに範囲外の答えを出す
- 写し間違いに気づかない
第I部 存在と条件を確かめていない（01〜05）
01 変数で割って解を落とす
出る場所：方程式全般／三角関数／指数対数／ベクトル（内積が0の場合）
を解く。
両辺を で割って 。 答
「両辺を で割る」という操作が同値変形になるのは のときだけです。 かもしれないのに割ると、 という場合を最初から考えないことにしてしまう。だから解が消えます。
割りたくなったら移項して因数分解する——これで場合分けそのものが要らなくなります。
より 、すなわち 。
よって
合言葉：割る前に「それ、0かもしれない」
02 2乗して無縁解が混ざる
出る場所：無理方程式／絶対値を含む方程式／絶対値を含む不等式
を解く。
両辺を2乗して 、、。
答
実際 を代入すると左辺 、右辺 で一致しません。これが無縁解です。
防ぐ方法は2つ。①元の式に代入して確かめるか、②2乗する前に「左辺≧0だから右辺も≧0」と条件を書いておく。②のほうが速い。
…① において、左辺 だから が必要。
このとき①の両辺を2乗して 、、。
より 。（ は①を満たす。）
答
合言葉：2乗したら、必ず元に戻って確かめる
03 必要条件で絞ったのに十分性を確かめない
出る場所：整数問題／恒等式の係数決定／方程式の整数解
が3の倍数となる自然数 をすべて求めよ。
を3で割った余りで分類すると、余り1のときだけ が3の倍数になる。
答 （ は0以上の整数）
本当に問われているのは「 なら必ず3の倍数になるか」——逆向き（十分性）です。
今回はたまたま両方成り立ちますが、それは確かめて初めて言えること。「余りで分類した」という手続きは、分類の各場合を検証したときにだけ双方向になります。一行「逆に」と書けば満点です。
（ は整数）で場合分けする。
のとき → 余り1
のとき → 3の倍数
のとき → 余り1
よって3の倍数となるのは のときに限り、逆にこのとき確かに3の倍数である。
答 （ は0以上の整数）
この型を腰を据えて学ぶなら：論理と証明の要点辞典 第6章「同値変形と必要条件で絞る」（定石・つまずきポイント・例題・チェックリストがそろっています）
合言葉：「絞った」だけでは終わらない。「逆に」を書く
04 真数・分母・根号の条件を書かない
出る場所：対数方程式／分数方程式／無理関数／定義域を問う問題
を解く。
より 、、。
答
真数条件は「気をつけるべき決まり」ではなく、その式が意味を持つための前提です。前提を書かずに変形すると、変形の途中で前提が消え、意味のない解が残ります。
条件は変形の前に書く。後から代入して確かめる方法もありますが、先に書くほうが速く、答案としても強い。
真数は正だから かつ 、すなわち …①
このとき より 。
、 より 。
①より 。 答
合言葉：定義域は、解く前に書く
05 場合分けの境界が重複・欠落している
出る場所：絶対値／ガウス記号／区分的に定義された関数／積分区間
を解く。
のとき、 のとき、 のときで場合分けする。……
逆に と分けると境界が重なりますが、こちらは減点されません。重なった点でどちらの式を使っても同じ値になるからです。
漏れは致命傷、重なりは無害。迷ったら等号を両方に付けてください。
[1] のとき より 、。これは を満たす。
[2] のとき となり、 は成り立たない。解なし。
[3] のとき より 、。これは を満たす。
答
合言葉：漏れは致命傷、重なりは無害
第II部 範囲を持ち歩いていない（06〜09）
06 置きかえたのに新しい変数の範囲を出さない
出る場所：三角関数の最大最小／指数対数／2次関数への帰着／積分の置換
の最大値を求めよ。
とおくと だから
。
これは について下に凸だから、最大値はない。
なので 。この範囲を書かないと、元の問題とは別の問題を解いたことになります。
置きかえは「変数を取り替える」操作ですが、同時に取りうる値の集合も取り替わる。範囲を書き忘れると、その対応が切れます。
置きかえた瞬間に範囲を書く——順番を固定してください。後から思い出すのでは遅い。
とおくと …①
より だから
①の範囲で、これは のとき最大。
答 最大値
合言葉：置きかえたら、その場で範囲
07 「少なくとも」の否定を取り違える
出る場所：確率（余事象）／整数（存在の否定）／論理
さいころを3回投げるとき、少なくとも1回6の目が出る確率を求めよ。
