微分法（数III）の解法パターン全18型｜対数微分法・凸性・媒介変数と入試実例（千葉大・神戸大・岡山大・名工大・横国大・富山大）

01外側から順に、掛けていく

顔つき　、、。

中身　、、。

商の微分は「分子を通分してから因数分解」　商の微分の分子は、そのままでは符号が読めません。根号を含むなら通分し、共通因子でくくり、因数分解して初めて符号が判定できます。横浜国立大学の問題では、分子が と分解でき、2次因子が常に正なので符号が だけで決まりました。

02対数をとってから微分する

顔つき　、。

中身　 を作って微分すると が出る。最後に を掛けて戻す。

指数に変数があれば、これしかない　 は「 型」でも「 型」でもないので、公式が使えません。対数をとって という積に直すのが唯一の入口です。積や商が入り組んだ関数でも、対数をとれば和と差になって微分が楽になります（千葉大学の実例）。

03

顔つき　。

中身　 で微分した比が についての微分係数。速度ベクトルは 。

「接線の傾き」と「速度の向き」は同じもの　媒介変数表示された曲線の接線の傾きは、その点での速度ベクトルの向きです。だから「速度が直線と平行」という条件は、 がその直線の傾きに等しいという条件と同じ。物理的な言葉と数学的な言葉が同じ式を指している――ここが見えると設問の意味が読めます（名古屋工業大学の実例）。

04両辺を で微分し、 について解く

顔つき　 上の点における接線。

中身　 を の関数と見て微分する。、。

について解かなくてよい　 と解いてから微分すると根号だらけになります。陰関数のまま微分すれば、接線の傾きが の式で出る。楕円や円の接線公式も、この方法で導けます。

05

顔つき　「 の逆関数を とするとき を求めよ」。

中身　（）。

逆関数を求めなくてよい　逆関数が具体的に書けなくても、対応する点さえ分かれば微分係数が出ます。グラフが直線 に関して対称なので、接線の傾きが逆数になる――図で理解しておくと式を忘れません。

06連続かつ左右の微分係数が一致

顔つき　「場合分けで定義された関数が で微分可能となる条件」。

中身　①つながっている（左右の極限が一致）②傾きが一致（左右の微分係数が一致）の2条件。

「つながる」だけでは足りない　 は で連続ですが微分可能ではありません。グラフに「角」があると微分できない。だから条件は2本必要で、未知数が2つあればちょうど決まります。

07除外点の左右と、無限遠での極限

顔つき　 の概形を描け。

中身　定義域の端すべてで極限をとる。除外点では左右別々に。

枝の個数を数える　除外点が2つあれば、定義域は3つの区間に分かれ、グラフは3本以上の枝になります。各枝について「両端でどこへ行くか」と「途中で極値をとるか」を押さえれば、概形が確定します。横浜国立大学の問題では が除外点で4本の枝になり、極値は の1つだけでした。

08増え方の強さの序列を使う

顔つき　、。

中身　 では指数 多項式 対数。 では （）。

端点の極限は「はさみうち」で示す　（）は直感的には「 のほうが強い」ですが、答案では証明が要ります。 のような不等式を作って挟むのが標準的な処理です（富山大学の実例）。極限の型09と同じ発想です。

09候補は極値と端点

顔つき　「区間における最大値・最小値を求めよ」。

中身　増減表を書き、区間内の極値と端点の値を比べる。端が開いているなら極限で確認。

開区間では最大値が存在しないことがある　 で が単調増加なら、上限はあっても最大値はありません。「最大値を求めよ」と書いてあるなら存在するはずなので、存在しない結論が出たら計算を疑ってください。

10変数を1つ選び、図形量をその関数で表す

顔つき　「円に内接する三角形の面積の最大値」「線分の長さの最小値」。

中身　角や長さを1文字にとり、求める量をその関数として書いてから微分する。

変数の選び方で計算量が変わる　角をとるか、長さをとるか、媒介変数をとるか。「求める量がいちばん簡単に書ける変数」を選ぶのが原則です。そして変数の変域を必ず書く――図形的な制約（三角形が作れる範囲など）が変域として現れます。

11 が解をもち、かつ符号が変わる

顔つき　「極値をもつような の範囲」。

中身　 が実数解をもつだけでは不十分。その前後で の符号が変わることまで必要。

重解では符号が変わらない　 なら で符号が変わらず、極値になりません。「異なる2実解」を要求するのが標準ですが、 の形によっては別の判定が要ります。数学IIの微分法で扱った4次関数の例が、まさにこの注意点でした。

12文字定数を分離して水平線で数える

顔つき　「 の解の個数を で場合分けせよ」。

中身　 と分離し、右辺のグラフと水平線 の交点を数える。

分離できれば、グラフが1本に固定される　 が動いてもグラフは変わらず、水平線だけが上下する。これが分離の最大の利点です（数学IIの型06と同じ）。数学IIIでは分離後の関数に漸近線があることが多いので、端点の極限まで調べてから交点を数えてください。

13接点をパラメータにして、その個数を数える

顔つき　「原点を通る接線をすべて求めよ」。

中身　接点を とおいて接線を書き、通る点を代入。得られた の方程式の実数解の個数＝接線の本数（1対1対応が成り立つとき）。

指数関数では方程式がきれいに落ちることが多い　 なら、原点を通る条件から となり、 より という2次方程式に落ちます（岡山大学の実例）。指数因子が共通して出てくるので、それを括り出すと次数が下がる――数学IIIの接線問題ではよくある構造です。

14「値が一致」かつ「傾きが一致」

顔つき　「2曲線が接するような の値」。

中身　接点を として と の2本を立てる。

未知数と式の本数が合う　未知数は と の2つ、式も2本。だから必ず解けると分かって進められます。共通接線なら接点が2つになるので、未知数3つ・式4本（うち1本は接線の一致）という構成になります。

15差を関数にして、最小値が0以上を示す

顔つき　「 のとき を示せ」。

中身　（左辺）（右辺）を とおき、 の最小値が0より大きいことを示す。

端点で0にならない場合は最小値を求める　 が使えるときは「」だけで済みますが、そうでないときは最小値そのものを計算して符号を確かめる必要があります。富山大学の問題では最小値が でした。 という粗い評価で足りることも確認しておくと、答案が短くなります。

16上に凸で両端が0なら、間はすべて0以上

顔つき　「重み付き相加相乗平均を示せ」「接線が曲線の上にあることを示せ」。

中身　（上に凸）で なら、 で 。

凸性は「増減表を書かずに済ませる」道具　上に凸ということは が単調減少。だから となる点は高々1つで、そこで極大。両端が0なら、間は必ず0以上。この論法は増減表を書かなくても成立します（神戸大学の実例）。凸性はまた「接線とグラフの上下」も決めるので、 のような不等式も一発で出ます。

171階が速度、2階が加速度、速さの積分が道のり

顔つき　「時刻 における点 P の速度・加速度」「通過する道のり」。

中身　、、道のり 。

速さを因数分解できると積分が一瞬で終わる　名古屋工業大学の問題では、和積の公式で と分解でき、 という極めて簡単な形になりました。成分のまま2乗和の根号を計算すると大変ですが、因数分解しておくと絶対値だけになる――道のりの問題では、まず速度の因数分解を試してください。

18

顔つき　「 の近似値」「平均値の定理を用いて示せ」。

中身　接線で近似する。平均値の定理は となる が に存在。

平均値の定理は「差を微分係数に翻訳する」道具　 という差の評価を、 という積の評価に変えられます。 の範囲が分かっていれば、そのまま差の範囲が出る。不等式の証明や極限のはさみうちで頻繁に使います。