入試数学の定石を中学生にもわかる言葉で全部説明する

数学ができる人は、問題を見た瞬間に「ひらめいて」いるわけではありません。過去に何百回も使われてきた「型」から予想して、思考する量を減らすことで、手際よく解法を思い付いている場合もあるのです。その型のことを、昔から 定石（じょうせき） と呼びます。囲碁や将棋で「この形が来たら、まずこのあたりから考える」という指針があるのと似ています。指針があるからといって、考えずに打てるわけではありません。考える場所を絞れるから、そのぶん深く考えられるのです。

このページは、大学入試の数学で使われている定石を、数学が苦手な中学生でも最初から読めるように、順番を踏んで全部書き直したものです。高校数学の言葉が出てくる場面でも、まず中学校の内容で意味を説明してから先に進みます。式が読めなくても、日本語の部分だけ追えば「何をやろうとしているのか」は必ず伝わるように書きました。

目次

第1部　どの問題にも共通する型

1. 定石とは何か──「ひらめき」の正体

数学のテストを返してもらったとき、こんなふうに思ったことはありませんか。

「解説を読めばわかる。でも、自分ではあの一行目が思いつかなかった」

この「解説を読めばわかる。でも、自分では思いつかなかった」という気持ちは、数学が苦手な人が必ず通る場所です。多くの人は、ここで「自分には数学のセンスがない」と結論を出してしまうかもしれません。けれども、その結論を出すのは、少し早いように思います。

解説の一行目は、書いた人が天から降ってきたひらめきで書いた、とはかぎりません。問題文には必ず、動ける範囲を縛っている条件が書かれています。「x は整数」「a > 0」「点Pは円周上にある」といったものです。数学では、こういう条件のことを 拘束条件（こうそくじょうけん） と呼びます。そして、その条件を見た瞬間に「この拘束条件があるなら、まずこれを試してみようか」という手順が、その人の頭の中にある場合もあるのです。

だから、その人は白紙から考え始めているのではありません。持っている型から「たぶんこの方向だろう」と当たりをつけ、考える範囲をぐっと狭めたうえで、そこから先を自分の頭で確かめています。うまくいかなかったものは答案に残りません。つまり私たちが読んでいる解説は、試行錯誤を消したあとの、きれいな結果だけなのです。ひらめきに見えていたものの正体は、多くの場合、消された側にあります。

もちろん、本当に非凡な発想でしか解けない問題も存在します。ただ、入試で出題される問題の大半は、そこまでのものではありません。「この条件が来たら、まずこれを試す」を知っているかどうかで最初の一行が書けるかどうかが決まってしまう問題が、実際にはとても多いのです。

定石は「暗記」ではありません

ここでひとつ、いちばん大事な注意をします。数学は暗記科目ではありません。そして定石は、公式や解法の暗記とは別のものです。

公式の暗記は「三角形の面積は底辺×高さ÷2」のように、知っていれば使える知識です。一方、定石は「面積を求めたいなら、まず底辺と高さにあたるものを探せ」という行動の指示です。知識ではなく、動き方のルールなのです。

この違いは、そのまま「丸暗記が通用しない理由」になります。解法をまるごと覚える勉強は、覚えた問題とほぼ同じ形で出題されたときにしか働きません。ところが入試問題は、そういう形では出てくれません。とくに難関大学ほど、見たことのある問題そのものが出る割合は下がり、見たことのある考え方が、見たことのない形に埋め込まれて出ます。

ですから、覚えるべきなのは解答の手順そのものではありません。「なぜ、その一手を選んだのか」という理由のほうです。理由は、問題の形が変わっても持っていけます。手順だけを覚えていると、形が変わった瞬間に使えなくなります。

そして定石は、覚えるだけでは意味がありません。問題を解いているときに、実際に手を動かす形で使ってはじめて身につきます。 このページを読みながら「なるほど」と思ったら、そのあと必ず、手元の問題集で1問でいいので試してください。

なぜ難関大ほど効くのか──「考える時間」を残すための道具

ここまで読んで、「難しい問題は、結局その場で考えるしかないのでは？」と思った人がいるはずです。そのとおりです。入試の合否を分ける問題は、必ず「その場で考える部分」を含んでいます。定石をいくつ持っていても、そこは自分で考えるしかありません。

だからこそ、よくある解法の流れを先に理解しておくことが効いてきます。理由は単純で、入試が制限時間つきの試験だからです。

難関大学の数学は、おおよそ90〜150分で4〜6題。1題あたり20〜30分ほどしかありません。その中で、方針を決め、計算し、答案の形にするところまで終わらせる必要があります。ここで差がつくのは計算の速さではなく、「方針が決まるまでの時間」です。

よくある流れを持っている人は、序盤の「何から手をつけるか」を数分で通過できます。そして残った時間を、その問題にしかない難しい部分——つまり本当に考えるべき場所に使えます。流れを持っていない人は、方針探しで時間を使い切り、考えるべき場所にたどり着く前に試験が終わります。同じ実力でも、点数が違ってしまう理由の多くはここにあります。

定石は、考えなくて済むようにするための道具ではありません。考えるべきところに、時間と気力を残すための道具です。問題が難しくなるほど、また試験時間が厳しくなるほど、この差は大きくなります。難関大学の数学で高得点を取っている人は、全部をその場でひらめいているのではなく、考えなくていいところで考えていないのです。

定石には「上から順」がある

もうひとつ重要なのは、定石には試す順番があるということです。たとえば図形の問題では、

1. まず、中学校で習った図形の性質（初等幾何）で解けないか考える
2. ダメなら、ベクトルを使う（ベクトルとは「向きと長さを持った矢印」のことで、高校の後半（数学C）で習います。点の位置や辺の関係を、矢印の足し算・引き算で計算できるようにした道具だと思ってください）
3. それでもダメなら、座標を置く（図の上に方眼紙をかぶせて、点に (x, y) という番地をつけることです。中学で習った座標と同じ考え方です）

という順番があります。この順番には理由があって、上にあるものほど計算量が少なく、ミスが起きにくいのです。いきなり座標を置いて計算地獄にはまる人は、才能がないのではなく、順番を知らないだけです。

この記事では、分野ごとに「まず何を試すか」の順番も一緒に書いていきます。

2. 問題を「見る」──解き始める前の3分

数学が苦手な人の多くは、問題文を読み終わった瞬間にシャーペンを動かし始めます。これが遠回りの原因です。

できる人は、読み終わってからすぐには書き始めません。数十秒から数分、問題を「見て」います。この時間に何をしているのかを、はっきり言葉にします。

(1) 条件に印をつける

問題文に出てくる条件、たとえば「x は正の整数」「三角形 ABC は鋭角三角形」「a ≠ 0」といった文には、その場で丸をつけるか下線を引いてください。

理由は単純で、入試の数学では、与えられた条件はほぼ全部使うからです。裏を返すと、使っていない条件が残っていたら、その解答はまだ完成していない可能性が高いということです。これは行き詰まったときの強力なヒントになります（第7章でもう一度出てきます）。

また、条件の見落としは、そのまま失点になります。「正の整数」を見落として負の数まで答えに入れてしまう、というミスは、実力に関係なく起こります。印をつけるだけで、この種の失点はかなり減ります。

(2) 対称性があるかを見る

対称性というのは、入れかえても同じになる性質のことです。難しく聞こえますが、中学生でもすぐわかります。

対称性が見つかると、計算量が半分以下になることがよくあります。図形なら「左右対称だから右半分だけ調べればいい」、式なら「入れかえても同じだから、まとめて扱える」となるからです。第14章でくわしく扱います。

(3) 図は大きく、正確に、そして一般的に描く

図形の問題で図を描くとき、次の3つを守ってください。

• 大きく描く：小さい図は、線が重なって見えなくなり、そこからミスが生まれます。ノートの4分の1くらいは使ってください。
• できるだけ正確に描く：正確な図は、それ自体がヒントになります。「この2点が重なって見える」「この角がだいたい直角に見える」といった発見は、正確な図からしか出てきません。
• 一般的な形で描く：これが意外と知られていません。三角形を描くとき、つい正三角形や直角三角形のようなきれいな形を描いてしまう人がいますが、これは危険です。特殊な図を描くと、その図でだけ成り立つ「たまたまの性質」を、いつでも成り立つと勘違いしてしまいます。辺の長さも角度もバラバラな、いびつな三角形を描いてください。

そして、わかったことは全部図に書き込みます。長さ、角度、直角の印、等しい辺の印。頭の中に置いておこうとすると必ず忘れます。図は「考えるための紙」です。

(4) 気づいたことは、すぐメモする

「これ、なんか合同っぽいな」「この式、二乗の和になってる」といった直感は、数秒で消えます。消えたあと、二度と戻ってこないこともあります。思いついたら、余白に一言でいいので書いてください。あとでその一言に救われることがあります。

(5) 複雑な書かれ方は、自分の言葉に書き直す

問題文が回りくどい場合、そのまま扱おうとすると混乱します。たとえば「2つの数の差が3以下である」なら、その場で |a − b| ≤ 3 と書き直してしまう。この「日本語を数式に直す作業」を、この記事では 和文数訳（わぶんすうやく） と呼びます。英語の和文英訳と同じ発想です。第4章でくわしくやります。

3. ゴールから逆算する

問題を見たら、次にやることは「何を求めればいいのか」をはっきりさせることです。当たり前に聞こえますが、行き詰まっている人の大半は、ここが曖昧なまま手を動かしています。

ゴールから必要なものをさかのぼる

数学の問題は、迷路と同じで出口から逆にたどると解きやすいことが多いです。

この「ゴールから逆算する」やり方には、大きな利点があります。やることが一本道になるのです。前から順に「とりあえず何か計算しよう」とすると、使わない値をたくさん計算して時間を失います。

類題を思い出す

逆算のときに強力なのが、「この分野で、似た問題をどう解いたか」を思い出すことです。数学の問題は、完全な新作はほとんどありません。たいていは、過去に見たことのある問題の変形です。

だから、問題を解いたあとに「この問題は、どういう形の問題で、何をしたら解けたのか」を一行でメモしておくと、次に似た問題が来たときに引き出しが開きます。これが、いわゆる「解き直し」の本当の目的です。答えを覚えるためではなく、手順のラベルを作るためにやるのです。

複数分野の合体問題は、分解する

入試には「図形とベクトルと数列が混ざった問題」のような、いくつかの分野が合体した問題が出ます。これを丸ごと相手にすると手が出ません。

やることは分解です。「ここまでは図形の話」「ここからはベクトルの計算」「最後は数列」と、区切りを入れて、それぞれの分野の定石を当てます。分解できた瞬間、それぞれの部分は見たことのある問題になります。

本当に見たことのない問題は、実験する

それでも、まったく知らない設定の問題は出ます。そのときは実験です。小さい数を入れてみる、具体的に並べてみる、図を何枚か描いてみる。これは第6章でくわしく扱います。

幾何が先、計算はあと

最後にもうひとつ、順番のルールを言っておきます。図形が絡む問題では、まず図形として考えられないかを試し、無理なら計算に持ち込む。この順番を守ってください。

たとえば「点Pから直線ℓまでの距離が最小になるのはどこか」という問題。計算でやろうとすると、距離を式で表して、二乗して、平方完成して……となります。でも図形として見れば、「Pから ℓ に下ろした垂線の足」で一瞬です。

計算は、図形的に考えられなかったときの最後の手段だと思っておいてください。計算は必ず答えにたどり着きますが、その途中でミスをする確率も高いのです。

4. 和文数訳──日本語を数式に翻訳する

数学の問題文は日本語で書かれています。でも、数学の計算は数式でしかできません。つまり、問題を解くという行為の半分は、日本語を数式に翻訳する作業なのです。

英語の勉強で「和文英訳」をやりますよね。あれと同じで、数学には和文数訳があります。そして、これが苦手な人は、公式をいくら覚えても点が伸びません。翻訳できなければ、公式を使う場所にたどり着けないからです。

翻訳の練習：基本編

この表を眺めて「そんなの当たり前じゃないか」と思った人もいるでしょう。でも、試験中に手が止まる場面の多くは、この当たり前の翻訳ができていないことが原因です。「条件を式にする」という一手間を飛ばして、いきなり計算を始めてしまうのです。

翻訳のコツ：「連続する3つの整数」を例に

ここで、翻訳にはうまい訳と下手な訳があることを見ておきます。

なぜ後者が速いのか。真ん中を基準にしたことで、左右が対称になり、−1 と +1 が打ち消し合ったからです。これが第2章で出てきた「対称性を使う」ということの、いちばん小さな例です。

