中2数学 図形の証明の解法パターン全12型｜合同条件・二等辺三角形・平行四辺形・等積変形を例題つきで

01角を「移す」ための3つの道具

顔つき　「 のとき の大きさ」。

中身　対頂角はつねに等しい。平行なら同位角・錯角が等しい（逆も成り立つ）。

「平行だから」が必要なのは同位角・錯角だけ　対頂角は平行に関係なく、いつでも等しい。同位角・錯角は「平行線」という条件がなければ等しくありません。証明で「錯角は等しい」と書くときは、必ず「 より」を添えてください。逆に「錯角が等しいから平行」という使い方もあり、平行を示すときに使います。

02外角＝隣り合わない2つの内角の和

顔つき　「 の大きさを求めよ」（星形や折れ線の角）。

中身　内角の和は 。外角は、隣り合わない2つの内角の和に等しい。

外角の性質は「補助線なしで角を集める」道具　複雑な角度の問題では、外角を使うと1ステップで角が合流します。星形の5つの角の和が になるのも、外角の性質を繰り返し使えば示せます。「角を1か所に集める」――これが角度計算の目標です。

03内角の和は 、外角の和はつねに

顔つき　「正十二角形の1つの内角」「内角の和が の多角形」。

中身　 角形の内角の和 。外角の和は によらず 。

正多角形なら外角から攻めるほうが速い　正 角形の1つの外角は 。内角はその補角で 。 を計算するより、はるかに簡単です。正十二角形なら外角 、内角 。「外角の和は必ず360度」という一定性が、計算を軽くします。

043つのうち、どれか1つを選ぶ

顔つき　「 を証明せよ」。

中身　①3組の辺　②2組の辺とその間の角　③1組の辺とその両端の角。

「その間の角」「その両端の角」を外さない　②で角が辺の間になければ合同とは言えません（2辺と別の角では反例があります）。集めた3つの等式が、どの条件に当てはまるかを確認してから書く――ここを曖昧にすると減点されます。対応する頂点の順番も大切で、 と書いたら 、、 の対応です。

05直角があれば、条件が2つで足りる

顔つき　「 のとき」。

中身　①斜辺と1つの鋭角　②斜辺と他の1辺。

「斜辺」が必ず入る　どちらの条件にも斜辺が含まれます。斜辺以外の2辺が等しいだけでは、直角三角形の合同条件にはならない――ただしその場合は、三平方の定理（中3）で斜辺も等しくなるので合同です。中2の段階では「斜辺を含む2つの条件」だけを使ってください。

06宣言 → 根拠つきの等式 → 合同条件 → 結論

顔つき　「次のことを証明しなさい」。

中身　上の「証明の答案の型」の4ステップ。①②③の番号を振ると読みやすい。

書く順番は決まっている　考える順番（結論から逆算）と、書く順番（仮定から結論へ）は逆です。下書きで逆算し、清書で順に書く――この2段構えを最初から意識してください。「共通な辺」「共通な角」は見落としやすい根拠なので、2つの三角形が辺や角を共有していないか必ず確認しましょう。

07「2辺が等しい」と「2角が等しい」は行き来できる

顔つき　「 のとき 」「 のとき二等辺三角形」。

中身　性質：2辺が等しい → 底角が等しい。条件：2角が等しい → 二等辺三角形。

「性質」と「条件」は矢印の向きが逆　性質は「二等辺三角形だから〜」、条件は「〜だから二等辺三角形」。問題が「何を示せと言っているか」で、どちらを使うかが決まります。また頂角の二等分線は、底辺を垂直に二等分する――この性質は補助線を引く根拠としてよく使われます。

083辺が等しい＝3角が

顔つき　「正三角形 ABC の辺上に点をとって〜」。

中身　正三角形は二等辺三角形の特別な場合。3つの角がすべて 。

正三角形の辺と角から、使える条件を確認する　3辺が等しく、3角が です。比べる2つの三角形のどの辺や角に、この性質を使えるかを確認します。等しいものを見つけたあとは、使いたい合同条件に必要な組合せがそろっているかを調べましょう。「正三角形だから 、」と、使える情報を最初に全部書き出してください。

092組の対辺が平行 → 4つの性質が出る

顔つき　「平行四辺形 ABCD において〜を証明せよ」。

中身　①2組の対辺が等しい　②2組の対角が等しい　③対角線がそれぞれの中点で交わる。

性質は「使ってよい情報」　「平行四辺形である」と与えられたら、上の3つ（と定義の「2組の対辺が平行」）を根拠として自由に使えます。証明で「平行四辺形の対辺は等しいので 」と書けばよい。使える情報を最初に図に書きこむ――等しい辺には同じ印、等しい角には同じ印をつけると、合同が見えてきます。

105つのうち、どれか1つを示せばよい

顔つき　「四角形 ABCD が平行四辺形であることを証明せよ」。

中身　①2組の対辺が平行　②2組の対辺が等しい　③2組の対角が等しい　④対角線がそれぞれの中点で交わる　⑤1組の対辺が平行で長さが等しい。

⑤がいちばん使いやすい　「1組の対辺が平行で長さが等しい」――示すことが2つで済むので、5つの中で最も条件が軽い。平行を示すには錯角か同位角、長さを示すには合同。どの条件を使うかを最初に宣言してから証明を書くと、方針が定まります。

11対角線の性質で見分ける

顔つき　「平行四辺形 ABCD が長方形になる条件」。

中身　長方形：対角線の長さが等しい。ひし形：対角線が垂直に交わる。正方形：その両方。

対角線に注目すると、区別が1行で言える　どれも平行四辺形なので「対角線がそれぞれの中点で交わる」は共通。そこに「長さが等しい」を足せば長方形、「垂直」を足せばひし形。両方足せば正方形。この整理を持っていると、「〜になる条件を求めよ」という問題で迷いません。

12底辺が共通で、頂点が平行線上にあれば面積は等しい

顔つき　「 のとき、 と面積が等しい三角形」。

中身　底辺が同じで、高さが同じなら面積は等しい。平行線があれば高さが等しい。

平行線を見たら等積変形を疑う　平行線どうしの距離はどこで測っても同じなので、その2直線に頂点を持つ三角形は、底辺が共通なら面積が等しい。「四角形を、面積の等しい三角形に作り変える」という作図問題も、この性質でできます。図形の面積を直接計算せずに比べられる――強力な道具です。