余事象は「3回とも6が出る」だから、求める確率は 。
記号で書くと明快です。「少なくとも1回」は （ある回で出る）。その否定は （すべての回で出ない）。 の否定は 、 の否定は で、量化子がひっくり返ります。
「3回とも出る」は元の主張を強めただけで、否定ではありません。
「少なくとも1回6が出る」の余事象は「3回とも6が出ない」。
1回で6が出ない確率は で、各回は独立だから、3回とも出ない確率は 。
よって求める確率は
合言葉：「少なくとも1つ」の裏は「1つもない」
08 絶対値で右辺の符号を確認しない
出る場所：絶対値を含む不等式／方程式
を解く。
より、左側から 、右側から 。
よって （答えは合っているが減点）
という同値変形が使えるのは のときだけです。 なら は解なしで、 という書き方自体が意味を持ちません。
今回の は という文字を含む式。正とは限らないのに、正であるかのように使っています。「 すなわち が必要」の一行があれば完璧です。
答えが合っていても論理が飛んでいれば減点される——ここが記述式の本質です。
左辺は0以上だから、不等式が成り立つには右辺が正、すなわち 、 が必要。…①
①のもとで 。
より 、 ／ より
①と合わせて
合言葉：絶対値を外す前に、右辺の符号
09 解の配置で端点を含むかを書かない
出る場所：2次方程式の解の配置／2次関数と区間／文字係数の不等式
が の範囲に異なる2つの実数解をもつような の範囲を求めよ。
判別式 より または 。軸が範囲内だから 。
よって
グラフで考えると、2解がともに に入るには次の4つが同時に必要です。
① （2解が異なる実数）／② 軸が ／③ ／④
③④を落とすと、片方の解が区間の外に飛び出している場合を排除できません。実際、 のとき で、解の1つは3より大きくなります。
また、端点で だと解が や 自身になり、「」（等号なし）を満たさない。だから ではなく です。等号の有無は問題文の不等号がそのまま決めます。
とおく。下に凸だから、 に異なる2実解をもつ条件は
① すなわち より または
② 軸 が
③ より
④ より
①〜④の共通範囲は
合言葉：解の配置は、判別式・軸・両端の4点セット
第III部 論理の向きを間違えている（10〜13）
10 逆を確かめずに「したがって」でつなぐ
出る場所：証明全般／同値変形／十分性の確認
ならば である。したがって ならば である。
記述答案でこれが最も危険な形で現れるのが、「〜を満たすとすると、変形して〜が得られる。よって答えは〜」という書き方です。この論法は必要条件を出したにすぎないのに、結論のように書いてしまっている。
救う方法は2つ。①各ステップを同値（⟺）で結ぶか、②最後に「逆に、これは条件を満たす」と確かめる。答案では②のほうが書きやすく、確実です。
または
よって から言えるのは であり、 に限らない。
（ は真だが、その逆は偽である。）
この型を腰を据えて学ぶなら：論理と証明の要点辞典 第4章「逆・裏・対偶」（定石・つまずきポイント・例題・チェックリストがそろっています）
合言葉：矢印は一方通行。戻れるかを毎回確かめる
11 必要条件と十分条件を取り違える
出る場所：集合と命題／範囲の包含／「〜であるための条件」
「」は「」であるための必要条件である。
判定は矢印の向きだけで決まります。 は真、 は偽（ が反例）。
矢印の根元が十分条件、矢先が必要条件。集合で見ると、 で、小さい集合のほうが十分条件です。
「十分＝きつい条件＝集合が小さい」「必要＝ゆるい条件＝集合が大きい」と、集合の大小に翻訳して覚えると間違えません。
は真。逆に は偽（ が反例）。
よって「」は「」であるための 十分条件であるが必要条件ではない。
この型を腰を据えて学ぶなら：論理と証明の要点辞典 第2章「必要条件・十分条件」（定石・つまずきポイント・例題・チェックリストがそろっています）
合言葉：矢印の根元が十分、矢先が必要。集合が小さいほうが十分
12 「すべて」と「ある」の否定を間違える
出る場所：命題の否定／背理法／反例を挙げる問題
「すべての実数 で 」の否定は
「すべての実数 で 」である。
正しい否定は「ある実数 で 」。
意味で考えれば当然です。「全員が背が高い」を否定するのは「全員が背が低い」ではなく、「背が低い人が1人でもいる」。
実際、 で となるので元の命題は偽であり、否定が真になっています。否定を作ったら反例を1つ挙げると、自分の否定が正しいかを検算できます。