つまり、翻訳の段階でどう文字をおくかによって、そのあとの計算量が何倍も変わります。「とりあえず x とおく」ではなく、「どうおけばラクになるか」を数秒考える価値があります。

難しい言葉の翻訳（高校範囲）

高校になると、翻訳すべき日本語が抽象的になります。代表的なものを挙げておきます。今すぐ理解できなくてかまいません。「こういう対応表があるんだ」と知っておくだけで、高校に入ってからの伸びが変わります。

• 「グラフが x 軸と接する」　→　その点で重解をもつ。つまり (x − α)² という因数をもつ（重解とは、2つあるはずの解がぴったり重なって1つになった状態のことです。α〈アルファ〉はその重なった解の値だと思ってください）
• 「2次方程式が実数解をもつ」　→　判別式 D ≥ 0（判別式とは、ax² + bx + c = 0 に対する D = b² − 4ac のことです。中学で習った解の公式の、√の中身そのものだと思ってください。中身が0より大きければ解が2つ、ちょうど0なら重解で1つ、負なら√が計算できないので実数の解はない、と判定できます。この記事でこのあと何度も出てくるので、ここだけ覚えておいてください）
• 「直線と線分が交わる」　→　直線の式を ax + by + c = 0 の形（右辺を0）に直してから、線分の両端の座標を左辺に代入する。その2つの値が異符号（またはどちらかが0）。2x + 3y = 6 のような形のまま代入すると判定を誤る
• 「円に接する」　→　円の中心から直線までの距離が、半径と等しい
• 「4点が同じ円周上にある」　→　向かい合う角の和が180°、または円周角が等しい、または方べきの定理
• 「すべての x で f(x) ≥ a」　→　f(x) の最小値が a 以上
• 「ある x で f(x) ≥ a」　→　f(x) の最大値が a 以上

最後の2つは特に重要です。「すべての」と「ある」は日本語では1文字しか違いませんが、数学では最小値と最大値というまったく逆のものに翻訳されます。ここを取り違えると、問題全体が別物になります。試験で「すべての」「ある」「任意の」「少なくとも1つの」という言葉を見たら、必ず丸をつけてください。

5. 未知数の数だけ式を作る

ここで、中学校で習った連立方程式の話をします。実はこれが、入試数学全体を貫く原則になっています。

連立方程式で、x と y の2つがわからないときは、式が2本必要でしたね。1本では決まりません。これは中学で習ったとおりです。

この原則は、そのまま入試で使えます。行き詰まったとき、次の2つを数えてください。

1. 未知数はいくつあるか
2. 式はいくつ作れているか

式が足りないなら、まだ使っていない条件がどこかにあります。問題文に戻って、印をつけた条件を見直す。逆に式が多すぎるなら、どこかで同じことを2回式にしている可能性があります。

未知数が減らせないか考える

未知数は少ないほどラクです。だから、立式のあとに「減らせないか」を必ず考えます。減らし方は主に2つ。

• 条件式で消す：x + y = 5 があるなら、y = 5 − x として y を消せば、未知数は1つになります。
• 置きかえでまとめる：x + y と xy だけで書けている式なら、x + y = u, xy = v とおくことで、x と y の2文字が u と v の2文字に変わります。文字の数は同じですが、扱いやすさがまったく違います（これが第14章の対称式の話です）。

6. わからないときは実験する

問題の意味そのものがわからない。何を聞かれているのかピンとこない。そんなときにやることは決まっています。実験です。

実験というのは、小さい数や簡単な場合を、実際に手で書き出してみることです。これは低レベルな行為ではありません。プロの数学者も同じことをします。むしろ、実験をせずに一般論から入ろうとするほうが、はるかに難しいことをやろうとしています。

実験の例1：規則を見つける

ここで大事なのは、実験は「答えを予想するため」にやるということです。予想が立つと、証明はぐっとラクになります。ゴールがわからないまま歩くのと、ゴールの場所を知って歩くのとでは、まったく違うからです。

実験の例2：問題の意味をつかむ

確率の問題で「何を数えればいいのかわからない」というときは、樹形図を描く。これも実験です。全部は描けなくても、最初の2〜3段だけ描けば、構造が見えてきます。

整数の問題で「どんな数が条件を満たすのかわからない」というときは、1, 2, 3, 4, 5 と順に代入してみる。これも実験です。たいてい、3つか4つ試したところで規則が見えます。

実験の作法

• 小さい数から：n = 1, 2, 3 と順に。いきなり n = 10 でやると、計算に埋もれて規則が見えません。
• 表にする：バラバラに書くと比べられません。縦に並べて表にすると、差や比がひと目でわかります。
• 極端な場合も見る：n = 0 や n = 1 のような「ギリギリの場合」を見ると、問題の性質がよく見えます。ここは場合分けが必要になる場所でもあります。
• 実験結果は消さない：答案の余白に残しておけば、あとで見返せます。

7. 手が止まったときの引き出し8つ

ここがこの記事のいちばん実用的な部分かもしれません。試験中、手が止まったときにやることを、順番に並べます。上から順に見ていってください。全部を機械的に試すための一覧ではありません。いまの問題に効きそうなものに当たりをつけて、考える範囲を狭めるための一覧です。

引き出し1：求めるものを、もう一度読む

まずこれです。冗談ではなく、行き詰まりの何割かは「何を求めるのか忘れている」ことが原因です。途中計算に集中していると、ゴールを見失います。問題文の最後の一文をもう一度読んでください。それだけで「あ、これはもう出てる」となることがあります。

引き出し2：使っていない条件を探す

第2章で条件に印をつけましたね。その印を見直して、まだ使っていない条件がないか確認します。入試問題では、与えられた条件はほぼ確実に全部使います。使っていない条件があるなら、それが次の一手です。

「なぜこの条件がわざわざ書いてあるのか？」と自問してください。出題者は無駄なことを書きません。

引き出し3：前の小問を使う

大問が (1) (2) (3) と分かれているとき、(1) は (2) のヒントです。これはほぼ例外がありません。(2) で詰まったら、(1) の答えをじっと見てください。

「(1) でこれを求めさせたということは、(2) でこれを使ってほしいということだ」と考える。これは推理ではなく、出題者との会話です。

もし (1) が解けていなくても、(1) の結果を「与えられたもの」として (2) を解いてかまいません。答案には「(1) の結果より」と書けばよく、部分点がもらえます。

引き出し4：難しくしている原因を取り除く

「何がこの問題を難しくしているのか」を1つだけ特定します。文字が多い、根号がある、絶対値がある、場合分けが多い……。原因がわかったら、それを消しにいきます。

• 文字が多い　→　置きかえ、対称性の利用、条件式で消す
• 根号がある　→　まるごと置きかえる、または二乗する
• 絶対値がある　→　中身の正負で場合分け、またはグラフで考える
• 条件が複雑　→　まず必要条件だけで攻めて、あとで確かめる

引き出し5：必要条件で攻める

これは高校数学の重要テクニックなので、少していねいに説明します。

「条件を全部同時に満たすもの」を一気に探すのは大変です。そこで、まず条件の一部だけを使って候補を絞り、あとでその候補が本当に全部の条件を満たすかを確かめるという手を使います。

「必要条件で絞る → 十分性を確認する」。この2段階は、答案の型として覚えてしまってください。

引き出し6：特殊な場合を考えて、そこから広げる

一般の場合が難しければ、まず特別な場合を解いてみます。三角形の問題なら、まず正三角形で考える。n が絡む問題なら、n = 2 で考える。

特別な場合で解けると、その解き方が一般の場合でも通用することがよくあります。少なくとも、答えの形の予想はつきます。

引き出し7：背理法を使う

「複雑な条件 ⇒ 単純な結論」を示すとき、背理法が有効です。

背理法とは、「結論が成り立たないと仮定すると、おかしなことになる。だから結論は成り立つ」という論法です。中学生でも追える例で言うと、こうです。席が30個しかない教室に、31人が入りました。 ここで「どの席にも、座っているのは多くて1人だ」と仮定してみます。すると座れるのは多くても30人。ところが実際は31人いるのですから、話が合いません。おかしくなったのは仮定のせいなので、「2人以上が座っている席が必ずある」と言えるのです。これが背理法です。（有名な「√2 が無理数であることの証明」も背理法で行いますが、あれは高校で習うものなので、いまは名前だけ知っておけば十分です。）

なぜ有効かというと、使える条件が1つ増えるからです。もともとの条件に加えて「結論の否定」という条件が手に入るので、材料が豊富になります。行き詰まったとき、材料が増えるのはありがたいことです。

引き出し8：とにかく実験する

全部ダメだったら、第6章に戻って実験です。手を動かしていれば、必ず何か見えます。何も書かずに10分考えるより、5個実験したほうが早く進みます。

8. 答えが出たら必ずやる4つの確認

答えが出た瞬間、うれしくなって次の問題に行きたくなります。そこをこらえて、30秒だけ確認に使ってください。 ここで拾える点数は、新しい問題を1問解くより多いことがあります。

確認1：具体的な値を代入する

いちばん強力な確認です。求めた答えを、元の式や元の条件に入れてみる。合わなければ、どこかで間違えています。

連立方程式なら、答えを両方の式に代入する。関数を求めたなら、通るはずの点を入れてみる。数列の一般項を求めたなら、n = 1 と n = 2 を入れて、最初に書き出した値と一致するか見る。

確認2：対称性が崩れていないか

問題の条件が対称だったのに、答えが対称でなかったら、ほぼ確実にミスです。たとえば「a と b を入れかえても同じ問題」なのに、答えが a について複雑で b について単純だったら、計算のどこかが狂っています。

これは、計算をやり直さなくても見た目だけで異常が検知できるので、非常にコスパの良い確認です。

確認3：常識・直感と合っているか

• 確率が1を超えていないか、負になっていないか
• 長さや面積が負になっていないか
• 人数や個数が整数になっているか
• 図から見て、明らかにおかしい位置に点が来ていないか
• 「だいたいこのくらい」という感覚と、桁が違っていないか

数学が得意な人ほど、この「常識チェック」を大事にしています。計算は間違えるものだという前提に立っているからです。

確認4：問題文をもう一度読む

これを怠る人が本当に多いです。 最後にもう一度、問題文を読んでください。見るポイントは3つ。

• 全部に答えたか：「a と b を求めよ」なのに a しか答えていない、というミスは驚くほど多いです。
• 条件を落としていないか：「正の整数」「実数」「鋭角三角形」といった条件に照らして、答えが範囲内か。
• 場合分けを忘れていないか：答えが1つだけになっているが、本当は2つあるのでは？

9. 答案の書き方──点をもらうための技術

記述式の試験では、答えが合っているかどうかだけで点が決まるわけではありません。書き方で点が変わります。ここは中学の定期テストでも使えるので、今日から実行してください。

(1) 書いたものを消さない

計算をやり直したくなったとき、書いたものを消しゴムで消していませんか。やめてください。

理由は2つ。ひとつは、消したあとで「やっぱり最初の方針が正しかった」と気づくことがあるからです。消してしまうと復元できません。もうひとつは、途中まで正しい方針が書いてあれば、部分点がもらえる可能性があるからです。消したら0点、残せば数点。この差は大きいです。

いらなくなった部分は、四角で囲んで大きくバツをつけ、「これは答案ではありません」とわかるようにしておけば十分です。本当にスペースが足りなくなったときだけ、そこを消して新しい解答を書けばいい。答案は上から順に書かなければならない、というルールはありません。 順番がわかるように矢印や番号を振っておけば、採点者は読んでくれます。

(2) 日本語の説明を省かない

式だけを並べた答案は、読み手に何をしているのか伝わりません。「〜より」「〜とおくと」「よって」「ここで」といった言葉を入れてください。

最大の理由は、計算ミスをしたときに救われるからです。「点 A から直線 BC に垂線を下ろし、その足を H とする。△ABH に三平方の定理を用いると」と書いてあれば、そのあとの計算が間違っていても、方針が正しいことは伝わります。方針点がもらえます。

逆に、式しか書かず、最後の答えが間違っていたら、その答案は0点です。日本語は保険です。

(3) 図や表に番号をつける

図を描いたら「図1」、増減表を書いたら「表1」と名前をつけてください。そうすると、答案の中で「図1より」「表1より」と書けます。

これには3つの利点があります。採点者にわかりやすいこと、自分が書く量が減って時間が短縮できること、そして「右図より」のような曖昧な表現を避けられることです。「右図」と書いても、答案の途中で図が別の場所に移動したら意味が通じなくなります。

