2次関数の最大・最小【発展編】｜2変数・最大値と最小値の差・絶対値つきを本質から解く

中高一貫校の高1で扱う「2次関数の最大・最小」は、軸と定義域の位置関係が見えれば一通り解けます。しかし大学入試で出るのは、その一段上です。文字が2つある、最大値と最小値の差を条件として与えられる、絶対値がついている——見た目は難しそうですが、実は使う道具は高1の夏と同じです。

この記事では、基本型を終えた人が次に越えるべき3つの発展テーマを、「なぜその操作をするのか」「いま何を対象に考えているのか」まで踏み込んで解説します。ここを通過すると、2次関数は「解ける単元」から「他の単元を支える道具」に変わります。

1．発展の前に、土台を1行で確認する

どれだけ複雑に見える問題でも、2次関数で使う道具はこれだけです。

y ＝ a ×（軸からの距離）² ＋（頂点の高さ）

下に凸なら軸に近いほど低く、上に凸なら軸に近いほど高い。あとは「見てよい範囲の中で、その距離が最小・最大になる点はどこか」を選ぶだけ。発展問題が難しく感じるのは、この道具が使えないからではなく、道具を使う前の準備が増えるからです。

2．発展1｜文字が2つあるとき、消したあとに何が残るか

文字が2つあるままでは、2次関数として扱えません。そこで条件式を使って1文字を消します。 より なので、

これで だけの2次関数になりました。平方完成します。 の係数が なので、まず でくくります。

ここで手を止める。変域はどうなったか

多くの人が、ここで「頂点が だから最小値2、最大値なし」と答えて終わります。しかしそれは半分しか使っていません。

条件には と がありました。 を代入すると、

　かつ　

すなわち 。消した文字 の条件が、生き残った文字 の変域に化けたのです。

図1： と、条件から出てきた変域 （青い帯）。軸 は帯の中にあるので頂点が最小。最大は軸から遠い端だが、両端が軸から等距離なので2か所で同時に最大になる。

軸 は変域の中にあるので、最小は頂点の （このとき ）。最大は軸から遠いほうの端ですが、 で両端が同じ距離。したがって と の両方で最大となり、値は 。

【検算】 なら 。 なら 。 なら で、確かに と の間に入っています。具体的な組を3つ入れて挟み込むだけで、答えの妥当性はほぼ確認できます。

もし が無かったら

条件が だけなら、 はすべての実数を動けます。すると変域は制限なしになり、最小値は のまま、最大値は存在しません（いくらでも大きくなる）。

【本質】同じ式でも、条件が1つ変わるだけで答えが「最大値4」から「最大値なし」に変わる。問題文の条件は飾りではなく、変域を決めるための情報だということが、ここではっきりします。入試問題で条件が1行増えていたら、それは必ず変域に効いています。

3．発展2｜「最大値と最小値の差」から係数を逆算する

この問題が「発展」である理由は、最大値も最小値も、まだ数ではなく の式だからです。つまり2つの関数を自分で作り、その差をとって、さらにもう1つの関数を作るという三段構えになります。

ステップ1：最小値 を作る

平方完成すると 。軸は 、下に凸。最小値は「軸が変域の中なら頂点、外なら軸に近いほうの端」で決まります。

ステップ2：最大値 を作る

最大値の判定基準は違います。下に凸の最大は軸から遠いほうの端なので、変域の中点 と軸 を比べます。

ステップ3：差 を作る

ここが山場です。 の分かれ目は 、 の分かれ目は 。両方の分かれ目をすべて使うので、区間は4つになります。

【検算：つなぎ目を必ず見る】： と 。： と 。： と 。3か所すべてで一致。差の関数は途切れずつながっています。ここがずれていたら、必ずどこかで場合分けを間違えています。

