微分法（数II）の解法パターン全11型｜型の見抜き方と入試実例（阪大・岡山大・群馬大・山口大・横国大・信州大）

01定義式の形に見えたら、微分係数と読む

顔つき　、。

中身　どちらも 。分子を が現れるように足して引くのが常套手段。

なぜ足して引くのか　 のような形は、そのままでは定義式になりません。ところが分子に を入れると となり、2つの微分係数の組み合わせに分解できます。「定義式の形に持ちこむために、無理やり を作る」――この一手を知っているかどうかだけの型です。

02 を で割ってから代入する

顔つき　極値点が のように汚い値になるとき。

中身　 と割り算しておくと、 だから 。1次式に代入するだけになる。

3乗を計算しないで済む　 を にそのまま代入すると3乗の展開が要ります。ところが で割った余りは1次式なので、代入は一瞬。「極値点は をみたす」という情報を、代入する前に使ってしまうのがこの型の値打ちです。同じ理屈で という関係式を使う次数下げも有効です（山口大学の実例）。

03必要条件で候補を出し、十分性を確かめる

顔つき　「 で極大値5をとるような を求めよ」。

中身　 と を立てて解く。最後に「本当に極大か」を増減表で確認する。

は必要条件にすぎない　これを解いて出た が、実際に で極大を与えるとはかぎりません（ の例のように符号が変わらないことがある）。「求めよ」と言われたら必要条件で絞り、最後に十分性を確認する――この往復は整数問題でも図形でも同じ構造です。

04次数を先に決める

顔つき　「すべての で をみたす多項式 を求めよ」。

中身　 を 次と仮定して両辺の次数を比べ、 を確定してから係数比較。

次数を決めると未知数が有限になる　「多項式 を求めよ」だけでは候補が無限にありますが、次数さえ決まれば係数は有限個。次数を決める道具は「両辺の最高次を比べる」で、微分すると次数が1下がることを使います。整数問題で「候補を有限にする」のと同じ発想です。

05極値と端点、それだけが候補

顔つき　「 における最大値・最小値」。

中身　候補は「区間内の極値」と「区間の端点」。全部計算して大小を比べる。

なぜこれで尽くせるのか　連続関数が閉区間で最大値をとる点は、内部なら必ず極値点（そこで増減が変わるから）、そうでなければ端点しかありえないからです。「候補を有限個に絞れる」ことが微分の最大の効用で、あとは代入して比べるだけの作業になります。区間に文字が入る場合は、極値点が区間内かどうかで場合分けが要ります（2次関数の型07と同じ構造）。

06 にして水平線で数える

顔つき　「 の実数解の個数を で場合分けせよ」。

中身　 の増減を調べ、極大値・極小値の高さで水平線 を場合分け。

動くものを1つにする　文字定数が式の中に散らばっていると、 を変えるたびにグラフの形が変わってしまいます。分離すればグラフは固定され、動くのは水平線だけ。「動くものが1つなら、目で数えられる」――これが分離の全部です。分母が0になる点（ など）を落とさないことだけ注意してください。

07極大値と極小値の符号を見る

顔つき　文字定数が2か所以上にあって分離できない。

中身　3次関数 が異なる3実解をもつ （極大値）（極小値）。

積の符号で書くと場合分けが消える　「極大値が正かつ極小値が負」と書くと条件が2本になりますが、（極大値）（極小値） と積にすれば1本で済みます。しかも極値をとる が汚くても、次数下げ（型02）を使えば積は計算できる。この2つを組み合わせるのが実戦的な処理です。

082次関数の解の配置と同じ考え方

顔つき　「3つの解がすべて正になる条件」「区間内に解が2つ」。

中身　増減表を書き、区間の端点の値の符号と極値の符号を組み合わせる。

2次のときの3点セットが、そのまま持ち上がる　2次では「判別式・軸・端点の値」でしたが、3次では「極値の存在（判別式に相当）・極値の位置（軸に相当）・端点の値」。やっていることは同じで、グラフを描いて条件を読み取っているだけです。3次以上では公式化しにくいので、増減表とグラフが主役になります。

09接点をパラメータにして、その個数を数える

顔つき　「点 を通る接線が3本あるような の範囲」。

中身　接点の 座標を とおいて接線の式を作り、通る点を代入。得られた の方程式の実数解の個数＝接線の本数。

なぜ接点の個数＝接線の本数なのか　3次曲線には二重接線（2点で接する直線）が存在しないので、異なる接点は必ず異なる接線を与えます。だから1対1に対応する。4次曲線では二重接線がありうるので、この対応が崩れることに注意してください。「本数を数えるときは、まず対応が1対1かを確かめる」のが正確な議論です（岡山大学の実例）。

手順　① 接点を とおいて接線を作る → ② 通る点を代入して の方程式にする → ③ 文字定数を分離して解の個数を数える

10接点が分かっているか、いないかで手が変わる

顔つき　「曲線上の点 A における接線」「曲線に接し、傾きが の直線」。

中身　接点 における接線は 。法線は傾きが 。

「曲線上の点」と「通る点」を混同しない　「点 A を通る接線」と書いてあるとき、A が曲線上にあるとはかぎりません。A が曲線上でないなら、接点は別の点なので型09の手順になります。問題文を読んだら「その点は曲線上か」を必ず確認してください。ここを取りちがえると、まったく違う答えになります。

11差をとって、最小値が0以上を示す

顔つき　「 のとき を示せ」。

中身　 とおいて の増減を調べ、区間での最小値 を示す。

2つの関数を比べない　 の最小値と の最大値を比べるのは誤りです（同じ で比べていない）。必ず差をとって1つの関数にする。そして「区間の左端で かつ区間内で が増加」が示せれば、それだけで十分なことも多い――最小値を厳密に求める必要はありません。示したいことに必要なだけ調べるのが、この型の実戦的なこつです。