二次方程式は、すべてを同じ方法で解く単元ではありません。式を0の形に整理した後、「平方根」「因数分解」「解の公式」のどれが最短かを選びます。後半では、図形と割合から二次方程式を作り、条件に合う解だけを残します。
解法を選ぶ基準
| 0に整理した後の形 | 第一候補 | 理由 |
|---|---|---|
| x2＝k | 平方根 | ±を付けて直接解ける |
| 整数で因数分解できる | 因数分解 | 積が0なら一方が0 |
| 因数分解が見つからない | 解の公式 | すべての二次方程式に使える |
| 文章・図形から作った式 | いずれか＋吟味 | 方程式の解がすべて場面に合うとは限らない |
問題1：展開後に解の公式
次の方程式を解きます。
左辺を展開し、右辺の－3を左へ移します。
整数では因数分解できないので、解の公式を使います。
答え：x＝(3＋√37)/2，(3－√37)/2
問題2：因数分解できる形
展開して0に整理します。
積が－24、和が5となる8と－3を使います。
答え：x＝－8，3
問題3：平方根を使う
両辺を7で割ると、x2＝8です。
答え：x＝2√2，－2√2
√8だけ、または2√2だけとすると、負の解が抜けます。x2＝8を満たす数は二つです。
問題4：係数が1でない解の公式
a＝3、b＝4、c＝－11を解の公式へ代入します。
答え：x＝(－2＋√37)/3，(－2－√37)/3
問題5：引くカッコの符号
二つの積を別々に展開します。
2番目のカッコの前にマイナスがあるので、外すと各項の符号が変わります。
答え：x＝－12，4
問題6：分母を払って整理する
両辺全体を7倍します。一部の項だけを7倍しないようにします。
展開・整理すると、
答え：x＝7，－1
代入検算
x＝7では、左辺は1＋35＝36、右辺は36です。x＝－1では、左辺は1＋3＝4、右辺は4です。二つとも元の式を満たします。
問題7：「解の一つがa」の意味
xについての方程式
の解の一つが aであるとします。「解の一つが a」は、x＝aを代入すると式が成り立つという意味です。
答え：a＝4/3，－3
どちらも元の式で x＝aを満たすため、両方を採用します。
問題8：二つの解から係数を求める
x2＋bx＋a＝0の解が1と7なら、先頭係数が1なので、
です。係数を比較して b＝－8、a＝7です。これを x2＋ax＋b＝0へ入れます。
答え：x＝－8，1
問題9：三つの半円と影の面積
一直線上にA、B、Cがあり、AC＝12 cmです。AB、BC、ACを直径とする三つの半円を考えます。ACとBCの半円は同じ側、ABの半円は反対側です。図の影は、ACの大半円からBCの半円を除いた部分です。
ABの半円とBCの半円の面積の和が影の面積に等しいとき、ABの半円の半径を求めます。ただしAB、BCは0ではありません。
半径と面積を文字で表す
ABの半円の半径を r cmとします。AB＝2r、BC＝12－2rなので、BCの半円の半径は6－rです。
| 半円 | 半径 | 面積 |
|---|---|---|
| AB | r | (1/2)πr2 |
| BC | 6－r | (1/2)π(6－r)2 |
| AC | 6 | 18π |
AB、BCがともに正であるため、定義域は0＜r＜6です。
影の式を先に確定する
AB、BC、ACの半円面積をそれぞれ S1、S2、S3とすると、影は S3－S2です。条件は、
よって、
πを消して整理します。
方程式の解は r＝2、6です。しかし r＝6ではBC＝12－2・6＝0となり、問題の「BCは0にならない」に反します。
答え：2 cm
問題10：同じ割合で2回減る
AとBの2年前のお年玉をともに X円とします。Aは昨年に2割増え、今年は昨年から5割増えました。
2年前の1.8倍なので、増加分は0.8倍、つまり8割増しです。「2割＋5割＝7割」ではありません。基準となる金額が変わるため、倍率を掛けます。
Bが毎年同じ割合 pだけ減るとします。pは小数で表した減少率で、0＜p＜1です。
Bの今年はAの今年の1/5なので、
平方根を取ると1－p＝±0.6ですが、1－pは「残る割合」で0より大きいため、－0.6は不適です。
答え：Aは8割増し、Bは毎年4割減
10題の答え一覧
| 問題 | 答え | 主な方法 |
|---|---|---|
| 1 | (3±√37)/2 | 解の公式 |
| 2 | －8，3 | 因数分解 |
| 3 | ±2√2 | 平方根 |
| 4 | (－2±√37)/3 | 解の公式 |
| 5 | －12，4 | 展開・因数分解 |
| 6 | 7，－1 | 分母払い・因数分解 |
| 7 | a＝4/3，－3 | 解を代入 |
| 8 | －8，1 | 解から係数 |
| 9 | 2 cm | 面積・不適解 |
| 10 | 8割増し、4割減 | 倍率・平方根 |
よくある誤り
| 誤り | 確認方法 |
|---|---|
| 右辺を残したまま因数分解する | まず一方の辺を0にする |
| 平方根で±を忘れる | 未知数が長さでない限り正負の両方を確認 |
| マイナスの前のカッコをそのまま外す | カッコ内の全項の符号を変える |
| 分母を一部だけ払う | 等式の両辺に同じ数を掛ける |
| 図の白い領域を足す | 影＝全体－白い部分と日本語で書く |
| 文章題の2解を無条件で採用する | 長さ、個数、割合、定義域に戻して吟味する |
確認問題
- x2－5x－14＝0を解いてください。
- 2x2＝18を解いてください。
- x2＋bx＋c＝0の解が2と－5のとき、b, cを求めてください。
- 問題9で r＝6を答えから除く理由を説明してください。
- 1000円を2回続けて2割引きした金額を求めてください。
確認問題の解答
- (x－7)(x＋2)＝0より、x＝7，－2です。
- x2＝9より、x＝±3です。
- (x－2)(x＋5)＝x2＋3x－10より、b＝3，c＝－10です。
- BC＝12－2r＝0となり、「BCの長さは0でない」という条件に反するためです。
- 1000・0.8・0.8＝640円です。
よくある質問
因数分解できるか、何秒考えればよいですか。
整数係数なら、積と和の候補を小さい約数から確認します。候補がすぐ見つからない、判別式が平方数でないと分かった場合は、解の公式へ進みます。試行を長引かせないことも解法選択です。
二次方程式の解は、いつ一つになりますか。
重解のときは異なる解が一つです。ただし文章題では、方程式に二つの実数解があっても、長さや割合の条件に合う解が一つだけになることがあります。この二つを区別します。
割合を足してはいけないのはなぜですか。
2回目の割合は、1回目の変化後の量を基準にします。元の量を1とし、増加なら1＋割合、減少なら1－割合を順に掛けると、基準の変化を正しく表せます。
学習範囲の根拠
本記事は、中学校数学で扱う二次方程式の解法と利用に沿って、計算・係数・図形・割合をサイト用に再構成した総合問題です。教材画像や紙面は転載していません。
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