場合分けの全型｜絶対値・ガウス記号・解の配置から積分区間まで12型と入試実例（群馬大・東北大・岡山大・神戸大・横浜国大）

場合分けは、面倒な作業の代名詞のように扱われます。けれども場合分けとは、「1本の式では書けないものを、書ける単位に切り分ける」作業です。切る場所を私たちが好きに決めているわけではありません。切れ目は式の側が指定してきます。絶対値の中身がゼロになる場所、軸が区間からはみ出す瞬間、被積分関数の符号が変わる点――どれも「何かがゼロになる」か「二つの量の大小が入れ替わる」場所です。ここが見えていれば、場合分けは勘ではなく手続きになります。逆に苦手な人の答案は、切る場所は合っているのに切ったあとの管理――もれがないか、境界はどちらに入れたか、各場合の答えがその場合の条件を満たしているか――で落としています。このページは、場合分けが発生する原因と、その処理・検算・答案化までを12の型に分けて並べた辞典です。必要な分だけ正確に切って、要らない分は堂々と消す技術としてまとめました。

1. 背骨——場合分けは「切りたいから切る」のではなく「1本で書けないから切れる」

場合分けが出てくる問題は、単元がばらばらです。絶対値つきの方程式、ガウス記号、区間つきの2次関数の最大最小、解の配置、文字係数の不等式、円と直線の位置関係、絶対値つきの定積分、数列の偶奇、確率の 依存。章はまるで違うのに、答案の見た目はそっくりで、どれも「(i) …のとき」と枝分かれし、最後に一つにまとまります。場合分けが必要になる理由が、単元によらず一つしかないからです。

この見方で並べ直すと、場合分けの原因は三つしかありません。

原因1：式そのものが区分定義になっている。絶対値 は定義が最初から2本に分かれています。ガウス記号 は整数ごとに値が飛び、 や も同じ仲間。この型では境目が「中身がゼロになる点」で、こちらの都合と無関係に決まります。折れ目が 個なら区間は 個――ここは数えるだけの作業です。

原因2：二つの量の大小が、文字のせいで決まらない。「軸が区間の中か外か」「根が区間の内か外か」「符号の変わり目が積分区間の中か外か」「中心からの距離が半径より大きいか」。文面は違っても、やっているのは二つの量の差をとり、その符号が動くかを見ることだけです。差の符号が動かないなら場合分けは要りません。のちほど扱う東北大学 2003年度では、 というたった一行で、根の大小による場合分けが丸ごと消えます。

原因3：文字の役割そのものが切り替わる。 は なら2次方程式ではありません。 は両辺を で割る瞬間に符号で不等号の向きが変わり、数列で が出れば偶奇で式が変わる。共通するのは、「割る」「最高次を仮定する」といった操作が、こっそり前提を置いていることです。場合分けは、その前提を明るみに出す作業でもあります。

次は「切ったあと」です。場合分けは論理的には全体集合の分割ですから、正しさの条件は二つだけ。合併がもとの全体を覆っていることと、重なった部分で結論が食い違わないことです。よく「重なってはいけない」と言われますが、正確には境界を両方に入れても構いません。境界ではどちらの式も同じ値を返すからで、むしろ両方に入れておけば値の一致が自動的なチェックになります。害があるのは個数を数える問題で二度数えたときだけです。

そして失点がいちばん集中するのは、各場合で出した答えが、その場合の条件を満たしているかの確認です。「 のとき」と宣言して解いたのに が出たなら、それは答えではありません。場合分けとは、仮定つきで解いて仮定に合うものだけを拾う手続きです。

合体させたら、境界での値の一致を見ます。のちほど扱う横浜国立大学 2013年度では が4本に分かれますが、 で両側の値が と一致します。ここが合わなければ手前のどこかが間違っている。場合分けは検算の仕掛けを内蔵しているのです。

つまり場合分けは、書けないものを書ける形に落とす翻訳であり、同時に自分の答案を検査する装置です。だからこそ必要のない場合分けは堂々と消すべきで、偶関数だと気づけば右半分だけ調べればよく、 と置けば絶対値が消えます。減らす工夫は手抜きではなく、間違える機会を減らすという意味で精度そのものです。

