中3数学 標本調査の解法8型｜割合・捕獲再捕獲・12問の詳解

全体の傾向でよいのか、全員の個別情報が必要かを見ます。

寿命検査は測定した品を使い切るため、売る品を残す目的には一部の検査が合います。全て使い切ってよい研究なら全数検査も可能で、「壊す検査は絶対に全数にできない」とは言えません。進路希望は個別の希望を知ることが目的なので、500人の平均のような集計で未調査の生徒の希望を代用できません。

後半では全80000人について結論を出したいので、そこが母集団。500人の集まりが標本で、人数500が大きさです。調査の目的によって誰を母集団とするかを先に決めます。全員へ依頼することと、実際に全員の回答を得ることも区別します。

6の分母は標本300。全体の数15000は次に使います。

比例式の変形では、正の分母300と15000を両辺に掛けました。300xは同じxが300個分。その両辺を300で割るとx一つ分になります。別解は全体が標本の15000/300=50倍なので、不良6個も50倍して300と推定する方法です。

標本数300と推定した不良数300は同じ数字でも意味が違います。検算は300/15000=6/300。これは対応する式が合う確認で、真の不良品がちょうど300個ある証明ではありません。標本内の不良率2％は観測した値、母集団の不良率約2％は推定です。

全体の印付き60と、標本の印付き5を対応させます。

80匹中の印付き割合は1/16。池全体でも印付き60匹が約1/16だとみなすため、60÷(1/16)=960です。真の総数Nが分かっていて60/Nを計算したのではなく、未知のNを推定しています。

時間を置くのは、放した場所に印付きが集中したまま捕まえる影響を減らす狙いです。ただし日数だけで無作為抽出は保証されません。閉じた集団、標識の維持・識別、印の有無で捕獲確率が変わらないこと、次の80匹を重複なく選ぶことなどを確認します。印の維持と集団の不変は「無作為抽出」という一つの語の言い換えではなく、別の仮定です。

検算60/960=5/80=1/16は推定式の確認です。仮に真の総数が960でも、次の80匹に必ず5匹の印付きが入るわけではありません。

抽出方法と、必要な精度の二つを分けます。

アで各学年が何人含まれるかや、使用時間がどちらへ偏るかは与えられていません。先着20人が全校を代表する保証がない点を指摘します。イは5％、ウは20％を調べますが、その割合だけで小さすぎる・十分とは言えません。必要な誤差幅、母集団のばらつき、質問の定義、費用を確認します。

数学的な精度を一つ比べるため、母分散σ²は600で割る定義とします。単純無作為・非復元抽出による標本平均の分散と、σ²が正の場合の標準誤差の比は次のとおりです。

標準誤差は標本平均の標準偏差です。一般の式は有限母集団N個からn個を抽出すると、分散σ²/nに補正(N−n)/(N−1)を掛けます。抽出の指示変数や各位置の共分散を使って導けます。詳しい導出は標本平均のばらつきへ進んでください。今回の計算で、120人の一回の平均が必ず30人の平均より真値に近いとは言えません。

誰が選ばれないかと、全ての50人組が等確率かを調べます。

(1)は51番以降の950人が選ばれません。名簿の順序の意味を推測しなくても判断できます。(3)も非加入者を除いています。睡眠時間などの平均がどちらへどれだけ偏るかは、実際の関係を知らないと断定できません。

(2)は番号1〜1000、範囲外・重複を再抽選する規則、一様な乱数が必要です。(4)は同じ形のくじ、十分な混合、名前を見て選ばない、戻さない条件を使います。どちらも各順序付き50人が同確率で、各50人組に対応する順序が同数なので、組も等確率になります。

個人の等確率だけでは足りません。4人からABまたはCDだけを半々で選べば、個人の包含確率は全員1/2でも、全6組は等確率でありません。また確率を使った不等確率抽出もあり、「選ばれやすさが違うなら全部無作為でない」という言い切りは避けます。問題11で例を確かめます。

割合は3/100。全体2000との倍率も使えます。

標本は全体の1/20なので、3個を20倍して60個とも計算できます。比例式なら3/100=x/2000、100x=6000、x=60です。単位は不良率なら％、個数なら個。別の100個では不良数が違う可能性がありますが、真の割合と必ず違うとも断定しません。

「約」「と推定する」などで役割を示します。推定値が小数だから無意味というわけではなく、途中計算の丸めを抑え、答えは問題の指定に合わせます。特定の一語を書かなければ必ず減点という採点基準は一般化しません。

15/120を、全体にいる印付き80匹の割合へ対応させます。

比例式80/x=15/120なら15x=9600、x=640。印付き80は全体に含まれており、魚を外から増やしたのではないので、640から80を引きません。

前提は、印が残って正しく識別されること、集団が期間中に変わらないこと、印の有無などで捕まりやすさが偏らないことです。混ざり方もこの捕獲条件を確かめる一要素です。印が一部消えれば観測rが減り、同じM,nで式の値が大きくなる方向に働きますが、現実の誤差には他の要因もあります。