「すべての実数 で 」の否定は
「ある実数 が存在して 」
実際 のとき だから、否定が成り立つ。
よって元の命題は偽である。
この型を腰を据えて学ぶなら：論理と証明の要点辞典 第3章「すべてとある」（定石・つまずきポイント・例題・チェックリストがそろっています）
合言葉：否定で「すべて」と「ある」は入れ替わる
13 示したい式を証明の途中で使う（循環論法）
出る場所：不等式の証明／等式の証明／図形の証明
のとき を示せ。
両辺を2乗して
整理して これは成り立つ。よって示された。
救う道は2つ。①向きを逆にして、成り立つことが分かっている式から出発する。②各行を で結び、同値変形であることを明示する（このときは2乗が同値になる根拠——両辺が0以上——も要ります）。
入試では①が安全です。「 から出発する」と決めておけば、循環論法にはなりません。
なお等号成立条件も必ず書きます（→19）。
のとき、 が成り立つ。
展開して すなわち
等号が成り立つのは 、すなわち のときである。 （証明終）
この型を腰を据えて学ぶなら：論理と証明の要点辞典 第8章「答案の論理チェック」（定石・つまずきポイント・例題・チェックリストがそろっています）
合言葉：結論から出発しない。成り立つ式から降りてくる
第IV部 書いていないから伝わらない（14〜18）
14 文字の定義を書かない
出る場所：文章題／figure問題／自分で文字を置くすべての問題
（いきなり）、 より 。
これは作法ではなく情報の欠落です。答案は採点者に読ませる文章であり、定義されていない記号は意味を持ちません。
「 を…の個数とする」の一行は5秒で書けて、しかも自分の思考も整理されます。単位まで書けば18の失点も同時に防げます。
りんごの個数を 個、みかんの個数を 個とする（ は0以上の整数）。
代金の関係から …①
個数の関係から …②
①②を連立して 。これは を満たす。
答 りんご300個、みかん200個
合言葉：置いた文字は、必ず日本語で定義する
15 図に描いただけで本文に書かない
出る場所：図形／グラフの位置関係／領域／解の配置
（グラフを描いて）図より、交点は2個。よって
必要なのは図から読み取ったことを、式や言葉で本文に書き写すことです。「頂点の 座標が負」「判別式が正」「」——図で見たことは、必ず不等式に翻訳できます。
逆に言えば、翻訳できないなら、まだ根拠を掴めていないということ。図は描くべきですが、図で終わってはいけません。
とおくと、グラフは下に凸で頂点は 。
軸と異なる2点で交わる条件は、頂点の 座標が負であること、すなわち
よって
（判別式で書いても同じ： より 。）
合言葉：図で見たことを、不等式に翻訳して本文へ
16 「同様に」で本質部分を飛ばす
出る場所：場合分けの2つ目以降／対称性のある証明／帰納法
[1] のとき …（詳しく書く）…
[2] のとき 同様にして
判断の基準は明確です。「置き換えれば一字一句同じになるか」——なるなら「同様に」でよい（例： と が完全に対称な式で を入れ替えるだけの場合）。ならないなら書く。
2行増えるだけで確実に点になるなら、書いたほうが期待値が高い。試験時間の使い方としてもこちらが正解です。
[1] のとき だから 、。
より 。
[2] のとき だから 、。
より 。
[1][2] より
合言葉：「同様に」は、一字一句同じになるときだけ
17 使った定理の名前を書かない
出る場所：図形と計量／平面図形／数列／微積分の定理
（三角形 で 、外接円の半径 ）
一方で、教科書に載っている定理は名前を書けば証明不要です。つまり「正弦定理より」の6文字が、証明を丸ごと肩代わりしてくれる。これほど費用対効果の高い一行はありません。
名前が思い出せないときは「〜の関係より」と書いて式を添えるだけでも、無記述よりはるかに良い。使った道具を明示するという原則が大事です。
正弦定理より だから
合言葉：定理の名前は、証明を肩代わりしてくれる
18 問いの形に答えていない
出る場所：全単元／とくに文章題・確率・図形の計量
（問） の最小値を求めよ。
（答）
これは「うっかり」で片づけられがちですが、模試で最も多い失点のひとつです。原因は、解いている途中で目的を見失うこと。
対策は単純で、解き始める前に問いの最後の一文に線を引く。そして答えを書くとき、問いの言葉をそのまま使って書く（「最小値は3」「〜通り」「〜個」「〜」）。