(4) 場合分けは見出しをつける

場合分けをするときは、「(i) a > 0 のとき」「(ii) a = 0 のとき」「(iii) a < 0 のとき」のように、見出しをはっきり書きます。だらだら続けて書くと、自分でもどこまでが何の話かわからなくなり、場合分けの抜けにつながります。

(5) 最後に結論をもう一度書く

計算の一番下に、答えだけをもう一度書いてください。「よって、求める面積は 12」のように。採点者が答えを探さなくて済みますし、自分でも「何を答えたか」を確認できます。

確認問題（第1部）

第1部はここまでです──「読むだけでは身につかない」と何度も書いてきたので、ここで3問だけ手を動かしてもらいます。

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第2部　ミスの正体をつかむ

ここからは、数学の失点の中で最も多く、そして最も直しやすい部分を扱います。計算力の問題ではありません。ルールを知らないだけで落としている点を、拾いにいきます。

10. 「条件を落とす」という最大のミス

高校数学でいちばん多い失点は、計算ミスではありません。条件を落とすことです。もっと具体的に言うと、文字が動ける範囲を忘れることです。

なぜ範囲を忘れると間違うのか

この失敗は、実力のある人でも普通に起こします。だから対策は、実力を上げることではなくルールを決めておくことです。

忘れやすい条件の一覧

次にあげるものは、書いていなくても勝手についてくる条件です。問題文に書かれていないので、意識していないと必ず落とします。

「自分でつけた条件」を忘れる

特に注意してほしいのが、最後の行です。整数問題などで「対称だから x ≤ y ≤ z としてよい」と仮定して解くことがあります（第20章で扱います）。これは正しい作戦ですが、最後にその仮定を外して、入れかえたものも全部答えに含める必要があります。これを忘れると、答えが3分の1になったりします。

「今見ているものは本当に実数か」

高校数学の後半では、複素数が出てきます。ここでも条件落としが起きます。

• 判別式で解の個数を判定できるのは、係数が実数のときだけです。
• 「虚数解をもつなら、その共役も解になる」というのも、係数が実数のときだけです。

今はピンとこなくてかまいません。「便利な性質には、必ず前提条件がついている」ということだけ覚えておいてください。

11. 同値変形入門──「⇔」ってなんですか

高校数学の教科書やチャート式に、⇔ という記号が出てきます。これが読めるかどうかで、数学の理解の深さがはっきり変わります。中学生にもわかるように、ゼロから説明します。

「⇒」と「⇔」の違い

• A ⇒ B：「A ならば B」。A が成り立てば、B も成り立つ。逆は保証しない。
• A ⇔ B：「A と B は同じこと」。A から B が言えて、B から A も言える。行きも帰りもOK。

方程式を解くというのは、「⇔ でつながった変形を繰り返して、答えの形にたどり着くこと」です。ここで、うっかり「片道だけ」の変形をしてしまうと、答えが増えたり減ったりします。

やってはいけない変形1：両辺を二乗する（答えが増える）

√ を含む方程式を解くときに二乗するのは定番のやり方ですが、二乗した瞬間に「本物ではない答え」が混ざり込みます。だから最後に、出てきた答えを元の式に代入して、本当に成り立つかを確かめる必要があります。これを解の吟味といいます。

やってはいけない変形2：文字で割る（答えが減る）

やってはいけない変形3：不等式に負の数をかける

これは中学で習いますが、高校でもミスの元になります。

2 < 3 の両辺に −1 をかけると −2 > −3。不等号の向きが変わります。

怖いのは、文字をかけたり文字で割ったりする場合です。a の符号がわからないまま a で割ると、不等号の向きが正しいかどうか決まりません。だから、文字で割る前には必ず符号を確認するか、場合分けをします。

不等号の等号は、理由がなければ付ける

小さなコツですが効きます。a < b が成り立つなら、a ≤ b も成り立ちます（「より小さい」なら「以下」でもある）。逆に、本当は等号が成り立つ場合があるのに a < b と書いてしまうと、それは誤りになります。

つまり、迷ったら等号を付けておくほうが安全です。「≤ と書いておけば、少なくとも誤りにはならない」という性質を覚えておいてください。

絶対値の同値変形

よく使うものを1つだけ挙げます。

|a| < b ⇔ −b < a < b

これは絶対値を「0からの距離」と考えれば当たり前です。0からの距離が b 未満ということは、数直線上で −b と b の間にいるということですから。絶対値は、場合分けする前に、まず図（数直線）で考えるのがコツです。

連立方程式の同値変形

中学で習った加減法・代入法にも、実はルールがあります。

• 代入法：y = f(x) を別の式に代入するとき、代入元の式 y = f(x) を消してはいけません。残しておかないと、y の情報が失われます。
• 加減法：2つの式を足したり引いたりするときは、元に戻せる形にしておく必要があります。片方の式はそのまま残しておくのが安全です。

中学ではあまり意識せずにやっていたと思いますが、高校で複雑な連立を扱うようになると、この「残しておく」が効いてきます。

「かつ」と「または」の切りかえ

同値変形でもうひとつ、知っておくと強い型があります。「かつ」と「または」が入れかわる場面です。記号を1つだけ用意します。min{a, b} は「a と b のうち小さいほう」、max{a, b} は「a と b のうち大きいほう」という意味です。たとえば min{3, 5} = 3、max{3, 5} = 5。それだけです。

この記号を使うと、次の4つが成り立ちます。覚える必要はありません。声に出して読めば、当たり前だと気づけます。

並べて見比べてください。min のほうは「≥ ならかつ、≤ ならまたは」。max のほうはちょうどその逆です。min と max を取りちがえると、「かつ」と「または」が丸ごと入れかわってしまいます。

これが効く場面──「すべての」と「ある」

ここからは高校範囲の予告編です。いま意味がわからなくてかまいません。こういう道具があると知っておくだけで十分で、公式として覚える必要はまったくありません。

第4章の和文数訳のところで、「すべての x で成り立つ」「ある x で成り立つ」という日本語を扱いました。実はあれが、いま見た min と max の話そのものです。

• 「すべての x で f(x) ≥ a」　→　どの x でも成り立ってほしいのだから、いちばん小さい値が a 以上であればよい。これはかつの仲間です。
• 「ある x で f(x) ≥ a」　→　どれか1つで成り立てばよいのだから、いちばん大きい値が a 以上であればよい。これはまたはの仲間です。

2つの数 a, b でやっていたことを、たくさんの値に広げただけです。つまり、不等号が ≥ のときは「すべて」が最小値、「ある」が最大値。この対応が頭にあるだけで、和文数訳の精度が上がります。

おまけ：分数の符号は、かけ算に直せる

同値変形の小技をもう1つだけ。b ≠ 0 のとき、a/b と ab は必ず符号が同じになります（どちらも0になる場合も含めて、正・負・0が一致します）。理由は簡単で、a/b = ab ÷ b² と書きかえられて、b² > 0 だからです。正の数で割っても符号は変わりません。だから

a/b > 0 ⇔ ab > 0

分母を「払う」のではなく、分母をかけて分数を消すと思ってください。たとえば a = −2、b = −3 なら a/b = 2/3 > 0、ab = 6 > 0。たしかに一致しています。

12. 場合分けの作法

場合分けは、多くの人が苦手にしています。でも、ルールは2つしかありません。

2つめは意外に思うかもしれません。学校では「重ならないように分けなさい」と習ったかもしれません。でも実際には、重なりを避けようとして漏れが出るほうが、はるかに危険です。

たとえば x ≥ 0 と x < 0 に分けるところを、x ≥ 0 と x ≤ 0 に分けても、x = 0 が両方に入るだけで、答えは変わりません（式変形に支障がない場合）。それより、x > 0 と x < 0 に分けて x = 0 を落とすほうがずっと怖いのです。

場合分けが必要になる典型パターン

• 絶対値：中身が正のときと負のとき。
• 文字で割るとき：0のときと0でないとき。
• 係数が0になりうるとき：ax² + bx + c は、a = 0 なら2次式ではありません。これは非常によく狙われます。「2次方程式」と書いてあれば a ≠ 0 が保証されますが、ただ「方程式」と書いてあるだけなら、a = 0 の場合を考える必要があります。
• 等比数列：公比が1のときと1でないとき。和の公式が使えるのは公比が1でないときだけです。
• 数列の一般項：n = 1 のときと n ≥ 2 のとき。階差数列を使ったときは特に注意。
• 図が変わるとき：辺の長さの大小によって、垂線の足が線分の内側に来るか外側に来るかが変わる、といった場合です。自分が描いた図が、本当にすべての場合を表しているかを疑ってください。
• 角が鋭角か鈍角か：これによって点の位置が変わることがあります。

図の場合分けを見落とさないために

図形問題で最も見落としやすいのが、最後の項目です。自分が描いた1枚の図で考えていると、「別の配置」の存在に気づきません。

対策は、極端な図をもう1枚描いてみることです。「この辺をうんと長くしたらどうなる？」「この角をうんと小さくしたらどうなる？」と動かしてみると、配置が変わる瞬間が見つかります。その瞬間が、場合分けの境目です。

13. 最大・最小の本当の意味と「等号成立」

この章は短いですが、非常に重要です。大人でも間違えている人がいる話です。

最大値の定義

(2) が抜けている人が本当に多いです。「M 以下だから最大値は M」は間違いです。M になる瞬間がなければ、M は最大値ではありません。

だから「等号成立」を確かめる

不等式を使って最大値や最小値を求めたときは、必ず「等号が成立するのはどんなときか」を書いてください。それが (2) の確認になります。

高校で習う相加平均・相乗平均の関係を例にします。まず言葉から説明します。相加平均とは、みなさんがふだん「平均」と呼んでいるもの、つまり (a + b) ÷ 2 のことです。相乗平均とは、足すかわりにかけてから√をとったもの、つまり √(ab) のことです。

たとえば a = 2、b = 8 なら、相加平均は (2 + 8) ÷ 2 = 5、相乗平均は √(2 × 8) = √16 = 4。相乗平均のほうが小さいですね。これがいつでも成り立つ、というのがこの関係の中身です。

a > 0、b > 0 のとき、a + b ≥ 2√(ab)（両辺を2で割ると (a + b) ÷ 2 ≥ √(ab) となり、たしかに「相加平均 ≥ 相乗平均」の形になっています）。等号が成立するのは a = b のとき。

「等号成立するのは x = 1 のとき」という一行がなければ、この答案は減点されます。そして、その一行があるかどうかは、あなたが定義を理解しているかどうかを、採点者にそのまま伝えます。

逆に、等号を確かめなくていい場合

関連して、こんな話もあります。「a ≤ b を示せ」と言われたとき、等号が成立する場合を探す必要は必ずしもありません。a < b を示せば、a ≤ b は自動的に成り立つからです。

そもそも、その不等式では等号が成立しないかもしれません。「等号はいつ成り立つんだろう」と悩む時間が無駄になることもあります。等号成立を調べるのは、最大値・最小値を主張したいときと、問題文で求められたときだと整理しておいてください。

確認問題（第2部）

この4つの章は、読んだだけでは身につきません。次の3問は計算力を聞いていません。「どの定石を使う場面かに気づけるか」だけを聞いています。5分だけ手を動かしてから、解答を見てください。

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第3部　式の顔つきで方針を決める

ここからは、式を見た瞬間に方針を決めるための知識を扱います。「この形が来たら、これをやる」という対応表です。数学ができる人が一瞬で方針を決められるのは、この対応表を持っているからです。

14. 対称性──ラクをするための最大の武器

第2章で少し触れた対称性を、ここできちんと扱います。対称性は、入試数学で最も見返りの大きい着眼点です。

対称式とは

文字を入れかえても変わらない式を、対称式といいます。

• x + y　→　入れかえると y + x。同じ。対称式。
• x² + y²　→　入れかえても同じ。対称式。
• x − y　→　入れかえると y − x。符号が反転。これは交代式といいます。

対称式の大定理

これは、覚える価値のある強力な事実です。実際にやってみましょう。

何がうれしいのか。x と y を個別に求めなくても答えが出せるということです。

和と積から2数を求める（解と係数の関係）

逆に、x + y と xy がわかっているとき、x と y そのものを求めることもできます。

これは中学生でも確かめられます。(t − x)(t − y) = t² − (x + y)t + xy を展開してみてください。そのとおりになっていますね。

そして高校では、ここに重要な条件がつきます。x と y が実数であるためには、この2次方程式が実数解をもつ必要があります。 つまり判別式が0以上、u² − 4v ≥ 0。この条件を忘れると、第10章で扱った「条件落とし」になります。

