空間図形は「立体を想像できないと解けない」と思われがちですが、実際は逆です。入試で問われるのは、立体そのものではなく「立体を平面に落とす技術」――展開図、投影図、そして切り口。立体のまま考えようとするから難しくなるので、紙の上に描ける形に変換してしまえば、あとは中1の平面図形の知識だけで解けます。体積・表面積の公式も、覚えるのは4つだけ。このページは、中1空間図形の解法を10の型に分けて並べた辞典です。型は当てはめるための箱ではなく、「この立体を、どうやって平面に落とすか」を決めるための道具として並べています。
このページの10型
- 直線と平面の位置関係
- ねじれの位置
- 立体の名前と構成要素
- 投影図（真上・真横から見る）
- 展開図
- 回転体
- 角柱・円柱の体積と表面積
- 角錐・円錐の体積と表面積
- 球の体積と表面積
- 立体の表面上の最短距離
1. 背骨——立体は「平面に落として」考える
立体を平面に落とす3つの方法
展開図 切り開いて平らにする → 表面積、表面上の最短距離に使う
投影図 真上・真正面から見る → 形の判別、高さの把握に使う
切り口（断面） 平面で切る → 体積、対称性の把握に使う
「表面上を通る最短距離」は、展開図にすれば直線になります。円錐の側面を這って一周する糸の長さを立体のまま考えるのは不可能ですが、展開図では扇形の上の直線――中1の知識で長さが求まります（三平方の定理を習えばさらに簡単になります）。
同様に、「この立体の体積」は断面積 × 高さ（柱）か、その （錐）。立体を想像する必要はなく、底面の形さえ分かればよいのです。空間図形が苦手な人は、たいてい「立体のまま考えよう」としています。
2. 覚える公式は4つだけ
体積と表面積
| 立体 | 体積 | 表面積 |
|---|---|---|
| 柱（角柱・円柱） | （底面積）（高さ） | （底面積）（側面積） |
| 錐（角錐・円錐） | （底面積）（高さ） | （底面積）（側面積） |
| 球（半径 ） | ||
| 円錐の側面積 | ―― | （ は底面の半径、 は母線） |
「錐は柱の3分の1」――これが最大の省エネです。角柱と角錐、円柱と円錐で公式を別々に覚える必要はありません。底面と高さが同じなら、錐の体積は柱の 。
そして円錐の側面積 は、展開図から導けます。側面を開くと半径 の扇形で、その弧の長さは底面の円周 に等しい。扇形の面積は （母線）（弧の長さ）（平面図形の型09）。公式を暗記するより、この導出を1度やっておくほうが確実です。
3. 解法パターン全10型
型01 直線と平面の位置関係
01直線と平面は「含む・平行・交わる」の3通り
顔つき 「直方体で、面 ABCD に平行な辺をすべて答えよ」。
中身 直線と平面：含まれる／平行／交わる。平面と平面：一致／平行／交わる（交線ができる）。
「交わらない」＝「平行」とは限らない 平面どうしなら「交わらない＝平行」ですが、直線どうしでは違います。同じ平面上になければ、交わらなくても平行ではない――それが型02の「ねじれの位置」です。直方体を1つ描いて、実際に指でなぞって確かめるのが最も確実です。
型02 ねじれの位置
02平行でなく、交わりもしない2直線
顔つき 「辺 AB とねじれの位置にある辺をすべて答えよ」。
中身 ①同じ平面上にない ②交わらない ③平行でない。この3つを同時に満たす。
数え方を決めておくと落とさない 直方体で辺 AB とねじれの位置にある辺を探すとき、「AB と交わる辺」と「AB と平行な辺」を先に消すと、残りがねじれの位置です。直方体の辺は12本、AB 自身を除いて11本。そのうち交わるのが4本、平行が3本なので、ねじれは4本。引き算で数えると数え落としがありません。
型03 立体の名前と構成要素
03底面の形で名前が決まる
顔つき 「五角柱の面・辺・頂点の数」。
中身 角柱は面 、辺 、頂点 。 角錐は面 、辺 、頂点 。