型についても一言だけ。「絶対値の中身がゼロになるのは 、だから2区間」と手が動く人は、頭の回転が速いのではありません。過去に何百回も使われてきた「型」から予想して、思考する量を減らすことで、手際よく解法を思い付いている場合もあるのです。型は考えなくて済ませるための道具ではなく、考える範囲を狭めるための道具です。狭めたあとに、本当にその境界でよいのか、そもそも場合分けが要るのかを考えるのは、結局その都度自分の仕事になります。以下の12型も、そのつもりで読んでください。

2. 手順——切る前と切ったあとに、必ずやること

3. 解法パターン全12型

型01　絶対値（中身の符号）

型02　ガウス記号

型03　軸と区間

型04　解の配置

型05　文字係数の方程式・不等式（最高次が0かどうか）

型06　図形の位置関係

型07　積分区間と被積分関数の符号

型08　数列の n の偶奇

型09　確率の n による違い

型10　場合分けの「もれなく重なりなく」の確認

型11　場合分けを避ける工夫

型12　場合分けの答案の書き方

4. 実際の入試で確かめる

ここからは実際に出題された問題で型を確かめます。問題文は各大学が公表した入試問題を、解説のために引用したものです。解答・解説は数強塾が独自に作成したもので、大学公表の解答ではありません。掲載した数値は当塾で独立に解いたうえで Python（sympy による厳密計算と数値計算）で検算し、別の担当者が別ルートで解き直して照合しています。場合分けの問題は境界の等号を一つ取り違えるだけで答えが変わるので、検算の記録も具体的に書きました。

群馬大学 2016年度　――　型01・型04・型11。偶関数だと気づくと、調べる範囲が半分になる

準備。差をとると 。ここで に気づくのが急所で、 と置けば絶対値が消えます。

①の正の解1個につき の共有点が2個。2解の和 、積 なので実数解をもてば2解はともに正（ が解になるのは のときだけで、 より起こりません）。判別式は 。

(1)　 だから、どちらも 軸対称。 では で、 はこれを折り返すだけ。共有点は①で として だから と の4個です。

(2)　共有点は 軸対称に現れ、 は共有点ではありません（）。よって共有点2個 ①が正の解をちょうど1個 ①が重解。 より 、共有点は の2個です。

(3)　条件は「①が実数解をもち、解がすべて 」。 は下に凸で軸は だから、解の配置の3点セットを並べます。

軸の条件と は によらず成立するので、残るのは と です。

境界の確認も忘れずに。 では 、 では で、どちらも条件をみたします。

東北大学 2003年度　――　型05・型11・型10。差が平方になった瞬間、場合分けが消える

方針。2次不等式は因数分解して数直線上の区間に直します。あとは2つの区間の端点の大小だけの問題です。

第1段： を区間にする。定数項は 。和が 、積が となる2数は と なので

ここで2根の大小による場合分けが要るように見えます。どちらが大きいか決まらないと解の区間が書けないからです。ところが差をとると と平方になり、符号が動きません。つねに なので場合分けは不要で （両端を含む）。 のときだけ の1点になりますが、この表示のままで正しく、 が空になることはありません。

第2段： を区間にする。定数項は なので 。差が と定数だから （両端を含まない、長さ ）。こちらも空になりません。

第3段：重なる条件。 とおくと （閉）、（開）で

　　 かつ

（ なら と 。逆も と の間に点がとれます。 が開区間なので、どちらの不等号にも等号は入りません。ここが答えの分かれ目です。）

後者は または 。両方をみたす は　または　 です。

境界の点検（等号を入れると間違えます）。 では で、 の右端と の左端がどちらも ですが、 は開区間なのでその点は属さず共通部分は空。 も で、 も が で接するだけで空です。具体例では で と空でなく、 では で空。答えの範囲と整合しています。

岡山大学 2014年度　――　型02・型07・型11。無限個の場合分けを2文字に畳む

準備。 とおくと（ は整数、、）、。この一手がこの問題のすべてです。無限個あった区間が「 が から まで動く1本」に畳まれ、 は定数として外に出ます。

(1)　。 より かつ だから 。ゆえに （等号は 、すなわち が整数のとき）。

(2)　、 と小数部が変わらないのがポイントで

(3)　 では より （上に凸、頂点 ）。 では より （上に凸、頂点 ）。 では 。 と の左極限が に一致するので切れ目はありません。グラフは をつなぐ合同な弧2本で、直線 より上、各弧の中点で差が最大 。

