中1データの活用｜平均・中央値・相対度数の10型と例題

01階級の幅をそろえ、正の字で数える

出題の例　「次のデータをもとに、階級の幅を10点として度数分布表を完成させよ」。

考え方　このページでは階級の幅をすべて同じにする。数え漏れを防ぐため、印をつけながら数える。

合計で必ず検算する　度数の合計が、もとのデータの個数と一致しなければ数え間違いです。ただし、別の階級への入れ間違いは合計だけでは見つからないので、各値の分類も確認します。階級の幅がそろっていないと、ヒストグラムの棒の高さが比べられなくなるので、このページでは幅をそろえます。幅が異なるヒストグラムでは、棒の面積が度数に対応するよう高さを調整する別の扱いが必要です。

02棒はすき間なく、折れ線は階級値の上

出題の例　「度数分布表をヒストグラムに表せ」。

考え方　ヒストグラムの棒はすき間をあけない（階級が連続しているから）。度数折れ線は各棒の上辺の中点を結ぶ。

棒グラフとヒストグラムは違う　棒グラフは「種類」を比べるのですき間をあけますが、ヒストグラムは「連続した数の範囲」を表すのですき間をあけません。この違いを説明できるかが、記述問題で問われます。度数折れ線の両端は、度数0の階級まで伸ばして横軸につけます。

03度数分布表からは「階級値 × 度数」で計算

出題の例　「度数分布表から平均値を求めよ」。

考え方　（階級値 × 度数）の合計 \(\div\) 度数の合計。

もとのデータの平均と一致するとは限らない　度数分布表では、同じ階級の値をすべて階級値で代表させるので、これは近似値です。もとのデータがあるなら、そのまま合計して割ったほうが正確。「なぜ階級値を使うのか」＝「各階級の値を階級値で代表させて、平均を近似するため」――この説明ができるようにしてください。正負の数の型10の「基準からの差」を使うと、計算が軽くなります。

04並べてから、真ん中

出題の例　「次のデータの中央値を求めよ」。

考え方　小さい順に並べて、個数が奇数なら真ん中の値、偶数なら真ん中2つの平均。

中央値を求める前に、値が小さい順になっているか確認する　大小が未整理のまま、与えられた順の中央を取るのは誤りです。中央値は「順位の真ん中」なので、まず並べ替えることが大切です。個数が偶数のとき、真ん中2つの平均がデータにない値になることもありますが、それで構いません。\(n\) 個のデータなら、中央値の位置は \(\dfrac{n+1}{2}\) 番目（\(n\) が偶数なら小数になり、前後2つの平均を意味します）。

05度数分布表では「度数が最大の階級の階級値」

出題の例　「度数分布表から最頻値を求めよ」。

考え方　もとのデータなら最も多く現れる値。度数分布表なら度数が最大の階級の階級値。

「階級」ではなく「階級値」で答える　度数分布表の最頻値を「20以上30未満」と答えるのは誤りです。答えは階級値の \(25\)。数値で答えることに注意してください。最頻値は「いちばんよくある値」なので、靴のサイズや服のサイズのように「よく出るものを知りたい」場面で使われます。

06極端な値と調べたい目的を確認

出題の例　「このデータの代表値として適切なものを選び、理由を述べよ」。

考え方　外れ値があり順位の中央を知りたいなら中央値、よくある値を知りたいなら最頻値、全体をならしたいなら平均値。

記述で問われるのは「理由」　「中央値が適切である。なぜなら、1人だけ極端に大きい値があり、平均値はその値に引きずられて全体の実感とずれるから」――この形で書けるようにしてください。理由の説明では「極端な値がある」「データが左右対称でない」など、データの特徴に触れることが必要です。

07その階級の割合。合計は \(1\)

出題の例　「相対度数を求めよ」「人数の違う2つの学級を比べよ」。

考え方　（その階級の度数）\(\div\)（度数の合計）。合計が \(1\) になるか必ず検算。

相対度数は「人数の違う集団を比べる」ためにある　30人の学級と40人の学級で、ある階級に入る人の割合を比べたいとき、人数だけでは比較しにくくなります。割合に直せば、大きさの違う集団どうしを比べられる――これが相対度数の存在理由です。四捨五入して合計が \(1\) にならないこともあるので、その場合は問題の指示に従ってください。

総度数は0より大きいものとします。全データを重複なく分類したとき、丸める前の相対度数の合計は1です。データが0個なら、この割り算はできません。

08そこまでの合計。「〜未満は何人か」に答える

出題の例　「30点未満の人数」「累積相対度数が \(0.5\) を超える階級」。

考え方　最初の階級からその階級までの度数の合計。累積相対度数は、その割合。

中央値は中央の順位を累積度数で追って考えます。奇数個なら中央1つ、偶数個なら中央2つの順位を調べます。中央2つが別の階級にある場合、中央値の所属階級を断定できないことがあります（例題2）。最後の累積度数は全体の個数、累積相対度数は丸める前の値で1です。

09最大値 － 最小値

出題の例　「このデータの範囲を求めよ」「範囲が大きいのはどちらか」。

考え方　（最大値）\(-\)（最小値）。散らばりの大きさを表す最も簡単な指標。

範囲は外れ値に非常に弱い　1つでも極端な値があると、範囲は一気に大きくなります。だから範囲だけで「散らばりが大きい」と結論してはいけません。この弱点を補うために、四分位範囲や分散・標準偏差を学びます（データの分析の型04）。中1では「範囲には限界がある」と知っておけば十分です。

10回数を増やすと、相対度数はある値に近づく

出題の例　「表が出た相対度数の表から、表が出る確率を推定せよ」。

考え方　実験の回数を増やすと、相対度数は一定の値に近づく。その値を確率とみなす。

確率0.5は、2回ごとに必ず1回起こるという意味ではありません。確率は1回の試行についても定義できます。同じ確率で独立に試行を繰り返すモデルでは、回数が十分多いと相対度数が真の確率から大きく離れる可能性が小さくなります。ただし、毎回必ず近づくわけではありません。これが大数の法則につながる考え方です（統計的な推測の型11）。