単位も同じです。「12」ではなく「12cm²」。問いの言葉で答えると、単位も自然に付いてきます。
よって のとき最小値 3 をとる。
答 最小値 3（ のとき）
合言葉：問いの言葉で答える
第V部 数式の扱いで条件を落とす（19〜22）
19 等号成立条件を書かない
出る場所：相加相乗平均／コーシー・シュワルツ／最大最小の評価
のとき の最小値を求めよ。
相加相乗平均より 。
よって最小値は 4
「最小値が4である」と言うには、4を実際に取る が存在することを示す必要があります。それが等号成立条件です。
相加相乗の等号は2数が等しいときなので 、すなわち 、 より 。この が定義域に入っているからこそ、4は最小値になります。
等号が定義域内で成立しないなら、その値は最小値ではありません。ここが本当の落とし穴です。
より かつ だから、相加相乗平均の関係より
等号が成り立つのは 、すなわち 。 より 。
これは定義域 に含まれる。
答 のとき最小値 4
合言葉：不等式で最小値を言うなら、等号成立を必ず示す
20 置換積分で区間を変え忘れる
出る場所：数III 置換積分／定積分の計算全般
を求めよ。
とおくと だから
のとき 、 のとき なので、正しい区間は 1から2。
定積分は「区間 × 被積分関数」の組で1つの値です。変数を取り替えたら、区間も一緒に引っ越す。置きかえで範囲を書き忘れる06と、まったく同じ構造の失点です。
不定積分に直してから に戻す方法なら区間の変換は不要ですが、戻し忘れという別の失点が生まれます。どちらでもよいので、自分の型を1つに決めてください。
とおくと 。
のとき
合言葉：変数が引っ越したら、区間も引っ越す
21 不定形のまま極限を計算する
出る場所：数III 極限／数列の極限／はさみうち
を求めよ。
のとき 、 だから
。 答 0
実際この極限は です。 は数ではないので、数のように引き算できません。
不定形を見たら形を変えて不定形を崩すのが定石で、根号の差なら有理化が第一手。分母・分子に を掛けると差が積に化けて解消します。
（速算辞典の27で「有理化は近似を安定させるためにやる」と書きましたが、極限でも同じ理由——近い2数の差を消すためです。）
の不定形なので、分子を有理化する。
分母・分子を で割って
合言葉：∞−∞ は0ではない。崩してから代入する
22 帰納法で仮定をどこで使ったか書かない
出る場所：数学的帰納法／漸化式の証明／整数の証明
を示す。
のとき成立。
のとき成立すると仮定すると、 のときも同様に成立する。（証明終）
帰納法は「ドミノが1枚倒れる」ことと「1枚倒れれば次も倒れる」ことの2つで全部を示す論法です。2つ目こそが本体で、そこを「同様に」で飛ばすのは、証明の本体を書いていないのと同じ。
書き方は決まっています。 の左辺を、 の左辺＋新しい項に分解し、そこで仮定を代入する。この「代入した瞬間」を式で見せてください。
（16の「同様に」と同じ失点ですが、帰納法ではほぼ確実に大幅減点になります。）
[1] のとき 左辺 、右辺 で成立。
[2] のとき成立すると仮定する。すなわち
…(*)
のとき、左辺は
これは のときの右辺に一致するから、 でも成立する。
[1][2] より、すべての自然数 で成立する。（証明終）
この型を腰を据えて学ぶなら：論理と証明の要点辞典 第7章「数学的帰納法」（定石・つまずきポイント・例題・チェックリストがそろっています）
合言葉：仮定を代入した瞬間を、式で見せる
第VI部 最後の詰めで落とす（23〜25）
23 求めたもので止まっている
出る場所：全単元／とくに(1)(2)と続く小問の最終問
（問）2桁の自然数のうち、7で割ると3余る数の総和を求めよ。
（答）10, 17, 24, …, 94 の13個
配点で見ると最も損な失点です。正答までの9割の作業を終えていて、点は0という場合すらある。
対策は、答えを書いた直後に問題文へ戻って読み直すこと。10秒で終わります。とくに「〜の和」「〜の個数」「〜の最大値」「〜のとき の値」は取り違えやすいので、問題文の最後の語に線を引く習慣をつけてください。
合言葉：答えを書いたら、問題文に戻る
24 明らかに範囲外の答えを出して気づかない
出る場所：確率／長さ・面積・体積／三角比／個数
（確率の問題で） ／ （辺の長さで） ／ （三角形の3辺が）2, 3, 6