(4)　 なので、積分区間 は整数点 をまたぎます（ のときだけ端点で接します）。そこで切り、後半は と置換して (2) を使います。

したがって となり、 なので 。答えが の1次式になる理由も (2) が説明しています。

神戸大学 2005年度　――　型01・型07・型12。二重の絶対値を、偶関数で半分にする

(1)　 より なので 。偶関数だから 軸対称で、 の部分は内側の と の大小で分かれます。

前者は上に凸で頂点 、後者は から増加。これを 軸で折り返した形です。 になるのは の3点で、そこでグラフは 軸に接するのではなく尖ります（左右の傾きが一致しない尖点です）。山は の2か所で高さ 。つまり谷が3つ・山が2つ並び、中央の は持ち上がらず最下点のままです。

(2)　偶関数なので 。符号の変わり目 が積分区間 の内か外かで分けます。

(i) のとき 、 なので

(ii) のときは で常に なので絶対値が一気にはずれて 。

(3)　2本の式それぞれで最小を調べ、最後に比べます。(i) では なので で符号が負から正に変わり、極小かつこの範囲の最小。

(ii) では が増加で 。 だから、全体の最小値は です。

横浜国立大学 2013年度　――　型01・型07・型12。折れ目が2つ、場合は4つに増える

(1)　 なので 。前半を 、後半を とおきます。折れ目は が 、 が と別々で、区間 に入る条件も と で食い違う。境界は の3つになり、これが場合が4つに増える理由です。

（真ん中の は 、 は です。）足し合わせると境界 で4つに分かれます。

つなぎ目で検算します。 が両側の式で一致し、連続。ここが合わなければ手前の積分が間違っています。

(2)　4つの区間それぞれで最小を出して比べます。 では減少なので最小は 。 では で、解 のうち区間内にあるのは だけ。そこで は負から正に変わるので極小かつこの区間の最小です。 では増加で最小 、 でも増加で最小 。

での値は を代入して

これは や より小さいので が答えです。この値は4つの区間のうち2番目（）の内部に落ちています。全区間で候補を出してから比べる――この姿勢を要求しているのがこの問題です。

東北大学 2009年度　――　型01・型04・型10。文字の全域を調べないと、答えを一つ落とす

第1段：区間を切る。折れ目は と 。もれと重なりを防ぐため、この2点を真ん中の区間に入れると最初に宣言してしまいます。

（順に ／／ としてはずしました。なお が解になるのは 、 が解になるのは のときだけです。）

第2段：各区間で解の個数を数える。解の配置（型04）の出番です。 側。2解の和 、積 。両方が負になるには和が負すなわち が必要ですが、そのとき積は負で矛盾。よって負の解は高々1個で、（）のとき1個、 のとき0個です。

側。 は下に凸、軸 、判別式 、端点の値は 。閉区間に相異なる2解をもつ条件は

すなわち または 。それ以外では、 が異符号なら1個、 は で0個、 は重解で1個です。

側。 は下に凸、軸 、判別式 、。（）ならちょうど1個。2個入るのは かつ かつ のときで、 は または 。軸の条件 と合わせて だけが残ります。

第3段：合計が4になる を拾う。 と で 、 で 。境界の はいずれも合計3個で不適です。よって

5. よくある質問

6. 次に読むページ

• 2次関数の解法パターン全20型　――　このページの親。軸と区間、解の配置を単元全体の中で概観できます。
• 数と式の解法パターン全12型　――　もう一つの親。絶対値のはずし方と、文字係数の不等式の基本。
• 積分法（数II）の解法パターン全14型　――　型07の土台。絶対値つきの定積分と、積分区間に文字が入る問題。
• 数列・漸化式の解法パターン全16型　――　型08の詳細。偶奇で分かれる数列。
• 確率の解法パターン全12型　――　型09の詳細。もれなく重なりなく数える道具。
• 解法パターン事典（総索引）