ステップ4： を解く

いよいよ条件を使います。各区間で方程式を解き、出てきた値がその区間に入っているかを毎回確認します。

図2：差 のグラフ（4区間でつながった1本の曲線）と、条件の高さ を表す赤い横線。交点がちょうど2つあり、それが答えの と 。「解が2つある」ことが、絵として先に分かる。

【検算】 のとき、軸は変域の中なので最小値は 、軸は中点1より右なので最大値は の 。差はちょうど です。 のときは最小値 、最大値は 。差は 。両方とも合っています。

4．発展3｜絶対値がついたら、グラフを折り返す

絶対値は「符号を取り払って正にする」記号です。グラフで言えば、 軸より下にある部分を、 軸を鏡にして上へ折り返すという操作にあたります。

まず中身を調べます。。頂点は 、 軸との交点は より 。

つまり の部分だけが 軸より下にあり、そこが折り返されます。折り返すと、もとの谷底 は という山の頂上に変わります。

図3：点線がもとの 、実線が 。 軸より下の部分（）が折り返され、谷底が高さ1の山に変わっている。

この形で の最大・最小を読み取ります。候補になるのは、両端・折り返し点・折り返してできた山の頂上の4種類だけです。

【なぜ最小値が0だと即断できるのか】絶対値は必ず 以上です。そして中身が になる （）が変域に入っています。「0以上」かつ「0になる点がある」なら、最小値は0で確定。計算せずに言い切れます。この論法は数学IIIまでずっと使います。

もう一歩深く： の解の個数

絶対値つきのグラフが描けると、方程式の解の個数という別ジャンルの問題がそのまま解けます。

。 軸との交点は 、頂点は 。折り返すと、高さ の山ができます。この形に水平線 を引いて、交点の数を数えるだけです。

【本質】方程式を「解く」のではなく、グラフと水平線の交点を「数える」。この発想の転換ができると、解の個数の問題は暗算に近くなります。数学IIの3次関数、数学IIIの微分でも、まったく同じ図を描くことになります。

5．3つの発展に共通する構造

6．この先、どこで再会するか

ここで身につけた考え方は、2次関数の単元が終わっても消えません。

2次関数が「最初の分岐点」と言われるのは、難しいからではありません。ここで身につけた見方を、その後2年半ずっと使い続けるからです。逆に言えば、ここを丸暗記で通過した人は、同じ場所で何度もつまずくことになります。

7．演習問題（解答つき）

8．入試ではどう出るか

ここまでの3テーマは、大学入試で単独出題されることもあれば、誘導つきの大問の一部として出ることもあります。とくに私立大の理系・国公立2次では、「 で場合分けして最小値を求めよ」→「その最小値の最大値を求めよ」という二段構えが定番です。

数強塾では、実際の入試問題を年度ごとに全問解説しています。この単元がどの形で出題されているかは、実物で確認するのがいちばん早いです。

9．「解けた」で止まらないために

発展問題は、答えが合っていても再現性がないことがあります。たまたま場合分けが当たったということが起こりうるからです。次の3つに答えられるか、確認してください。

10．一人で詰まったときに

発展問題は、独学でいちばん時間を溶かしやすい場所です。基本型と違って「どこで間違えたか」が自分では見えにくく、解答を読んでも「なぜその場合分けを思いついたのか」が書かれていないことが多いからです。

11．よくある質問

12．関連ページ

• 中高一貫校 高1の夏休みの数学課題｜2次関数の最大・最小「5つの型」（まずはこちら）
• 横浜共立学園 高1版｜文字係数と定義域つきの最大・最小
• フェリス女学院 高1版｜軸が動く型
• 洗足学園 高1版｜定義域が動く型
• 湘南白百合学園 高1版｜置き換え型
• 横浜雙葉 高1版｜文章題と逆算型
• 横浜女学院 高1版｜すべての x で成り立つ条件
• 二次関数｜グラフ・平方完成・最大最小・二次不等式【数学I】
• 大学入試 過去問の全問解説
• 学校別 数学対策トップ