対称性を使う4つの場面

(1) 計算量を半分にする
グラフが y 軸について対称なら、x ≥ 0 の部分だけ調べれば十分です。残りは折り返せばいい。図形も同じで、対称な図形は半分だけ考えます。

(2) 大小を仮定してよい
条件が x, y, z について対称なら、x ≤ y ≤ z と仮定して解いてよいのです。なぜなら、どれをxと呼ぶかは自由だから。ただし最後に仮定を外して、入れかえたものも答えに含めることを忘れないでください。整数問題で大活躍します（第20章）。

(3) 連立式をまとめて扱う
対称な形の連立方程式（たとえば x² = y + 2, y² = x + 2）が出たら、全部足す・全部引く・全部かけるを試してください。引き算をすると x² − y² = y − x、つまり (x − y)(x + y) + (x − y) = 0、(x − y)(x + y + 1) = 0 と因数分解でき、一気に話が進みます。

(4) 答えの検算に使う
第8章でも書きましたが、条件が対称なら答えも対称になるはずです。崩れていたらミスです。

交代式の性質

入れかえると符号が変わる式（交代式）にも、便利な性質があります。交代式は必ず (x − y) で割り切れます。

理由は簡単で、x = y を代入すると、交代式は「自分自身と符号違いの自分自身が等しい」ことになり、0にならざるを得ないからです。

ここでもう1ステップだけ入れます。x = y を入れると0になる式は、必ず (x − y) で割り切れます。 なぜかというと、割り算をして「もとの式 ＝ (x − y) × 商 ＋ 余り」と書いたとき、この式に x = y を入れると (x − y) × 商 が0になり、残った余りも0だとわかるからです。余りが0ということは、割り切れたということですね。（この考え方は、高校で因数定理という名前で習います。）だから交代式は (x − y) を因数にもつのです。

これを使うと、たとえば xⁿ − yⁿ が (x − y) で割り切れることがすぐわかります。実際、

xⁿ − yⁿ = (x − y)(xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻²y + … + yⁿ⁻¹)

という公式になります。この形は整数問題でも数列でもよく出てきます。

15. 式の形から解法を引き出す

ここは辞書のように使ってください。「この形を見たら、これを試す」の一覧です。今すぐ全部理解する必要はありません。高校で該当する式に出会ったときに戻ってきてください。

次数を見る

式を見たら、まず何次式かを確認します。そして最高次の係数を見ます。係数の符号でグラフの向きが変わり、係数が0になりうるなら次数そのものが変わるからです（第12章の場合分け）。

同次式（すべての項の次数が同じ）

x² + 3xy + 2y² のように、どの項も次数が2という式を同次式といいます。

同次式が出たら、片方の文字で割ります。上の式を y² で割ると、(x/y)² + 3(x/y) + 2 となり、t = x/y とおけば t² + 3t + 2 という1文字の式になります。2文字が1文字になるのですから、大幅にラクになります。

複二次式（x⁴ と x² と定数だけ）

x⁴ − 5x² + 4 のような式。X = x² とおくのが定石です。X² − 5X + 4 = (X − 1)(X − 4) となり、戻せば (x² − 1)(x² − 4) = (x + 1)(x − 1)(x + 2)(x − 2)。

置きかえたときは、X の範囲を忘れないこと。 X = x² なら X ≥ 0 です。第10章の「文字は死んでも条件は死なない」がここでも効きます。

相反方程式（係数が左右対称）

2x⁴ + 3x³ − x² + 3x + 2 = 0 のように、係数が真ん中を軸に左右対称な方程式。

定石は、x² で割ってから X = x + 1/x とおくことです。すると次数が半分になります。奇数次の場合は x = −1 が必ず解になるので、(x + 1) をくくり出してから同じことをします。

分数式（分子の次数 ≥ 分母の次数）

割り算をして次数を下げます。たとえば (2n + 1)/n = 2 + 1/n。この形にすると、n が大きくなったときの様子がすぐ見えますし、整数問題では「1/n が整数になるのは n が1の約数のとき」という強い情報が得られます。

根号（√）が出てきたら

• √ を孤立させて二乗する：x = 1 + √5 なら、x − 1 = √5 と√だけを片側に寄せてから二乗して x² − 2x + 1 = 5。これで√の消えた2次方程式になります。ただし二乗は片道変形なので、最後に確認が必要です。
• √ ごと置きかえる：t = √x とおく。このとき t ≥ 0 という条件が付きます。
• 中身を置きかえる：中身が複雑なときはこちら。

絶対値が出てきたら

選択肢は5つあります。上から順に検討してください。

1. 図形的な意味で考える：数直線上の距離。これがいちばんラク。
2. グラフを描く：y = |x| のようなV字形を思い浮かべる。
3. 中身の正負で場合分け：確実だが、絶対値が2つあると4通りになって大変。
4. まるごと置きかえる：t = |x|（t ≥ 0）
5. 二乗する：|a|² = a² なので絶対値が外れます。ただし次数が上がるのが欠点で、項が多いときは向きません。

特別な式の見方（式を「図形の言葉」に翻訳する）

これは知っていると差がつく視点です。式を、図形的な意味に読みかえると、一気に見通しが良くなることがあります。

この「式を図形に翻訳する」感覚は、身につけると強力です。二乗の和を見たら距離を疑う。これだけでも覚えて帰ってください。

覚えておきたい因数分解

忘れやすいものを2つだけ挙げます。

a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)

xⁿ − yⁿ = (x − y)(xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻²y + … + yⁿ⁻¹)

2つめは、さきほど交代式のところで説明したものです。丸暗記しなくても、「x = y を入れると0になるから (x − y) でくくれる」と理解しておけば、その場で作れます。

指数・対数が出てきたら（高校範囲の予告編）

ここは高校2年で習う分野なので、いま意味がわからなくてまったくかまいません。「こういう道具があるらしい」と知っておくだけで十分です。公式を覚えて帰る必要はありません。持ち帰ってほしいのは、次の1行だけです。

言葉に身構えないでください。log₂8 = 3 というのは、2を3回かけると8になる、というだけの意味です。実際 2 × 2 × 2 = 8 ですね。「何回かけたか」という数に名前をつけただけで、それ以上のものではありません。（この 2 を底、8 を真数と呼ぶことは第10章で触れました。）

では「底をそろえる」とは何か。たとえば 2^x+1 = 8 を解くとき、右辺の8を 2³ と書きかえます。これで両辺とも「2を何回かかけた形」になりましたから、あとはかけた回数どうしを比べるだけです。x + 1 = 3、つまり x = 2。底がバラバラのままでは何ひとつ比べられないのに、そろえた瞬間にただの1次方程式に化けました。指数や対数で手が止まったら、まず底をそろえられないかを疑う。これが最上位の定石です。（底の違う対数どうしをそろえるための道具も、高校できちんと用意されています。）

そのうえで、対数には強力な性質が2つあります。どちらも中学生の計算で確かめられますから、暗記する前に自分で確かめてみてください。

(1) 指数を前に下ろせる
log_ax^k = k log_ax（x > 0）。右肩に乗っている数を、前に引っぱり出せるという意味です。試してみましょう。log₂8 = log₂2³ = 3 log₂2 = 3（2を1回かけると2なので log₂2 = 1）。最初に見た log₂8 = 3 と、ちゃんと一致しました。つまり対数は、指数を消すための道具なのです。

(2) かけ算を足し算に変えられる
log₂(4 × 8) = log₂4 + log₂8 = 2 + 3 = 5。確かめると 4 × 8 = 32 で、2⁵ = 32。合っています。「2を2回かけたもの」と「2を3回かけたもの」をかけたのだから合計5回、というだけの当たり前の話です。

この(2)が効いてくるのは、根号や累乗が混じったかけ算を相手にするときです。そのままでは手のつけようがない積でも、log をとった瞬間にかけ算が足し算に変わり、さらに(1)で累乗が前に下りてきて、見通しが一気によくなります。「2を100回かけた数は何けたの数か」というような問題が扱えるようになるのは、底を10にとった対数で(1)を使い、右肩の100を前に下ろせるからです。

定義そのものも書いておきます。log_ax は「a を何回かけると x になるか」でしたから、a をその回数だけかければ x に戻ります。式で書くと a^log_ax = x。いかめしい見た目ですが、言っているのは「戻せば戻る」ということだけです。同じ理由で、a を1回もかけていない状態が1なので log_a1 = 0 となります。

もう1つ。指数と対数は、行きと帰りの関係です。2^x = y と x = log₂y は、同じことを別の向きから書いただけの式です（高校ではこれを逆関数といいます）。だからグラフも、y = 2^x と y = log₂x は直線 y = x を鏡にした鏡像になります。指数の式で行きづまったら対数の目で見る、対数で行きづまったら指数に戻す。同じものが2つの顔を持っていると知っておいてください。

三角関数が出てきたら（高校範囲の予告編）

最後に、高校で多くの人がつまずく三角関数の予告編を置いておきます。いま意味がわからなくてかまいません。公式を覚える必要もありません。「こういう道具があるらしい」と知っておくだけで十分です。

まず cosθ と sinθ の正体を。原点を中心とする半径1の円（単位円）の上に点をとります。x 軸の右向きから反時計回りに θ だけ回った位置にある点の、x 座標が cosθ、y 座標が sinθです。それだけです。この点は原点から距離1にあるので、三平方の定理から x² + y² = 1。つまり──

この土台は、割るだけで別の顔になります。tanθ は sinθ/cosθ のことなので、両辺を cos²θ で割れば 1 + tan²θ = 1/cos²θ（cosθ ≠ 0 のとき）。sin²θ で割れば cos²θ/sin²θ + 1 = 1/sin²θ（sinθ ≠ 0 のとき）で、こちらは tanθ が使える（cosθ ≠ 0 の）ところでは 1/tan²θ + 1 = 1/sin²θ と書けます。新しい公式を覚えたのではなく、1本の式を割っただけです。

教科書に公式がずらりと並ぶのを見ると暗記地獄に思えますが、あれはこの2つをやるための道具が並んでいるだけです。

種類をそろえる例。2cos²θ + sinθ は、cos²θ = 1 − sin²θ を使えば −2sin²θ + sinθ + 2 になります。t = sinθ とおけば、ただの2次関数です。このとき −1 ≤ t ≤ 1 が付いてきます（第10章）。単位円の y 座標なのですから、1を超えられません。

引数をそろえるための道具が加法定理です。sin と cos については、次の4本がすべてです。覚えなくてよいので、「残りはここから作れる」という一点だけ見てください。

α = β = θ と置くだけで sin2θ = 2sinθcosθ、cos2θ = cos²θ − sin²θ が出ます。これが「2θ を θ に寄せる」道具です。

もうひとつ。少し前に「二乗の和を見たら距離を疑う」と書きました。その距離が1に固定されているなら、点は単位円の上にいます。だから──

覚えて帰ってほしいのは「種類をそろえる」「引数をそろえる」の2つだけです。公式は、必要になったときに開ければいい引き出しにすぎません。

16. 文字定数は分離する

最後に、第3部でいちばん実用的な定石を紹介します。

「解の個数」を聞かれたら

なぜこちらが良いのか。絵で見えるので、答えの検算が同時にできるからです。判別式は計算ミスをしても気づけませんが、グラフはおかしければ見た目でわかります。また、この方法は2次式以外（3次式や指数・対数など、判別式が使えない式）でもそのまま通用します。汎用性が段違いなのです。

同じ発想の応用

この「一方をグラフ、一方を動く線と見る」という発想は、高校数学のあちこちに顔を出します。

• 領域の問題：「点 (x, y) が領域 D を動くとき、x + y の最大値」→ 直線 x + y = k を平行移動して、領域と共有点をもつ k の範囲を調べる（線形計画法）。
• 接線の本数：「点 A から曲線に引ける接線の本数」→ 接点を文字でおいて、その文字の方程式の解の個数に読みかえる。
• 不等式の証明：「f(x) > g(x) を示せ」→ f(x) − g(x) > 0 の形にして、1つの関数のグラフが x 軸より上にあることを示す。