公式を覚えるより、数え方を決める 角柱なら「底面2つ＋側面 枚」で面は 。辺は「底面の辺 本が2つ＋縦の辺 本」で 。構造から数えれば、どんな立体でも出せます。ちなみに、いずれも（頂点）－（辺）＋（面） が成り立ちます（オイラーの多面体定理）。これが検算に使えます。
型04 投影図
04真上（平面図）と真正面（立面図）の2枚で立体が決まる
顔つき 「投影図で表された立体の名前と体積」。
中身 平面図（真上から）が底面の形、立面図（真正面から）が高さと側面の形を教えてくれる。
平面図が円なら、円柱か円錐か球 立面図が長方形なら円柱、三角形なら円錐、円なら球。2枚の図の組み合わせで立体が1つに決まる――これが投影図の考え方です。立面図の縦の長さが「高さ」なので、体積計算に必要な数値がそのまま読み取れます。
型05 展開図
05組み立てたとき、どの辺とどの辺がくっつくか
顔つき 「展開図を組み立てたとき、点 A と重なる点はどれか」。
中身 となり合う面の共有辺は、そのままくっつく。離れた面どうしは、間の面を折りたたんで考える。
円錐の展開図では、弧の長さ＝底面の円周 これが最重要の関係です。半径 （母線）の扇形の弧が、底面の円周 に等しい。だから中心角 は
中心角の比は、半径の比に等しい――この式1本で、円錐の展開図の問題はすべて解けます。
型06 回転体
06軸に垂直な断面は、必ず円か円環
顔つき 「長方形を1辺を軸として1回転させてできる立体」。
中身 長方形 → 円柱、直角三角形 → 円錐、半円 → 球。軸から離れていれば穴があく。
軸に接しているかどうかが分かれ目 図形が回転軸に接していれば穴はあかず、離れていればドーナツ状になります。回転させる前に「軸からいちばん近い点と遠い点」を確認する――これで断面の形（円か円環か）が決まります。この考え方は高校の回転体の体積でもそのまま使います（体積の型05）。
型07 角柱・円柱の体積と表面積
07側面積は「底面の周 × 高さ」
顔つき 「底面の半径 、高さ の円柱の表面積」。
中身 体積は（底面積）（高さ）。側面積は（底面の周）（高さ）。表面積は（底面積）（側面積）。
側面を開くと長方形になる 円柱の側面を切り開くと、たてが高さ 、よこが底面の円周 の長方形。だから側面積は 。角柱でもまったく同じで、よこが底面の周の長さになります。公式を分けて覚える必要はありません。
型08 角錐・円錐の体積と表面積
08体積は柱の 、円錐の側面積は
顔つき 「底面の半径 、母線 の円錐の表面積」。
中身 表面積 。体積は高さ（母線ではない）を使う。
「母線」と「高さ」を取り違えない 円錐で最も多い誤りがこれです。母線は斜めの線、高さは頂点から底面に下ろした垂線。体積には高さ、側面積には母線を使います。上の例なら高さは （三平方の定理、中3で学習）。図に「母線 」「高さ 」「底面の半径 」を書きこんでから式を立てると、取り違えません。
型09 球の体積と表面積
09、
顔つき 「半径 の球の体積と表面積」「半球の表面積」。
中身 体積 、表面積 。半球の表面積は「球の半分＋切り口の円」。
半球の表面積で切り口を忘れる 半球の表面積は だけではなく、平らな切り口の円 を足して 。「表面」とは外から触れるところ全部です。覚え方として、球の表面積は「同じ半径・高さ の円柱の側面積」と等しい（）――これは古代ギリシャの発見です。
型10 立体の表面上の最短距離
10展開図にすれば、答えは直線
顔つき 「円錐の側面を一周する糸の最短の長さ」「直方体の表面を通る最短経路」。
中身 展開図をかいて、2点を直線で結ぶ。その長さが最短。
「平面上で2点を結ぶ最短経路は直線」――これだけ 立体の表面上ではぐにゃぐにゃした曲線に見えても、展開図に直せば直線です。ポイントは「どの面を通るか」で展開図が変わること。直方体なら通る面の組み合わせが何通りかあるので、すべて試して最も短いものを選びます。円錐なら、展開図の扇形の中心角を型05で求めるのが第一歩です。