・確率は ・長さ・面積・体積は正 ・、 ・個数・通り数は自然数
・三角形の3辺は「2辺の和 > 残り1辺」（ なので上の3数では三角形にならない）
これらを外れた答えが出たら、計算のどこかが必ず間違っています。答えを書く前に範囲を確かめるだけで、失点が実際に減ります。
数強塾がこれを「検算」と呼んで重視するのは、難問を1問増やすより、解けた問題を確実に取るほうが点が伸びるからです。
確率を求めたら 0以上1以下かを見る。1を超えたら、たいてい重複して数えている。
長さ・面積を求めたら 正かを見る。負なら符号か引き算の向きを間違えている。
三角形の辺を求めたら 2辺の和 > 残り1辺を確かめる。
合言葉：答えを書く前に、取りうる範囲を思い出す
25 写し間違いに気づかない
出る場所：全単元／計算用紙から答案へ書き写す場面
計算用紙では 2961 と正しく出したのに、答案には 2691 と書いた。
9去法は各位の和で調べるので、2961 も 2691 も和は18で同じ。桁を入れ替えても和は変わらないから、すり抜けます。
これを捕まえるのが11去法（一の位から交互に足し引き）です。2961 は 、2691 は で値が変わるので検出できます。
性質の違う2つの検算を重ねる——9と11は互いに素なので、両方をすり抜けるには差が99の倍数である必要があり、そんな写し間違いはまず起きません。
答えを書き写したら、元の数と写した数の交互和を比べる。
2961： ／ 2691： → 一致しないので写し間違いと分かる。
（9去法だけでは、どちらも各位の和が18で気づけない。）
合言葉：桁の入れ替えは、11でしか捕まらない
試験直前チェックリスト（25型を1行ずつ）
- 変数で割った？ → 0の場合を書いたか
- 2乗した？ → 元の式に戻して確かめたか
- 条件を絞った？ → 「逆に」を書いたか
- log・分数・根号がある？ → 定義域を先に書いたか
- 場合分けした？ → 境界に漏れはないか
- 置きかえた？ → 新しい変数の範囲を出したか
- 「少なくとも」？ → 否定は「1つもない」にしたか
- 絶対値を外した？ → 右辺の符号を確認したか
- 解の配置？ → 判別式・軸・両端の4点を書いたか
- 「したがって」で結んだ？ → 逆も言えるか
- 必要／十分？ → 矢印の向きを書いて確かめたか
- 否定を作った？ → 「すべて」と「ある」を入れ替えたか
- 不等式の証明？ → 結論から出発していないか
- 文字を置いた？ → 日本語で定義したか
- 図を描いた？ → 読み取ったことを式にしたか
- 「同様に」と書いた？ → 本当に一字一句同じか
- 定理を使った？ → 名前を書いたか
- 答えを書いた？ → 問いの言葉と単位で書いたか
- 不等式で最大最小？ → 等号成立を示したか
- 置換積分？ → 区間を変えたか
- 極限？ → 不定形のまま代入していないか
- 帰納法？ → 仮定を使った瞬間を式で見せたか
- 最後の一手 → 問題文に戻って読み直したか
- 答えの値 → 取りうる範囲に入っているか
- 書き写した？ → 交互和で確かめたか
理解できているかの自己診断
- 01の「 で割る」が作法違反ではなく解の消失である理由を説明できる
- 02の2乗と08の絶対値が、どちらも「同値でない変形」という同じ型だと説明できる
- 06の置きかえと20の置換積分が、どちらも「範囲が一緒に引っ越す」という同じ型だと説明できる
- 07の余事象と12の否定が、どちらも量化子の反転だと説明できる
- 19で等号成立を書く必要があるのは、「4以上」と「最小値4」が別の主張だからだと説明できる
5つすべてに「はい」と言えるなら、25の型は暗記ではなく理解として身についています。25の型は、実は6つの原因に集約されます。原因で覚えれば、初めて見る問題でも自分で穴に気づけます。どれか1つでも詰まるなら、その型の赤い枠に戻ってください。
作成：数強塾編集部。掲載した例題と解答はすべて数強塾のオリジナルです。公開前に、例題の解・場合分けの網羅性・極限や積分の値など44項目を計算機で検証しました。市販教材や他サイトの問題文・数値・解説文は転載していません。最終更新：2026年8月14日。
証明の書き方を一本で確かめたい方へ——中2の図形の証明から、集合と命題、対偶法と背理法の使い分け、入試の論証までを順に並べた地図があります。論理・証明 学習ロードマップ