共通しているのは、「2つのものの関係」を「1つのものと基準線の関係」に言いかえていることです。この言いかえができると、視覚的に処理できるようになります。

確認問題（第3部）

第3部はここまでです。ここでいったん手を止めて、3問だけ解いてみてください。聞いているのは計算の速さではなく、「どの定石を使う場面か」に気づけるかどうかです。まず5分、自分で考えてから答えを見てください。

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第4部　分野別の定石

ここからは分野ごとの定石です。高校の内容が中心になりますが、できるだけ中学の知識から積み上げて説明します。今の自分に必要な章だけ読んでください。

17. 図形問題──使う道具には順番がある

図形問題には、5つの道具があります。そして使う順番が決まっています。

「座標を置けば必ず解ける」と思っている人は多いのですが、それは「必ず時間がかかり、必ずミスの危険がある」ことと同じ意味です。座標は最後の手段です。

初等幾何の武器（中学の復習でもあります）

この章の道具のうち、中学生がいま使えるのはここだけです。そして入試でも、これで足りる問題がいちばん多い。以下の予告編より先に、まずこの節を自分のものにしてください。

• 相似：これが最強です。長さの比を次々に求められます。図形問題で困ったら、まず相似な三角形を探してください。
• 三平方の定理：直角三角形を作れば使えます。逆に「三平方を使いたいから垂線を引く」という発想も大事です。
• 円周角の定理：同じ弧に対する円周角は等しい。角度を移動させる道具です。
• 直角と直径：半円の弧に対する円周角は90°。ここで重要なのは逆向きの使い方です。 「直角を見たら直径を思い出す」。ある線分を90°で見込みながら動く点は、その線分を直径とする円をえがきます。これは軌跡の問題で一瞬で答えが出る定石です。
• 方べきの定理：定理そのものは「同一円周上にある ⇒ 積が等しい」で、判定に使うのはその逆（積が等しい ⇒ 同一円周上にある）です。どちらの向きも成り立ちます。
• 角の二等分線の性質：三角形の角の二等分線は、対辺を隣の2辺の比に分けます。
• メネラウスの定理・チェバの定理：直線が三角形を切るときの長さの比を、機械的に出せます。ベクトルで計算するより速いことがよくあります。
• 中線定理：三角形の中線に関する長さの関係式。

重要なのは、ベクトルや座標で解いている途中でも、初等幾何が使える瞬間が来るということです。「長さの比が知りたい」となったとき、メネラウスで一発で出ることがあります。初等幾何の道具は、常に頭の隅に置いておいてください。

三角形の基本事項

• 三角形の成立条件：3辺が a, b, c のとき、|a − b| < c < a + b。言いかえると「どの2辺の和も、残りの1辺より大きい」。3辺を文字でおいたら、この条件が自動的に付いてきます（第10章）。
• 角と対辺は対応する：大きい角の向かいには長い辺がある。∠A < ∠B ⇔ a < b。
• 鈍角三角形の判定：最大辺を a とすると、a² > b² + c²。三平方の定理の「はみ出した版」だと思えば覚えられます。
• 当たり前だが強い事実：三角形には、60°以下の角が少なくとも1つあり、60°以上の角も少なくとも1つある。鈍角は多くても1つしかない。この「当たり前」が証明の決め手になることがあります。
• 角の和が180°：A + B + C = 180° を使うと、3つあった角の文字が2つに減ります。文字を減らす手段として意識してください。

五心の定義（言葉で覚える）

三角形の中心にはいくつか種類があります。定義を「何の交点か」で覚えるのがコツです。

• 外心＝各辺の垂直二等分線の交点。3頂点から等距離にある点。外接円の中心。
• 内心＝各角の二等分線の交点。3辺から等距離にある点。内接円の中心。
• 重心＝各中線の交点。中線を2:1に分けます。
• 垂心＝各頂点から対辺に下ろした垂線の交点。
• 傍心（ぼうしん）＝1つの内角の二等分線と、ほかの2つの外角の二等分線の交点。1辺と、ほかの2辺を延長した直線に接する円（傍接円）の中心で、三角形の外側に3つあります。ここまでの5つをまとめて「五心」と呼びます。

問題文に「外心」と出てきたら、頭の中で自動的に「垂直二等分線の交点」「3頂点から等距離」に翻訳する。これが第4章の和文数訳です。

円がからむ問題の定石

• 円と直線の位置関係　→　「中心から直線までの距離」と「半径」を比べる。接するなら等しい。
• 円と円の位置関係　→　「中心と中心の距離」と「2つの半径の和・差」を比べる。
• 円に接する条件　→　①中心と直線の距離＝半径　②接点における法線（接線に垂直な線）は円の中心を通る　③使う向きは「最大最小 ⇒ 接する」。定点 O から曲線上の点までの距離が最小（または最大）になる点では、O を中心とする円がその曲線に接します。逆は成り立ちません（接点だからといって最小とはかぎらず、わかるのは「距離の変化がそこで止まる」ことだけです）
• 4点が同一円周上　→　①向かい合う角の和が180°　②円周角が等しい　③方べきの定理
• 円は対称性が良い　→　中心を通る線について必ず対称。この対称性が使えないか常に考える。

空間図形は、平面に落とす

空間の問題を空間のまま考えるのは大変です。定石は平面に帰着させることです。

• 断面を取る：ある平面で切って、その切り口だけを平面図形として考える。
• 射影する：真上から見た図（影）を考える。

切る平面の選び方には、コツがあります。対称面で切るのです。立体の対称性が最もよく現れる平面で切ると、切り口が二等辺三角形などのきれいな形になります。

ベクトルの定石（高校範囲の予告編）

道具の順番でいうと、初等幾何の次に来るのがベクトルです。ここからは高校2年で習う内容なので、中学生のみなさんはいま意味がわからなくてかまいません。公式を覚える必要もありません。「図形には、こういう道具があるらしい」と知っておくだけで十分です。持っておいてほしいのは、第1章に出てきた「ベクトル＝向きと長さを持った矢印」という一行だけです。

以下では、点 A から点 B へ向かう矢印を AB→ と書きます（高校の教科書では文字の上に矢印を書きますが、ここでは読みやすいように横に書いておきます）。

① 始点をそろえる。 矢印があちこちバラバラの点から出ていると、比べようがありません。まず全部の矢印を同じ1点から出すように書き直す。これがベクトル計算の第一歩です。

そして、そろえる先の点はどこでもよいわけではありません。対称性のよい場所を選ぶと、あとの計算が見違えるほど短くなります。この記事で何度も出てくる「対称性を使え」が、ここでも効きます。

• 円の中心：中心から円周上の点へ向かう矢印は、どれも長さが半径で同じです。長さが全部そろうので、式がそろいます。
• 三角形の重心：重心 G を始点にすると、GA→ + GB→ + GC→ がちょうど零ベクトル（長さ0の矢印）になります。3本足すと消えてくれるので、3頂点が対等に出てくる問題が一気に片づきます。

② 経由して表す。 「A から C へ向かう矢印」が直接わからないときは、途中に点 B をはさみます。AC→ = AB→ + BC→。回り道をしても、出発点と到着点が同じなら同じ矢印です。これがベクトルの足し算の意味です。図形の問題では「わかっている矢印を乗り継いで、わからない矢印にたどり着く」という使い方をずっとします。

③ 2通りに表して、係数を比べる。 ベクトルで最も強力な型です。1つの点を、違うルートで2通りに表してみる。同じ点なのだから、2つの式は等しい。そこから「この係数とこの係数が等しい」という式が取り出せます。連立方程式が自動的に生まれると思ってください。「2直線の交点を求めよ」という問題は、ほとんどこの型で解けます。

④ 一直線上・同じ平面上は、係数の和が1。 判定の形がとてもきれいなので、予告編として見ておく価値があります。

本当かどうか、知っている点で確かめてみましょう。線分 AB の中点 M は OM→ = (1/2)·OA→ + (1/2)·OB→ で、係数の和は 1/2 + 1/2 = 1。三角形 ABC の重心 G は OG→ = (1/3)·OA→ + (1/3)·OB→ + (1/3)·OC→ で、和は 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1。どちらもちゃんと1になっています。公式を疑ったら、知っている場合で試す——これも定石です。

⑤ 内積で、垂直と長さを扱う。 内積とは、第4章で触れたとおり、2本の矢印の「向きの合い具合」を表す数でした。垂直の条件も、長さの計算も、どちらも内積が担当します。式の中では a→·b→ のように、点（ドット）ではさんで書きます。矢印どうしをドットでつないだら内積、s·OA→ のように数と矢印をつないだものは、ふつうのかけ算です。見分けは「両側が矢印かどうか」だけです。

正射影ベクトル──矢印を「影」として落とす

ここも高校範囲の予告編です。いま意味がわからなくてかまいません。 ベクトルの中で、意味を知らないまま丸暗記されがちな代表が正射影ベクトルです。じつは、意味さえわかれば毎回その場で作れます。

やりたいことは単純です。a→ という矢印に真上から光を当てて、b→ の向きの直線の上に影として落とす。その影も1本の矢印なので、それを式で書きたい、というだけの話です。

覚えるべきなのは、右端の「分母が2乗」という見た目ではありません。「影の長さ × その向きの単位ベクトル」という組み立て方のほうです。組み立て方さえ言葉で言えれば、式は毎回その場で作れます。分母が2乗になったのは、向きをそろえるために |b→| でもう一度割ったから、ただそれだけです。

なお、a→ と b→ の間の角が90°より大きいときは、影は b→ と逆向きに落ちます。このとき「影の長さ」はマイナスの数になり、上の式はそのまま逆向きの矢印を返してくれます。式のほうが賢いので、向きで場合分けする必要はありません。

ここまでがベクトルの骨格です。もう一度書きますが、中学生のみなさんはいま覚える必要はありません。第1章で書いたとおり、定石は公式の暗記ではなく行動の指示です。ベクトルなら「始点をそろえろ」「経由しろ」「2通りに表せ」——この3つの短い言葉で持っておけば、高校で習ったときに一瞬で立ち上がります。

複素数平面（道具④）──かけ算が「回転」になる（高校範囲の予告編）

ここは高校範囲の予告編です。いま意味がわからなくて、まったくかまいません。 覚えることも一つもありません。「そういう道具が用意されているらしい」と知っておくだけで十分です。

高校では、2乗すると −1 になる数を考えます。これを i と書きます。そして、ふつうの数と i を組み合わせた x + yi という数を、座標平面の点 (x, y) と対応させます。この平面を複素数平面といいます。ねらいは単純で、平面上の点を1文字で書けるようにすることです。

そして、この道具の強みはたった一つです。

本当にそうなるのか、i をかける場合だけ確かめてみましょう。

i × (x + yi) = xi + yi² = −y + xi

つまり点 (x, y) が点 (−y, x) に移ります。たとえば (3, 1) は (−1, 3) へ。方眼紙にこの2点をかいてみてください。原点を中心に、反時計回りにちょうど90°回っています。(1, 0) なら (0, 1) へ、もう一度 i をかけると (−1, 0) へ。90°ずつ回っていくのがわかります。i を2回かけると180°回る、それが i² = −1（符号がひっくり返る）ということです。ここまでは中学の知識だけで確かめられます。いま持ち帰ってほしいのは、この「かけ算が回す」の一点だけです。

この順番は、この章のいちばん上に置いた「道具の順番」とまったく同じ考え方です。成分に落とすのは最後。そしてその前に、まず初等幾何で考えるという原則も変わりません。「複素数平面の問題だから複素数で計算する」ではなく、先に図をかいて、正三角形・直角・相似が見えないかを探します。見えてしまえば、複素数の計算はほとんど要らなくなります。

もう一つだけ。回転と拡大をひとまとめに表す複素数は、1つのかたまりとして一文字で置くのが定石です。「60°回して2倍する」という操作をまるごと w とおいてしまえば、あとの式が短くなり、書き写しミスも減ります。この記事で何度も出てくる「かたまりは一文字におく」と同じ発想です。

二次曲線──式より先に、「距離の言葉」で覚える（高校範囲の予告編）

これも高校範囲の予告編です。楕円・双曲線・放物線という曲線が出てきますが、式を覚える必要はありません。覚える価値があるのは、次の3行の言葉のほうです。式は後からついてきます。

楕円は、この定義がそのまま作図の方法になっています。画びょう2本に糸の両端をとめ、鉛筆で糸をぴんと張ったまま一周させると楕円がかけます。糸の長さは変わらない、つまり2点からの距離の和が一定だからです。