4. 例題で確かめる
この単元の解法パターンは全10型で、下にある例題5問で確かめているのは7型です。残りの3型は、ページ下部の演習で扱っています。1問が複数の型にまたがることも、同じ型を複数の例題で扱うこともあるため、例題の数と型の数は必ずしも一致しません。
ここからは、数強塾が作成したオリジナルの例題で型を確かめます。掲載しているすべての数値は Python で検算しています。
例題1 ―― 型02・型03。引き算で数える
【例題1】（数強塾オリジナル）
直方体 ABCD-EFGH について、次の問いに答えなさい。
(1) 辺 AB と平行な辺をすべて答えなさい。
(2) 辺 AB とねじれの位置にある辺は何本ありますか。
(3) 六角柱の面・辺・頂点の数をそれぞれ求め、（頂点）－（辺）＋（面）を計算しなさい。
【解答】
(1) DC、EF、HG (2) 本 (3) 面 、辺 、頂点 。
(1) 直方体では、辺 AB と平行な辺は3本（同じ向きの辺が全部で4本あり、AB 自身を除く）。DC、EF、HG です。
(2) 引き算で数えます（型02）。
| 分類 | 本数 | 内訳 |
|---|---|---|
| 辺 AB 自身 | ―― | |
| AB と交わる辺 | AD、AE、BC、BF | |
| AB と平行な辺 | DC、EF、HG | |
| ねじれの位置 | DH、CG、EH、FG |
(3) 六角柱は の角柱（型03）。
面：底面2つ＋側面6枚で 。辺：底面の辺 本が2つと縦の辺 本で 。頂点：。
は、凸多面体で成り立ちます。三角錐なら 、立方体なら 。数え間違えていないかの検算に使えます。
この式はオイラーの多面体定理といい、高校の「図形の性質」でも登場します（図形の性質の型12）。中1で数え方を身につけておくと、そのまま使えます。
例題2 ―― 型05・型08。円錐の展開図
【例題2】（数強塾オリジナル）
底面の半径が cm、母線の長さが cm の円錐があります。
(1) 側面の展開図（おうぎ形）の中心角を求めなさい。
(2) 側面積を求めなさい。
(3) 表面積を求めなさい。
【解答】
(1) (2) cm (3) cm
(1) 展開図の弧の長さ＝底面の円周（型05）。中心角を とすると
両辺を で割って
中心角の比＝半径の比
底面の半径 母線が、そのまま「円全体の何分のいくつか」になります。この関係を覚えておくと、(1) は暗算で終わります。
(2) おうぎ形の面積として計算します。
公式 でも同じです。
(3) 表面積は底面＋側面（型08）。
という公式の正体は、扇形の面積。(2) で2通りに計算して一致したことが、その証拠です。公式を忘れても、展開図から導ける――これが円錐の問題で強い理由です。
なおこの円錐の高さは です。正しい高さが無理数になることもあります。答えが整数かどうかでは誤りを判定できません。母線は頂点から底面の円周までの側面上の線分、高さは頂点から底面へ下ろした垂線として区別しましょう。
例題3 ―― 型07・型08。柱と錐を比べる
【例題3】（数強塾オリジナル）
底面が1辺 cm の正方形、高さが cm の四角柱と四角錐があります。
(1) 四角柱の体積を求めなさい。 (2) 四角錐の体積を求めなさい。
(3) 四角柱の表面積を求めなさい。
【解答】
(1) cm (2) cm (3) cm
(1) 底面積は 。
(2) 錐は柱の （型08）。
(3) 表面積は底面2つ＋側面（型07）。側面積は（底面の周）×（高さ）。
底面の周は なので
側面を1枚ずつ数えても同じ
側面は の長方形が4枚で 。
（底面の周）×（高さ）と一致します。展開図を思い浮かべると、側面全体は「たて9・よこ24の長方形」1枚になります。
「錐は柱の3分の1」を体感で確かめる。同じ底面・同じ高さなら、錐に水を入れて柱に移すと、ちょうど3杯で満たされます。この事実は中1では証明せずに使いますが、高校の積分で証明できます（体積の型08）。
