中3数学 二次方程式の解法パターン全10型｜3つの解き方の使い分け・解の公式・文章題を例題つきで

01 なら

顔つき　、、。

中身　 を必ずつける。 なら で 。

を忘れると解が半分になる　これがこの型で最も多い失点です。2乗して になる数は と の2つ（平方根の型01）。 の形が見えたら、 を先に書いてから を書く――順序を決めておくと忘れません。

02 の係数の半分を2乗して足す

顔つき　。

中身　 の両辺に を足して 。あとは型01。

「半分を2乗」の理由　 なので、 の係数は 。その半分が で、足すべきは 。展開の公式を逆に読んでいるだけです（展開の型02）。この操作を一般の についてやったものが、解の公式です。

03右辺を0にしてから、積の形に

顔つき　、。

中身　 より 。 は両辺を で割ってはいけない。

両辺を で割ると、解が1つ消える　 の両辺を で割ると だけになりますが、 も解です。正しくは 、 で 。「0で割るかもしれない操作」をしてはいけない――これは二次方程式で最も重要な注意です。

04

顔つき　（因数分解できない）。

中身　 を符号込みで読み取って代入する。

符号の読み取りで失敗する　 なら 。 としないこと。代入すると 。 を式の横に書き出してから代入する――この一手間で事故が防げます。最後に約分できないかも必ず確認してください。

05形を見て、最短の道を選ぶ

顔つき　いろいろな形の二次方程式が並んだ問題。

中身　 の項がない → 平方根。定数項がない → 共通因数でくくる。因数分解できる → 因数分解。それ以外 → 解の公式。

まず「整理してから」判断する　 はすでに積の形に見えますが、右辺が0でないので使えません。展開して 、因数分解して 。右辺を0にして、 の形に整えてから判断する――これが順序です。

06解を代入して、係数の方程式にする

顔つき　「 が解であるとき の値と、もう1つの解」。

中身　 を代入して を求め、 を戻してから方程式を解き直してもう1つの解を出す。

「もう1つの解」まで聞かれるのが定番　 を求めて終わりにしないこと。 が決まれば方程式が確定するので、それを解けば2つの解が出ます。そのうち与えられていないほうが答え。中1・中2でも同じ型がありました（1次方程式の型07）が、二次では「もう1つの解」という続きが加わります。

07 の符号で決まる

顔つき　「解が1つになる の値」。

中身　 なら2つ、 なら1つ（重解）、 なら解なし。

根号の中身が解の個数を決める　解の公式の の中身が正なら で2つ、0なら1つ、負なら（中学では）解なし。「解が1つ」＝「重解」＝「　 の形」です。この量は高校で判別式と呼ばれ、放物線と 軸の交点の個数を表します（2次関数の型11）。

08整数を文字で置いて、条件を式に

顔つき　「連続する2つの整数の積が になる」。

中身　 と置いて 。解が条件に合うか必ず確認。

2つ出た解の両方を検討する　、 で 。「正の整数」という条件があれば だけですが、単に「整数」なら両方が答えです。問題文の条件を読み直して、どちらが適するかを判断する――これが二次方程式の文章題の急所です。

09長さは正、変域にも注意

顔つき　「縦が横より3cm長い長方形の面積が cm」「道をつけた残りの面積」。

中身　長さを と置いて面積の式を立てる。 かつ、図形として成り立つ範囲。

負の解は必ず捨てる　 なら 。長さなので だけ。さらに「道の幅」なら、もとの長さより小さいという制限もつきます。解を求めたあと「この値で図が描けるか」を確かめる――これを飛ばすと、ありえない答えを書いてしまいます。

10時間の変域を先に決める

顔つき　「点 P、Q が同時に出発し、 秒後に三角形の面積が〜になる」。

中身　点が辺の上にいる時間の範囲を先に決め、その中で解を選ぶ。

変域を決めてから解く　「P は辺 AB（長さ8cm）上を毎秒1cmで動く」なら 。方程式の解が と出ても、 は変域外なので不適。変域を書いておかないと、どちらを選ぶべきか判断できません。中2の一次関数と同じ注意です（一次関数の型11）。