ですから問題文に「焦点」と出てきたら、頭の中で「距離の和（または差）が一定」に翻訳する。式を思い出すより先に、この翻訳をします。第4章の和文数訳です。

もう一つ、楕円について知っておくと強い性質があります。

確かめてみます。楕円上の点 (x, y) の縦だけを2倍にした点を (X, Y) とすると X = x、Y = 2y、つまり x = X、y = Y/2。これをもとの式に入れると X²/4 + Y²/4 = 1、両辺を4倍して X² + Y² = 4。たしかに半径2の円になりました。

これが定石として効くのは、楕円の面積の問題を、円の面積の問題に取りかえられるからです。図全体を縦2倍に引きのばすと、その中のどの面積も同じように2倍になります。だから面積どうしの比だけは変わりません。円のほうで比を出して、そのまま答えにできる、というわけです。

道具④と、その周辺の話は以上です。くり返しますが、いま覚えることはありません。「かけ算で図形を回せる道具がある」「楕円は距離の和、双曲線は距離の差」――この2行だけ頭の隅に置いて、高校で出てきたときに「ああ、これか」と思い出せれば十分です。

座標を置くときの作法

最後の手段として座標を置くときも、置き方で計算量が何倍も変わります。

たとえば二等辺三角形なら、底辺の中点を原点にして、底辺を x 軸に乗せる。すると頂点は (0, h)、底辺の両端は (−a, 0) と (a, 0) となり、対称性がそのまま座標に現れます。下手な置き方をすると、同じ問題が泥沼になります。

18. 座標平面・軌跡・領域

直線の式は、傾きだけではない

中学では直線を y = ax + b と書きました。でもこの形には弱点があります。x = 3 のような縦の直線を表せないのです（縦の直線には傾きが存在しません）。

だから、縦になる可能性がある直線を扱うときは、次の形を使います。

この形なら、縦の直線も含めてすべての直線を表せます。「傾きで表せない場合がある」と気づけるかどうかが、場合分けの抜けを防ぎます。

共有点を通る図形（束）

2つの図形 f(x, y) = 0 と g(x, y) = 0 があるとき、

k·f(x, y) + l·g(x, y) = 0

は、この2つの図形の共有点すべてを通る図形になります。理由は簡単で、共有点では f = 0 かつ g = 0 なので、どんな k, l に対しても左辺が0になるからです。

これを使うと、「2円の交点を通る直線」や「2つの交点を通る円」を、交点を求めずに書けます。交点の座標が汚い数になる問題では絶大な効果があります。

軌跡の問題の考え方

軌跡とは、条件を満たす点が動いてできる図形のことです。中学でも「2点から等距離にある点の集まりは垂直二等分線」を習いましたね。あれが軌跡です。

定石は2段階です。

第1段階：幾何的に考える。
「2点 A, B を90°で見込む点」→ AB を直径とする円（の一部）。
「2点から等距離」→ 垂直二等分線。
こうした知っている図形に当てはまらないかを、まず考えます。当てはまれば一瞬で終わります。

第2段階：それが無理なら、式で処理する。
動く点の座標を (x, y) とおき、条件を式にして、余分な文字（パラメータ）を消していきます。このとき絶対にやってはいけないのが、消した文字の条件を落とすことです（第10章）。軌跡の問題で「答えの図形が正しいのに、一部分を除かなければいけなかった」という減点は、ここから生まれます。

領域と最大最小（線形計画法）

「点 (x, y) が領域 D の中を動くとき、x + y の最大値を求めよ」という問題。

やることは第16章と同じです。x + y = k とおくと、これは傾き −1 の直線です。この直線を平行移動させて、領域 D と共有点をもつような k の範囲を調べます。その最大が答えです。

ここで理解しておくべきなのは、これが「そのような点が存在する条件」を調べているだけだということです。「x + y が k という値を取れる」＝「領域内に、x + y = k を満たす点が存在する」＝「直線と領域が共有点をもつ」。この3つは同じことを言いかえているだけです。この言いかえの感覚が、高校数学の後半をずっと支えます。

2次関数の解の配置

「2次方程式の2つの解が、ともに1より大きい」といった問題。定石は3点セットで考えることです。

1. 判別式（実数解をもつか）
2. 軸の位置（頂点の x 座標がどこにあるか）
3. 端点の値（境目の x を代入した値の符号）

この3つを調べれば、解の位置が決まります。グラフを描いて、必要な条件を絵から読み取るのが正しい進め方です。公式として覚えるのではなく、毎回グラフを描いてください。

19. 数列と数学的帰納法

数学的帰納法は「ドミノ倒し」

数学的帰納法は、高校で最初につまずく人が多い場所です。でも、仕組みはドミノ倒しそのものです。

よくある疑問が「成り立つと仮定して証明するのは、ズルではないか」というものです。ズルではありません。仮定しているのは「特定の1枚が倒れた状態」であって、「全部倒れたこと」ではないのです。1枚目が実際に倒れることは (1) で確認済みなので、そこから連鎖が始まります。

帰納法の型は、漸化式の形で決まる

• 2項間（前の1つで決まる）　→　n = k を仮定して n = k + 1 を示す。基本形。
• 3項間（前の2つで決まる）　→　n = k − 1 と n = k の2つを仮定する。出発点も n = 1, 2 の2つを確認する。
• それ以前の全部が絡む　→　n = 1 から n = k まで全部成り立つと仮定する（全数学的帰納法）。

ドミノで考えれば当然です。「次の1枚を倒すのに2枚分の力が必要」なら、最初に2枚倒しておかなければなりません。

漸化式のゴールは2つだけ

漸化式（前の項から次の項を決める式）を解くとき、目標はたった2つです。

教科書に出てくるさまざまな変形は、すべてこの2つに帰着させるための工夫です。「何のためにこの変形をしているのか」がわかると、暗記が激減します。

数列で必ず気をつけること

• 初項は仲間はずれ：a_n+1 = a_n + 3 のような式は、「前の項」がある項にしか使えません。a₁ は別に与えられます。
• 添字の範囲：a_n−1 という式を使うとき、n = 1 を入れると a₀ になってしまいます。n ≥ 2 でしか使えないことに注意。
• 和と一般項の関係：S_n を第n項までの和とすると、a_n = S_n − S_n−1（ただし n ≥ 2）。n = 1 のときは a₁ = S₁ を別に計算し、両者が一致するかどうかを確認します。一致しなければ場合分けして答えます。
• 等比数列の和：公比が1のときは公式が使えません（分母が0になる）。公比1の場合を場合分けしてください。

和を求める定石

• 差の形に分解する：a_k = b_k+1 − b_k という形に書ければ、足し合わせたときに次々に打ち消し合って b_n+1 − b₁ だけが残ります。これが和を求める最も本質的な方法です。部分分数分解もこの仲間です。
• 連続する整数の積は、差に分解できる：たとえば k(k+1) = [k(k+1)(k+2) − (k−1)k(k+1)] / 3。左辺は2個の積、右辺は3個の積の差になっています。これを使うと Σk(k+1) が一瞬で出ます。
• 「等差×等比」の和：全体を S とおき、公比 r をかけた rS を作って、S − rS を計算します。ずらして引くと、ほとんどの項が消えます。
• かたまりは1文字におく：長い式のまま計算すると、書き写しミスが起きます。

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20. 整数問題の3定石

整数問題は「才能が要る」と思われがちですが、入口になる型は、大きく3つに整理できます。この3つを知っていると、「どれで攻めるか」の見当がつくので、白紙の前で止まる時間がぐっと短くなります。中学生でも追える例で説明します。

定石①　積の形を作る

整数の世界では、「かけて◯◯になる整数の組」は有限個しかありません。だから積の形にできれば、あとは候補を全部書き出すだけになります。

ここで使った技術が重要です。定数項は無視して、文字の部分だけが合うように因数分解し、あとから定数のズレを調整する。 上の例では (x−1)(y−1) を展開すると xy − x − y + 1 になるので、余分な +1 の分を右辺に足して帳尻を合わせました。

もう一つ例を出します。xy + 2x + 3y = 1 なら、(x + 3)(y + 2) を展開すると xy + 2x + 3y + 6 なので、(x + 3)(y + 2) = 1 + 6 = 7 となります。7は素数なので、候補は非常に少なくなります。

積の形と一緒に使う知識

• (積)=(素数)の形は最高：素数は1とその数自身でしか作れないので、候補が一気に絞れます。
• 連続する2つの整数は互いに素：n と n + 1 は、1以外の共通の約数を持ちません（1より大きい共通の約数があれば、その差である1もその数で割り切れることになり、矛盾）。
• 連続する n 個の整数の積は n! の倍数：たとえば連続する3つの整数の積は必ず6の倍数です。
• 素因数分解の一意性：整数の素因数分解のしかたは1通りしかない。左辺と右辺の素因数を比べる、という論法が使えます。

定石②　余りで分類する

「余り」で分けると、無限にある整数が有限個のグループに整理できます。これが強力なのです。

これは非常に典型的な議論です。「平方数を◯で割った余りは限られている」という事実は、整数問題の頻出ツールです。

余りで分類するときのコツ

• どの数で割るか：小さいほうから順に、2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13 …と試します。問題に出てくる数（係数や、示したい倍数）がヒントになります。
• 偶数と奇数で分ける：これは「2で割った余り」による分類です。いちばん手軽で、意外とよく効きます。
• 周期性：2ⁿ を5で割った余りは 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 1 …と4つごとに繰り返します。累乗の余りは必ず周期的になるので、実験して周期を見つけるのが定石です。
• 5以上の素数は、6で割ると余りが1か5：6で割った余りが 0, 2, 4 なら偶数、3なら3の倍数なので、素数になりようがないからです。

定石③　不等式で範囲を絞る

整数には「間がない」という性質があります。1 ≤ x ≤ 3 なら、x の候補は 1, 2, 3 の3つだけです。だから、範囲さえ絞れれば、あとは全部調べれば終わります。

この問題には、整数問題の定石がほぼ全部入っています。対称性で大小を仮定 → 不等式で絞る → 全部調べる → 仮定を外す。この流れを覚えてください。

その他の整数の道具

• 2次式なら判別式：整数解は実数解でもあるので、D ≥ 0 が使えます。さらに、整数解は有理数解でもあるので、判別式が平方数である必要があります。これは強い条件です。
• 平方完成：n² − 4n + m² − 6m + 8 = 0 なら (n − 2)² + (m − 3)² = 5 と変形でき、「二乗の和が5」という強い条件になります。二乗の和は、候補が非常に少ないのです。
• 自然数の分類：自然数は「1」「素数」「合成数」の3つに分けられます。素数がらみの問題では、まず実験して規則を探し、たいていは倍数に注目します。素数は「2」だけが偶数なので、2とそれ以外で場合分けすると進むことがあります。

最後の落とし穴

ここから先は高校範囲の予告編

ここまでの3定石だけで、整数問題の入口はかなり歩けます。ここから先は、高校で出てくる道具を2つ、先に見せておくだけのコーナーです。いま意味がわからなくてかまいませんし、覚える必要もありません。「そういう道具があるらしい」と知っておくだけで十分です。

ガウス記号　― x を超えない最大の整数

[x] と書いたら、それはx を超えない最大の整数のことです。x が正の数のうちは「小数点以下を切り捨てた数」と思ってかまいません。

たとえば [3.7] = 3、[5] = 5。ここまでは素直です。ところが負の数で引っかかります。[−2.5] は −2 ではなく −3 です。「−2.5 を超えない整数」は …, −5, −4, −3 で、そのうちいちばん大きいのが −3 だからです。−2 は −2.5 より大きいので、そもそも失格なのです。つまり負の数では、単純に小数点以下を消すのではありません。数直線を思いうかべて、その数より左（または同じ位置）にある整数のうち、いちばん右のものと考えると間違えません。

②の不等式は、言葉にすれば「[x] は元の数 x 以下だけれど、それに1を足すと x を追いこす」と言っているだけです。この形に持ちこめれば、あとは定石③の「不等式で範囲を絞る」がそのまま使えます。③も同じで、c が 0 ≤ c < 1 の中にしか入れない、という強い条件になります。ガウス記号が出てきたら、記号のままにらまず、整数か不等式に翻訳する。それが行動の指示です。