そして錐の体積では「高さ」が必要です。四角錐の側面の斜辺（斜高）を高さと取り違えると、答えが大きくなりすぎます。高さは頂点から底面に下ろした垂線――ここだけは毎回確認してください。
例題4 ―― 型06。回転体を作る
【例題4】（数強塾オリジナル）
直角三角形 ABC があり、、 cm、 cm です。
(1) 辺 AB を軸として1回転させてできる立体の名前と体積を求めなさい。
(2) 辺 BC を軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。
【解答】
(1) 円錐、 cm (2) cm
(1) AB を軸にすると、BC が底面の半径、AB が高さになります（型06）。
| 軸 | 底面の半径 | 高さ | 体積 |
|---|---|---|---|
| AB（長さ6） | |||
| BC（長さ8） |
したがって (1) は円錐で体積 cm。
(2) 表より cm。
同じ三角形でも、軸が違えば体積が違う
と で、1.33倍も違います。
理由は半径が2乗で効くから。半径が大きくなるほうが体積は大きくなります。 を半径にしたほう（）が大きいのは、そのためです。
「どちらが軸か」で、半径と高さの役割が入れかわる。回転体の問題でいちばん多い誤りが、これを取り違えることです。軸に平行な辺が「高さ」、軸に垂直な辺が「半径」――図に矢印を書きこんで確認してください。
この「半径は2乗で効く」という感覚は、答えの妥当性を判断する材料になります。もし2つの答えが同じになったら、どこかで間違えています。
例題5 ―― 型10。展開図で最短距離
【例題5】（数強塾オリジナル）
底面の半径が cm、母線の長さが cm の円錐があります。底面の周上の点 A から出発して側面を1周し、A に戻る糸をかけます。
(1) 側面の展開図の中心角を求めなさい。
(2) 糸の長さが最も短くなるとき、その長さを求めなさい。
【解答】
(1) (2) cm（約 cm）
(1) 中心角の比＝半径の比（型05）。
(2) 展開図にすると、糸は直線になります（型10）。
展開図で何が起きているか
側面を切り開くと、半径 、中心角 のおうぎ形。
点 A は切り開いた両端に現れます。頂点を O とすると、この2点を A、A’ として 、。
最短の糸は線分 AA’です。
は直角二等辺三角形なので
（三平方の定理から 。）
妥当性の確認
底面の円周は cm。
糸は底面をぐるっと回るより短い（）――側面を斜めに突っ切るので、これは妥当です。
また、母線を2本たどると cm。それよりも短いので、こちらも妥当です。
「立体の表面を這う最短経路」は、展開図の直線。これがこの型のすべてです。立体のまま想像しようとすると絶対に解けませんが、紙に開いてしまえば中1の知識（三平方の定理は中3）で解けます。
そして検算の仕方も大切です。求めた長さが「底面を1周する長さ」より長かったり、「母線2本」より長かったりしたら、それは最短ではありません。上限と下限を先に見積もっておくと、答えの妥当性がその場で判断できます。
5. よくある質問
Q1. ねじれの位置の辺を数え落とします。
A. 引き算で数えてください。全体の辺の数から「その辺自身」「交わる辺」「平行な辺」を引けば、残りがねじれの位置です。1本ずつ探すより確実です。
Q2. 円錐の展開図の中心角が出せません。
A. 「中心角÷360＝底面の半径÷母線」です。これは「展開図の弧の長さ＝底面の円周」から出ます。この1本を覚えれば十分です。
Q3. 母線と高さを取り違えます。
A. 図に 、、 を書きこんでください。体積には高さ、側面積には母線を使います。母線は斜めの線、高さは頂点から底面への垂線です。
Q4. 半球の表面積で減点されました。
A. 切り口の円を足し忘れていませんか。半球の表面積は「球の半分」＋「平らな円」です。「表面」とは外から触れるところ全部を指します。