80/640=15/120は対応の検算であり、真の640匹から120匹を捕れば必ず15匹と保証するものではありません。

母集団の真値は未知です。大きい標本と、一回の結果の近さを区別します。

十の位まで残すので、一の位5を四捨五入します。640と690はともに推定値で、違っても矛盾ではありません。標本割合の分散が標本数とともに減る性質と、その逆数で作る総数推定の一回の誤差を混同しないでください。r=0では逆数の式は定義できず、推定量の性質も別に考える必要があります。

極端な例として2匹中1匹に印があれば80×2/1=160と計算されます。この値を「乱暴だから数式が誤り」とするのではなく、少数の観測では割合が大きく変動し、その逆数も大きく動くと読みます。どの規模で十分かは必要精度と調査モデルから判断します。

除かれる人の通学時間が、観測した人と同じと考えてよいかを見ます。

(1)は徒歩以外の生徒が選ばれません。徒歩なら必ず短いとも限らず、全校平均との差の向きは未確認です。(2)は早く登校した人に限られます。遠距離通学や朝練などの理由を推測で事実にせず、登校時刻と通学時間が関係する可能性を考えます。

(3)は回答率50/600=1/12、約8.33％です。回答者が非回答者を代表する保証はありませんが、「回収に偏りの可能性があるなら一切意味がない」とまでは言えません。観測した50人の情報は残り、全校へ広げる際の仮定と限界を明示します。

方法を改善するなら全員の名簿から適切に選び、質問の定義と回収手順をそろえます。それでも全員の回答を必ず得られるとは保証できないので、実際の回答数・未回答理由を記録し、回答しない人を勝手に別の都合のよい人へ置き換えません。

印付き80匹と再捕獲120匹に重なりがありません。

0で割る式には値を定められません。一方、最初の印付き80匹とは別の120匹を確認したので、閉じた集団なら少なくとも200匹です。一般には重なりr匹を二重に数えないよう、M+n−r匹以上と分かります。

r=0は有限の集団でも起こります。例えば総数200匹で印付き80匹なら、残り120匹だけを再捕獲する組もあり、単純無作為抽出でその確率は正です。r=0だけで総数を一つに決めることはできません。もしこの問題でr=90と報告されたら、印付き全体80匹を超えており、式へ入れる前に記録を確認します。より詳しい確率モデルは捕獲再捕獲の比例式と限界へ進めます。

全校におけるAの割合は1/3ですが、回答者におけるAの割合は1/4です。

全校はAが3分の1、Bが3分の2なので、群ごとの平均にその重みを掛けます。120人をまとめた平均ではAが4分の1に減り、Bが4分の3に増えています。この違いを補うのが母集団の人数による重みです。40分は推定値で、実際の全校平均と確認できたわけではありません。

各人の選ばれる確率はAが30/200=0.15、Bが90/400=0.225です。等確率でなくても、群を先に定め、それぞれで適切に抽出する層化抽出として扱えます。群内の標本平均の期待値はその群の真の平均なので、既知の人数比で足した推定量の期待値も全校平均になります。ここでの期待値は、調査を同じ設計で繰り返したときの確率的な平均です。

調べた後で都合よく群を作るだけで同じ性質が保証されるわけではありません。母集団の群別人数、抽出方法、未回答や測定の問題を確認します。母集団と標本・抽出方法で、単純無作為抽出との違いを確認できます。

ばらつきが大きい群には多く配分します。有限母集団の補正も含め、A/n+B/(120−n)を最小化します。

母分散は各群の偏差平方和をその群の人数で割った値と定義します。Aは900分²、Bは100分²です。これらは問題11の観測平均から求まる値ではなく、この問題で別に与えた計画用の条件です。

A群の標本数をn、B群を120−nとします。独立な二群の平均に重み1/3、2/3を掛けて足すので、分散にはそれぞれ重みの二乗が掛かります。

各分数の最後は非復元抽出の有限母集団補正です。例えばA群を全員調べれば200−n=0となり、A群の抽出による不確かさはなくなります。式をnに依存する部分と定数に分けます。

ここでA、Bは計算用の係数で、群の名前とは区別してください。まず人数を正の実数として考えます。コーシー・シュワルツの不等式を使うと、次の下限が得られます。

不等式は、二つのベクトル(√(A/nA), √(B/nB))と(√nA, √nB)の内積に適用したものです。等号では二つが比例するので、nA/nB=√(A/B)になります。微分でも次の式が得られ、最適値より小さいnでは負、大きいnでは正です。

よって整数なら72と73を比べれば足ります。V(72)≈1.710213、V(73)≈1.710841なので、72人・48人が最小です。母集団の人数に比例させた40人・80人ではV(40)≈2.455609となります。

A群は人数が少なくても、通学時間のばらつきが大きいため相対的に多く調べる配分になりました。これは今回の母分散・人数・同額費用という条件での結果です。現実には母分散を事前調査などから見積もる必要があり、費用が群ごとに違う場合や全数調査の上限に達する場合は最適化の条件が変わります。「いつでも72対48」でも「大きい群を必ず多く調べる」でもありません。

中学で使った人数の割合が、大学では推定量の重みになります。高校の二乗・不等式・微分を使うと、その推定のばらつきを小さくする設計まで考えられます。