ユークリッドの互除法　― 最大公約数を機械的に求める

原理は、たった1行です。

なぜそうなるのか、片方の向きだけ見ておきます。割り算のしくみから a = bq + r（q は商）と書けます。いま d が a と b の公約数だとすると、a も b も d で割り切れます。すると r = a − bq の右辺は「d で割り切れる数どうしの引き算」ですから、r も d で割り切れます。つまり a と b の公約数は、そのまま b と r の公約数でもあるわけです。逆向きも同じ式から言えて（b と r が d で割り切れるなら a = bq + r も d で割り切れる）、結局公約数の顔ぶれがそっくり同じになります。顔ぶれが同じなら、そのうちいちばん大きいものも当然同じ、というわけです。

この方法のいいところは、素因数分解をしなくていいことです。1071 を素因数分解しようとすると少し手間ですが、割り算を3回するだけで答えが出ました。数が大きくなるほど、この差は開きます。

• 大きい2数の最大公約数を求めるとき：割って余りを取る、をひたすら繰り返すだけです。相手の数が必ず小さくなっていくので、いつかは必ず終わります。
• 互いに素であることの証明：互除法を進めていって余りが1になれば、最大公約数は1、つまり互いに素だと言えます。

互除法は高校（数学A）で正式に習います。ガウス記号のほうは教科書では発展扱いのことが多く、入試問題で出会う記号です。いまここで公式として覚える必要はまったくありません。大事なのは、ガウス記号は「不等式に翻訳するための道具」、互除法は「割り算を繰り返して問題を小さくするための道具」だと知っておくことです。どちらも結局は、3定石の②（余りで分類する）と③（不等式で絞る）に持ちこむための入口にすぎません。暗記が増えたのではなく、いつもの道への入り口が増えただけです。

21. 場合の数と確率

大原則：図式化する

場合の数と確率は、頭の中だけで数えようとすると必ず失敗します。定石は「書く」ことです。

• 樹形図：最初の2〜3段だけでも描くと、構造が見えます。
• 辞書式に並べる：小さい順に、規則正しく書き出す。これで数え漏れと重複を防ぎます。文字の並べかえなら、A, A, E, L, P を 1, 1, 2, 3, 4 と数字に置きかえると、順序がはっきりして数えやすくなります。
• ベン図・表：条件が2つ3つあるときは、表に整理します。

数え方の翻訳（言いかえの技術）

場合の数の問題は、「数えやすい別のものに言いかえる」ことで解けるようになります。

• 道順の問題　→　「↑」と「→」の並べ方の総数。右に3、上に2進むなら、↑↑→→→ の並べ方を数えればいい。
• x + y + z = 10 の非負整数解の個数　→　○と仕切りの並べ方。○を10個並べ、そこに仕切り「｜」を2本入れる。仕切りで区切られた3つの区画の○の個数が x, y, z に対応します。並べ方は12個の場所から仕切り2本の位置を選ぶ組合せ。
  • x, y, z が自然数（1以上）なら、仕切りは○と○の間にしか置けず、隣り合えません。
  • x, y, z が0以上なら、仕切りは端でも隣どうしでもOK。
  • 「x ≥ 3」という条件があるなら、X = x − 3 と置きかえて、X ≥ 0 の問題に直します。
  • 「x + y + z ≤ 10」なら、w = 10 − (x + y + z) という4人目を作って x + y + z + w = 10 に直します。

確率の大原則：すべてを区別する

確率でいちばん多い間違いは、同じに見えるものを区別しないことです。

なぜ区別するのか。確率の計算は「同じ起こりやすさのものが何通りあるか」で行うからです。区別しないと、起こりやすさの違うものを同列に数えてしまいます。迷ったら全部区別する。 これが安全です。

サイコロを2個振るときも同じで、(1, 2) と (2, 1) は別のものとして数えます。

確率の解き方は2通り

1. 数え上げて比を取る：全部で何通りか、条件を満たすのは何通りかを数えて、割る。区別を徹底することが前提です。
2. 事象に名前をつけて式にする：「n回目に A の状態にある確率を P_n とする」のように記号化して、式を立てる。すべての確率の合計が1であることは、しょっちゅう使います。

余事象を使う場面

「求めたいものの反対側」を数えるほうがラクな場面があります。合図は次の言葉です。

• 「少なくとも1つ」　→　反対は「1つもない」。こちらは1通りの計算で済むことが多い。
• 「◯回以内に」「◯までに」
• 「n個の積が◯の倍数」　→　反対は「倍数にならない」＝特定の数を1つも引かない

確率漸化式の型

「n回目の確率」を求める問題は、次の手順で機械的に処理できます。

1. 起こりうる状態を全部書き出して分類する（状態A、状態B、…）
2. 各状態になる確率を数列として記号化する（P_n, Q_n, …）
3. n + 1 回目の状態を、n 回目の状態で分類する
4. 樹形図を描いて、各枝の確率を書き込み、漸化式を作る
5. 漸化式を解く（P_n + Q_n = 1 をよく使います）

ポイントは3番です。「最初の一手」か「最後の一手」で分類すると、うまくいくことがほとんどです。

確率の最大値を求めるとき

P_n が最大になる n を求める問題では、微分は使えません（n が整数だから）。定石は隣どうしを比べることです。

• 比を取る：P_n+1 / P_n が1以上か1未満かを調べる。かけ算やコンビネーションが多い式では、約分できてラクです。
• 差を取る：P_n+1 − P_n が0以上か0未満かを調べる。足し算中心の式ならこちら。

「増えているうちは増え続け、減り始めたらそこが頂点」という考え方です。

22. 関数と最大最小

第13章で定義を確認しました。ここでは解き方の順番を整理します。

変数が2つ以上あるとき

文字が2つ以上あると、一気に難しくなります。まず「独立か従属か」を判定してください。

• 従属（x + y = 5 のような等式の条件がある）　→　条件式で文字を減らす。ただし範囲の引き継ぎを忘れずに。
• 独立（それぞれが自由に動ける）　→　予選決勝法を使います。

予選決勝法とは、次のやり方です。

1. 予選：まず y を定数だと思って固定し、x だけを動かして最大値を求める。答えは y の式になります。
2. 決勝：次に y を動かして、その式の最大値を求める。

「2つ同時に動かすのは無理だから、1つずつ動かす」という発想です。3文字以上でも、同じことを繰り返せば処理できます。

式の形別の初手

• 同次式　→　文字で割って1文字にする（第15章）
• 分数関数　→　f(x) = k とおいて、それを満たす x が存在する条件を調べる（この考え方が「値域を求める」ということの正体です）
• 無理式（√つき）　→　√ごと置きかえるか、中身を置きかえる。範囲の引き継ぎに注意
• 絶対値　→　グラフを描く

不等式で最大最小を求めるときの警告

23. 極限・微分・積分の心構え

この章は、中学生や高1の人にとっては「予告編」です。細かい計算は扱わず、何を考えている分野なのかと、定石の骨格だけを伝えます。

極限は「近づけたらどうなるか」

極限とは、ある値に限りなく近づけたとき、式の値がどこに近づくかを調べるものです。

難しさの正体は不定形です。「0を0で割る形」「∞から∞を引く形」など、そのままでは答えが決まらない形が出てきます。定石は、その形を崩すことです。

• 多項式　→　最高次でくくる
• 分数　→　分母分子を最高次で割る
• √ がある　→　有理化する（分子を有理化することもあります）
• 収束する部分は無視できる　→　全体の大きさを決めているのはどこか、を見極める

また、はさみうちの原理という重要な道具があります。「求めたいものを、上と下から挟む。挟んだ両方が同じ値に近づくなら、真ん中もその値に近づく」という考え方です。直接計算できないものを、間接的に決める技術です。

微分は「変化の勢い」

微分は、グラフの各点での傾きを求める道具です。傾きがわかると、そのグラフが上がっているのか下がっているのかがわかり、グラフの形が描けます。だから最大最小が求められるのです。

微分がらみの定石を挙げておきます。

• グラフを描く前に：定義域の両端でどうなるか、軸との交点はどこか、対称性や周期性はあるか。これらを先に調べると、描くべき形の見当がつきます。
• 接線：接点を文字でおいて、そこでの接線の式を書くのが基本形。「接する」＝「重解をもつ」という言いかえも使います。
• 接線の本数 ≠ 接点の個数：4次関数では、1本の接線が2か所で接することがあります。数える対象を間違えないでください。
• f′(α) = 0 でも極値とは限らない：y = x³ は x = 0 で傾き0ですが、極値ではありません。前後で傾きの符号が変わるかを必ず確認してください。

積分は「積み重ね」

積分は、細かく切ったものを足し合わせる操作です。だから面積や体積が求まります。

• 面積を求める前に、上下関係を確認：どちらのグラフが上にあるかを、グラフか符号で確かめてから引き算します。ここを間違えると符号が逆になります。
• 体積は「回す前に切る」：回転体の体積を求めるとき、いきなり回そうとしてはいけません。まず断面を考えるのが定石です。「動かす前に切る」と覚えてください。
• 断面は積分する方向に垂直：体積は薄い板を積み重ねたものなので、板は積分の向きに対して垂直でなければなりません。
• 動くものが複数あるとき：1つだけ動かして、他は止める。次に別のものを動かす。予選決勝法と同じ発想です。
• 回転軸の両側に図形があるとき：片側に折り返してまとめてから回します。そうしないと二重に数えます。

これらは高校3年で扱う内容ですが、共通しているのは「複雑なものを、単純なものの積み重ねに分解する」という発想です。この発想自体は、中学生でも理解できますし、他の分野でもずっと使います。

確認問題（第4部）

第4部はここで終わりです。この記事は「読むだけでは身につかない、手を動かせ」と何度も書いてきましたので、ここで実際に手を動かしてください。計算力ではなく「どの定石を使う場面かに気づけるか」を確かめる3問で、3問とも中学の知識だけで解けます。紙とえんぴつを用意して、5分だけ考えてから解答を見てください。

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第5部　まとめ

24. 実演──「流れを知っている人」の頭の中

ここまで23章ぶん、定石を並べてきました。でも、並べただけでは「で、実際どう使うの？」がわからないと思います。そこでこの章では、1問を最初から最後まで、頭の中で起きていることを全部書き出します。

使うのは、私が作った練習用の問題です。難関大学でよく見る形をしています。

まず正直に言うと、この問題は何の手がかりもなしに眺めていても、なかなか一行目が書けません。逆に、型を持っていれば「たぶんこの方向だろう」という見当が30秒でつきます。その30秒の中身を、ひとつずつ開いていきます。

0分〜0分30秒：見る（第2章）

解き始める前に、式の顔つきを見ます。見るポイントは決まっています。

• 条件は x² + y² = 1。これが拘束条件です。x, y は自由には動けません。
• 条件も、求めたい式も、x と y を入れかえても変わりません。つまり対称式です（第14章）。
• 文字は2つ。式は1本。だから自由に動ける変数は実質1つです（第5章）。

この3つが見えた時点で、引き出しが1つ開きます。

0分30秒〜3分：変数を減らす（第14章・第16章）

置いたら、条件と目的の両方を s, t で書き直します。

条件：x² + y² = (x + y)² − 2xy = s² − 2t なので、s² − 2t = 1。
つまり t = (s² − 1) / 2 です。t が s だけで書けました。

目的：x + y + xy = s + t = s + (s² − 1) / 2 = (s² + 2s − 1) / 2。

文字が2つから1つに減りました。あとは1変数関数の最大値問題です（第22章）。ここまでは、型に沿って考える範囲を狭めてきただけで、まだこの問題ならではの難しさには触れていません。本番はこの先です。

3分〜6分：いちばん差がつくところ（第10章・第13章）

ここで、多くの人が事故を起こします。(s² + 2s − 1) / 2 は下に凸の放物線なので、s をどこまでも大きくすれば、いくらでも大きくなってしまいます。「最大値なし」と答えたくなる。

x, y は「和が s、積が t」の2数なので、u² − su + t = 0 の2つの解です。これが実数であるためには、判別式が0以上でなければなりません。

s² − 4t ≥ 0 に t = (s² − 1) / 2 を代入して、
s² − 2(s² − 1) ≥ 0 → −s² + 2 ≥ 0 → s² ≤ 2 → −√2 ≤ s ≤ √2。

ここが、この問題の本当の急所です。そして、ここに気づけるかどうかを分けているのは、才能ではなく「置きかえたら範囲を調べる」という1行の定石です。

6分〜8分：仕上げる（第22章）

f(s) = (s² + 2s − 1) / 2 を −√2 ≤ s ≤ √2 で考えます。頂点は s = −1 で、そこから右は増えていくだけなので、最大は右端 s = √2 のときです。

f(√2) = (2 + 2√2 − 1) / 2 = (1 + 2√2) / 2

8分〜10分：確認する（第8章・第13章）

答えが出ても、まだ終わりません。その最大値を実際に取る x, y が存在するかを確かめます（等号成立の確認）。

s = √2 のとき t = (2 − 1) / 2 = 1/2。u² − √2 u + 1/2 = 0 の判別式は 2 − 2 = 0 なので x = y = √2 / 2。