Q5. 立体を頭の中で想像できません。
A. 想像しなくてよいのです。展開図・投影図・断面のどれかで平面に落としてください。空間図形の問題は、平面に落とせば中1の平面図形の知識だけで解けます。
6. 次に読むページ
- 中1数学の要点辞典 ―― 全7単元の公式・定石・つまずきポイント。
- 中1 平面図形の解法パターン全10型 ―― おうぎ形の公式の復習。
- 中3 三平方の定理の解法パターン ―― 立体の長さを求める道具。
- 体積・曲線の長さの解法パターン全13型（高校） ―― 断面積の積分による体積。
- 解法パターン事典（総索引）
空間図形が想像できない人へ
空間図形でつまずく生徒のほとんどは、想像力が足りないのではなく「平面に落とす手順を教わっていない」だけです。数強塾では、立体の問題を見たらまず「展開図・投影図・断面のどれで考えるか」を決めさせ、必ず平らな図をかいてから式を立てさせています。オンラインの完全1対1で、プロ講師のみが担当します。
数強塾オリジナル演習｜10の型を1問ずつ
上の10型を、数値と設定だけ変えた自作問題で1問ずつ確認します。空間図形は「平面に落とす」のが唯一の方針です。展開図・投影図・断面——どれも立体を平面に写して考えています。
型01 直線と平面の位置関係
直方体 –（ が上の面、 の真下が ）について、辺 と
(1) 平行な面 (2) 垂直な面 (3) を含む面 をそれぞれ答えよ。
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(1) 面 、面 （辺と面が交わらない）
(2) 面 、面 （辺が面に垂直に突き刺さる）
(3) 面 、面
6面がちょうど「含む2・平行2・垂直2」に分かれる。数え上げたら合計6になるか必ず確認する。
「辺と面が平行」とはまったく交わらないこと。
型02 ねじれの位置
直方体 – で、辺 とねじれの位置にある辺をすべて答えよ。
解答・解説を見る
辺は全部で12本。まずねじれでないものを除く。
・ 自身：1本
・ と交わる： の4本
・ と平行： の3本
残りが の4本（）
ねじれの位置＝「平行でも交わりもしない」。平面では起こらず、空間だけで起きる関係。
引き算で数えるのが確実。1本ずつ探すと必ず落とす。
型03 立体の名前と構成要素
(1) 五角柱の頂点・辺・面の数を求めよ。
(2) 角柱、 角錐について同じものを で表せ。
(3) 五角柱でオイラーの多面体定理を確かめよ。
解答・解説を見る
(1) 頂点 10、辺 15、面 7
（上下の五角形で頂点 、辺は上下 に縦 を足して 、面は側面 に上下2つ）
(2) 角柱：頂点 、辺 、面
角錐：頂点 、辺 、面
(3) 2 ✓
どんな多面体でも 。数え間違いの検算に使える。
型04 投影図
次の投影図はどんな立体か。
(1) 立面図が長方形、平面図が円
(2) 立面図が三角形、平面図が円
(3) 立面図も平面図も円
(4) 立面図が長方形、平面図が正方形
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(1) 円柱（横から見て長方形、上から見て円）
(2) 円錐
(3) 球（どこから見ても円）
(4) 四角柱（直方体）
立面図＝正面から、平面図＝真上から。
(2) は「三角錐」と答える誤りが多いが、三角錐なら平面図は三角形。平面図が円＝底面が円と読む。
型05 展開図
底面の半径が 、母線が の円錐について答えよ。
(1) 側面を開いた扇形の中心角 (2) 側面積 (3) 表面積
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(1) 扇形の弧は底面の円周 。
半径 の円の周 に対して なので
（公式 と一致）
(2) （＝）
(3) 底面 を足して
（扇形の面積が なので、円錐の側面積 は暗記不要）
