おうぎ形の弧の長さと面積｜中心角/360で出す

中1｜平面図形解き方がわからないときは基本作図のやり方と理由｜垂直二等分線・角の二等分線・垂線を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

半径 5cm、中心角 144° のおうぎ形について、次に答えなさい。

（1）弧の長さを求めなさい。

（2）面積を求めなさい。

（3）このおうぎ形は、もとの円の何分のいくつか答えなさい。

——公式を2つ覚える前に、割合を1つ出す。

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは中学1年「平面図形」基本8の解説です。テーマはおうぎ形の弧の長さと面積——公式を2つ暗記する前に、「もとの円の何分のいくつか」という割合を1つ出すだけで両方が決まる、という見方を身につけます。ここが定まると、基本9・基本10の「逆算」も同じ1本の道でつながります。

おうぎ形は「円を切り取った一部」

おうぎ形は、円から中心角のぶんだけ切り取った図形です。だから、もとの円のどの量も同じ割合で縮むと考えられます。

おうぎ形は割合1つで決まる

中心角を a°、半径を r とすると、おうぎ形はもとの円の a/360 にあたります。
この1つの割合を、円周にも、円の面積にも、同じようにかける——それだけです。

	もとの円	中心角 `a`° のおうぎ形
まわりの曲線	2π`r`	2π`r` × a/360（弧の長さ）
面積	π`r`²	π`r`² × a/360

教科書には公式が2本並んでいますが、覚えるべき新しいことは「× 中心角/360」の1つだけです。円周と円の面積は小学校で習った内容なので、実質的に新出事項は1つしかありません。

手順は「割合を先に出す」だけ

計算の順番を固定してしまうと、数がどれだけ大きくなっても手が止まりません。

1割合を約分して出す——中心角 ÷ 360 を、先に約分しきった分数にします。144/360 なら 2/5。ここで小数にしないのがコツです。

2もとの円の値を出す——円周 2πr と面積 πr² を、π をつけたまま計算します。

3割合をかける——1で出した分数を、2の値それぞれにかけます。

なぜ小数にしないのか

144 ÷ 360 = 0.4 でも答えは出ます。しかし中心角が 105° や 200° のとき、小数は割り切れなかったり桁が増えたりします。分数のまま約分すれば、必ずきれいな形で最後まで進みます。中学以降の計算は「小数より分数」が原則です。

今日の一問の解答

解答

割合：144/360 = 2/5（144 と 360 を 72 で割る）
（1）弧の長さ：2π × 5 × 2/5 = 10π × 2/5 = 4π cm
（2）面積：π × 5² × 2/5 = 25π × 2/5 = 10π cm²
（3）もとの円の 2/5
検算：144° は 360° の半分より少し小さい。弧 4π は円周 10π の半分より少し小さい ○ 面積 10π も 25π の半分より少し小さい ○

つまずくのはここ

つまずき1｜弧の長さの式に半径の2乗を使う

弧は長さ、面積は広さです。長さの式に r² は出てきません。迷ったら「もとの円ではどうだったか」に戻ります。円周は 2πr、円の面積は πr²——この対応をそのままおうぎ形に持ち込むだけです。

つまずき2｜割合をかけ忘れて、円のままの答えを書く

「2π × 5 = 10π cm」で止めてしまう誤りです。それは円1周ぶんの長さであって、切り取ったあとの弧ではありません。手順1で割合を先に書き出しておくと、かけ忘れが起きにくくなります。

つまずき3｜面積の単位に cm を書く

面積は cm²、長さは cm です。「2乗した量には2乗の単位」と対応させて覚えます。単位のつけ間違いは、定期テストでは減点、入試では失点に直結する部分です。

数強塾オリジナルの練習問題

すべて「割合を先に出す」で解けます。数値だけを変えてあるので、手順が身についたかどうかがそのまま出ます。

基礎練習1

半径 6cm、中心角 60° のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

割合：60/360 = 1/6
弧：2π × 6 × 1/6 = 12π × 1/6 = 2π cm
面積：π × 6² × 1/6 = 36π × 1/6 = 6π cm²
検算：60° は円の6等分。弧も面積もちょうど 1/6 になっています ○

基礎練習2

半径 9cm、中心角 200° のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

割合：200/360 = 5/9（40 で割る）
弧：2π × 9 × 5/9 = 18π × 5/9 = 10π cm
面積：π × 9² × 5/9 = 81π × 5/9 = 45π cm²
検算：200° は 180° より大きいので、半円（弧 9π、面積 40.5π）より大きいはず。10π > 9π、45π > 40.5π ○

標準練習3

半径 4cm、中心角 225° のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。

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解答

割合：225/360 = 5/8（45 で割る）
弧：2π × 4 × 5/8 = 8π × 5/8 = 5π cm
面積：π × 4² × 5/8 = 16π × 5/8 = 10π cm²
225° のような半端な角も、45 で約分できると気づけば一瞬です。中心角は 15・30・45・72 のいずれかで約分できることがほとんどです ○

応用練習4

半径 12cm、中心角 150° のおうぎ形の周の長さを求めなさい。

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解答

割合：150/360 = 5/12
弧：2π × 12 × 5/12 = 24π × 5/12 = 10π cm
おうぎ形の周は、弧だけでなく半径2本も含みます。
周：10π + 12 + 12 = (10π + 24) cm
「周の長さ」と「弧の長さ」を同じものだと思って半径を足し忘れるのが、この問題の唯一にして最大の落とし穴です。図の外周をペンでなぞってみると、直線部分が2本あることがすぐ見えます ○

応用練習5

中心角が等しい2つのおうぎ形があり、一方の半径はもう一方の2倍です。弧の長さと面積は、それぞれ何倍になりますか。

解答・解説を見る

解答

弧：2倍（式に r が1つだけ入っている）
面積：4倍（式に r² が入っているので、2² = 4 倍）
検算：半径 3・中心角 90° なら弧 1.5π・面積 2.25π。半径 6・中心角 90° なら弧 3π・面積 9π。たしかに 2倍と 4倍 ○
この「長さは r に比例、面積は r² に比例」という関係は、中3の相似で面積比が2乗になる話とまったく同じものです。

定着チェック

いまの理解段階を自分で選んでみてください。

未習——用語の意味がまだ言えない。
用語理解——定義は言えるが、手が止まる。
典型を解ける——同じ形なら解ける。
初見へ転用——形が変わっても方針を立てられる。
入試水準——制限時間内に、根拠を書いて解ける。

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