検算すると x² + y² = 1/2 + 1/2 = 1 でちゃんと条件を満たし、x + y + xy = √2 + 1/2 = (1 + 2√2) / 2 で一致します。ここまでやって、はじめて答案として完成です。

この10分で、何をしていたか

気づいてほしいのは、この10分のうち、「何をすればいいか分からずに止まっていた時間」がほぼゼロだったことです。考えていないわけではありません。むしろ、置きかえた文字の範囲を出すところでは、しっかり頭を使っています。ただ、型があるおかげで、考える場所をそこに絞れたのです。

一方、解法を丸暗記している人はどうなるか。「x² + y² = 1 のときの x + y の最大値」なら覚えているので解けます。でも xy が足されただけで、覚えた形と一致しなくなり、手が止まります。覚えていたのが「答え」であって「理由」ではなかったからです。

25. 定石チェックリスト

試験直前や、問題を解いていて手が止まったときに、ここだけ見返せば済むようにまとめました。ノートに書き写して、自分の例を書き足していってください。

解き始める前

手が止まったとき（上から順に）

答えが出たあと

ミスの発生源（自分がやったものに印をつけて使う）

分野別の第一手

26. 試験時間の中で点を最大化する

ここまでは「どう解くか」の話でした。最後にもうひとつ、難関大学に合格するうえで実際にいちばん効くのに、ほとんど練習されていないことを書きます。試験時間の使い方です。

入試は「解けるかどうか」を問う場ではありません。決められた時間の中で、何点取れたかだけで決まります。同じ実力の2人でも、時間の使い方が違えば点数は簡単に20点、30点変わります。そして時間の使い方は、才能ではなく事前に決めておける手順です。

(1) 最初の5分は、解かずに全部読む

試験が始まったら、いきなり第1問を解き始めないでください。まず全問に目を通して、各問題に印をつけます。

そして◎から順に解きます。第1問から順に解く決まりはどこにもありません。大問1が最難問という年度は普通にあります。難しい問題に最初の30分を吸われて、確実に取れたはずの大問3に手をつけないまま終わる——これが、実力より点数が低く出る最大の原因です。

(2) 1題あたりの持ち時間を、始まる前に決めておく

試験時間と問題数から、1題あたりの持ち時間はすぐ出ます。目安はこうなります。

数字そのものより大事なのは、「この問題にあと何分使えるか」を試験中に把握していることです。時計は5分おきに見る必要はありません。1題を解き終わるたびに1回見て、予定より早いか遅いかだけ確認してください。

(3) 撤退の基準を決めておく

もっとも損をするのは、解けない問題に粘り続けることです。粘る・粘らないをその場の気分で決めると、必ず粘りすぎます。だから基準を先に決めます。

(4) △の問題でも、点は取りに行ける

まったく方針が見えない問題でも、0点で出す必要はありません。難関大学の記述式では、途中まででも点がつきます。

• (1)だけ取る　大問は誘導になっていることが多く、(1)は定義や具体例の確認で終わることがよくあります。(2)以降が無理でも(1)は取れます。
• 方針を日本語で書く　「軌跡なので、点Pの座標を (x, y) とおき、条件から媒介変数を消去する」と書いてあれば、その方針が正しいかぎり、白紙より確実に上です。
• 場合分けの枠だけ書く　「a < 0 のとき／a = 0 のとき／a > 0 のとき」と分けたところまでで力尽きても、その分類が的確なら評価されます。
• 実験の結果を書く　n = 1, 2, 3 を代入して規則を見つけたところまで書き、「よって一般に〜と予想される」まで到達していれば、そこまでは仕事をしています。

答案の書き方そのものは第9章にまとめました。白紙で出す0点と、方針3行の部分点は、合否の場面では別物です。

(5) 最後の10分は、新しい問題に手をつけない

残り10分で△の問題に飛びついても、まず間に合いません。その10分はすでに解いた問題の確認に使ってください。確認する内容は第8章のとおりです。

1. 問題文の条件を全部使ったか（第10章の「条件の落とし」がないか）
2. 求めたものが、聞かれたものと一致しているか
3. 範囲・端点・分母0・向きなど、書き忘れやすい条件を書いたか
4. 答えの形が不自然でないか（確率が1を超えていないか、長さが負でないか）

この確認で拾える点は、新しい問題に挑んで取れる点より、たいてい多いです。取りこぼしを拾うほうが、難問を1問増やすより確実に速いのです。

27. この記事を「自分のもの」にする方法

最後に、いちばん大事な話をします。

この記事を最初から最後まで読んだだけでは、点数は1点も上がりません。

厳しい言い方ですが、これは事実です。定石は「知識」ではなく「行動のルール」だからです。ルールを読んだだけでスポーツがうまくならないのと同じで、実際に問題を解く場面で使わなければ意味がありません。

やってほしいこと

(1) 見出しだけをノートに書き写す

本文を全部写す必要はありません。「未使用の条件を探す」「積を作る」「余りで分類」といった見出しだけを、余白をたっぷり取って書き写してください。

(2) 問題を解いていて「これだ」と思ったら、その余白に例を書く

「余りで分類」の下に、実際に自分が解いた問題を1行で書く。「◯◯大の第2問。n² を4で割った余りが0か1しかないことを使った」のように。

これを繰り返すと、あなたのノートは「あなた専用の定石集」になります。他人が作った一覧表は試験中に出てきませんが、自分が書いた例は出てきます。定石は、具体例とセットになって初めて武器になるのです。

(3) 解けなかった問題では、「どの定石を使えばよかったか」を書く

解き直しをするとき、答えを覚え直すのではなく、「この問題は、どの引き出しを開ければよかったのか」を一行で書く。これが最も効率のいい復習です。答えは忘れますが、引き出しのラベルは残ります。

(4) 抽象化する・再編集する

慣れてきたら、この記事から重要なものだけを抜き出して、自分なりにまとめ直してください。「自分にとっては、この5つだけあればいい」という形になるはずです。まとめ直す作業そのものが、最高の勉強になります。

それでも解けない問題はあります

正直に書きます。定石を全部そろえても、解けない問題はあります。入試には、その場で考えるしかない問題が必ず含まれています。

でも、定石をそろえた人とそうでない人では、「考える」の中身が変わります。手がかりのない状態で「考える」は、白紙をながめたまま止まってしまいがちです。型を持っている人の「考える」は、まず当たりをつけて考える範囲を狭め、そこから先に自分の頭を使うという形になります。

考える量そのものが減るわけではありません。考える場所が変わるのです。方針を探すことに時間を使い切ってしまう人と、その問題にしかない難しさに時間を使える人。この差が、試験時間の中で効いてきます。

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よくある質問

この記事について、よく届く質問をまとめました。

Q1. 数学が苦手でも読めますか。中学生でも大丈夫ですか。

大丈夫です。この記事は中学校の内容から積み上げる形で書いてあります。高校数学の言葉が出てくるところでも、まず中学の知識で意味を説明してから先に進みます。数学IIIをまだ習っていない人は、第1部〜第3部だけでも十分に効果があります。式が読めないところは飛ばして、日本語の部分だけ追ってください。

Q2. 27章もあります。全部覚えないといけませんか。

いいえ。全部いっぺんに覚える必要はまったくありません。いま自分に関係のある章だけ読んで、残りは「そういう考え方があるらしい」と知っておくだけで十分です。急ぐなら、まず第25章の定石チェックリストだけをノートに写して、問題を解きながら自分の例を書き足していく使い方をおすすめします。

Q3. 「数学は暗記ではない」と言われます。この記事は解法の暗記になりませんか。

なりません。むしろ逆の立場で書いています。数学は暗記科目ではありません。解法をまるごと覚える勉強は、覚えた問題とほぼ同じ形で出たときにしか働かず、難関大学の入試ではほとんど通用しません。この記事に並べているのは答えの一覧ではなく、「この条件が来たら、まず何を試すか」という考え方の順番と、その理由です。理由まで理解しておけば、初めて見る形の問題でも同じ判断ができます。ねらいは考えなくて済むようにすることではなく、限られた試験時間の中で、本当に考えるべき場所に時間を残すことです。くわしくは第1章をご覧ください。

Q4. 読んだのに、テストで思い出せません。

それが普通です。定石は知識ではなく行動のルールなので、読んだだけでは試験中に出てきません。出てくるようにするには、自分が解いた具体例とセットにするしかありません。「余りで分類」という見出しの下に、実際に自分が使った問題を1行書く。これを何度か繰り返すと、自分から出てくるようになります。くわしいやり方は第27章に書きました。

Q5. 練習する問題は、どこで手に入りますか。

まずは手元の学校の問題集で十分です。追加で使うなら、数強塾が無料で公開している単元別の学習プリントと授業動画、それから大学入試の過去問の全問解説があります。志望校が決まっているなら、たとえば明治大学の過去問解説のように大学別にまとまったページで、実際にどの定石が使われているかを見てみてください。

Q6. 学校の進度が速くて追いつけません。ほかの塾にも通っています。

中高一貫校の進度に合わせた進め方は学校別 数学対策に、いま通っている塾と併用する場合の考え方は難関塾との併用サポートにまとめてあります。定石は学校の進度とは別に積み上げられるものなので、遅れている人ほど先に整理する価値があります。

Q7. 体験授業は無料ですか。

いいえ、体験授業は有料（3,000円・税込）です。実際の指導をそのまま受けていただき、合うかどうかをご自身で判断してもらうためのものです。くわしくは体験授業・入塾相談と料金・指導システムをご覧ください。

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この記事を書いた人

藤原進之介（ふじわら しんのすけ）

数学に強くなる塾「数強塾」グループ代表・株式会社数強塾 代表取締役

• 東進ハイスクール・東進衛星予備校・代々木ゼミナールなど出講実績あり（東進ハイスクール・東進衛星予備校では最年少講師）
• 著書累計15万部（KADOKAWA・Gakken・文英堂ほか大手出版社より刊行）
• 「令和の虎」出演をはじめ、メディア出演多数／消費者庁での登壇実績
• 数強塾グループ（数強塾／情報ラボ／英論会／AOG／日本数学塾／論塾）を運営。プロ講師60名以上が在籍し、全国の中高一貫校生を中心に累計3,500名以上を指導
• もともと数学が苦手だった「元・数学苦手の講師」。だからこそ、つまずく生徒の目線で教えられる

数強塾グループのミッションは「一人ひとりの可能性を最大限に引き出し、本質を理解し、自ら考え続けられる人を育てる」。AI時代に、人にしかできない教育で最高品質の学びを届けます。

藤原進之介のプロフィール詳細｜指導実績（成績向上率94%の根拠）

数強塾からのご案内

数強塾は、オンライン専門の数学個別指導塾です。中高一貫校生を中心に、累計3,500名以上を指導してきました。プロ講師のみが在籍し、完全1対1で指導しています。

この記事で書いた「定石」は、本来は問題を一緒に解きながら、その場で身につけていくものです。「この問題では、どの引き出しを開けるべきだったのか」を毎回言語化していくのが、私たちの授業でやっていることでもあります。

• 無料プリント・映像授業のページ　単元別の問題プリントと解説を無料で公開しています。この記事の定石を試す場所として使ってください。
• 無料の授業動画まとめ　文章だけではわかりにくいところは、動画で見たほうが早いことがあります。
• 大学入試の過去問 全問解説　実際の入試問題で、どの定石がどう使われているかを見ることができます。
• 学校別 数学対策　中高一貫校の進度に合わせて、どの順番で進めるかをまとめたページです。
• 難関塾との併用サポート　いま通っている塾をやめずに、数学だけを補強したい方への案内です。
• プロ講師の紹介　数強塾はプロ講師のみが在籍しています（60名以上）。誰に習うのかを先に見ておいてください。
• 体験授業について　体験授業は有料（3,000円・税込）です。実際の指導をそのまま受けていただき、合うかどうかを判断してもらうためのものです。

「解説を読めばわかるのに、自分では思いつかない」という状態が続いているなら、それは才能の問題ではなく、引き出しの整理がまだ終わっていないだけです。一緒に整理していきましょう。