型06 回転体
(1) 直角をはさむ2辺が の直角三角形を、長さ の辺を軸として1回転させた立体の名前と体積。
(2) 縦 、横 の長方形を、縦の辺を軸として1回転させた立体の名前と体積。
解答・解説を見る
(1) 底面の半径 、高さ の円錐
（軸にした辺が高さ、もう一方が底面の半径）
(2) 底面の半径 、高さ の円柱
回転体は「軸からいちばん遠い点」がふちを作る。軸をどちらに取るかで立体が変わるので、図に軸を書き込んでから考えること。
型07 角柱・円柱の体積と表面積
底面が半径 の円、高さ の円柱について、体積と表面積を求めよ。
解答・解説を見る
体積 （底面積）× 高さ
表面積 底面2つ ＋ 側面
側面は開くと縦 ・横 の長方形。
側面積は「底面の周 × 高さ」。角柱でも同じで、これは柱体が「底面と同じ板を積んだもの」だからです。
型08 角錐・円錐の体積と表面積
底面の半径が 、高さが の円錐について答えよ。
(1) 母線の長さ (2) 体積 (3) 表面積
解答・解説を見る
(1) 半径・高さ・母線で直角三角形。三平方より
10（ の相似）
(2)
(3) 側面 、底面 。
合わせて
（体積と表面積の数値がたまたま一致する。単位は違うので「等しい」わけではない）
母線は高さではない。体積には高さ 、側面積には母線 を使う——ここが最大の急所。
型09 球の体積と表面積
半径 の球について答えよ。
(1) 体積 (2) 表面積 (3) この球がちょうど入る円柱の体積と、球との体積比
解答・解説を見る
(1)
(2)
(3) 外接円柱は半径 、高さ 。
比は
（アルキメデスが墓に刻ませた関係。表面積も で同じ）
型10 立体の表面上の最短距離
底面の半径が 、高さが の円柱がある。底面の周上の点 から側面を1周して、 の真上の点 までひもをかけるとき、最短の長さを求めよ。
解答・解説を見る
側面を展開して、直線を引く。
展開図は横が底面の円周 、縦が高さ の長方形。
1周して真上に行くので、長方形の対角線が最短。
10
「曲面上の最短距離」は展開図で直線——立体の問題を平面に落とす、この単元の背骨。
（直方体でも同じ。ただし展開のしかたが複数あるので、全部試して最小を選ぶ。縦3・横4・高さ12なら で最小は ）
覚える公式は4つだけ
| 体積 | 側面積 | |
|---|---|---|
| 柱体 | 底面積 × 高さ | 底面の周 × 高さ |
| 錐体 | × 底面積 × 高さ | （円錐） |
| 球 | （全表面） |
そして円錐の側面積 は覚えなくてよい——展開図が半径 ・弧 の扇形なので、 で出ます。同じ理由で、展開図の中心角も が導けます。
この単元で最も多い失点は「母線と高さの取り違え」（型08）。体積には高さ、側面積には母線。図に直角三角形（半径・高さ・母線）を書き込んでから式を立ててください。
「なぜそうなるのか」へ
公式が4つしかないのは、どれも「断面を積み上げる」という1つの考え方から出ているからです。そこまで下りておくと、忘れても復元できます。
- なぜ柱体の体積は底面積×高さなのか ── 型07の土台。「底面と同じ板を高さのぶん重ねる」から、底面の形を問いません。
- なぜ錐体の体積には1/3が付くのか ── 型08の 。断面積が2乗で変化することが原因です。
- なぜ球の体積は(4/3)πr³なのか ── 型09。積分を使わず「円柱−円錐」との断面比較で示せます。
- なぜ球の表面積は4πr²なのか ── 型09の 。外接円柱の側面積と等しいことから出ます。
- なぜ扇形の面積は弧の長さ×半径÷2なのか ── 型05・型08。円錐の側面積 を暗記から解放してくれます。
- なぜ三平方の定理が成り立つのか ── 型08の母線、型10の最短距離。空間図形では必ず直角三角形を探します。
関連ページ
要点辞典この単元の公式・定石・つまずきやすい所は 中1数学の要点辞典：空間図形 にまとめてあります。
