y＝ax²の変域、変化の割合、交点と面積で迷う中高生へ。体系数学２の関数を10パターンに整理し、数強塾オリジナル例題５問・演習５問で確かめます。式を決める点の条件、０を含む変域、面積を足すか引くかを、図と途中式で確認しましょう。本記事の放物線はa≠0を前提とします。a＝0ならy＝0で、グラフはx軸です。
このページの10型
- の式を求める
- グラフの形と の意味
- 変域（ をまたぐかどうか）
- 変化の割合
- 放物線と直線の交点
- 直線の式を求める
- 三角形の面積
- 面積を2等分する直線
- 動く点・図形と
- いろいろな事象と
1. 背骨—— が形を、符号が向きを決める
のグラフ（放物線）
原点を通り、 軸について対称
上に開く。原点が最小（ の最小値 ）
下に開く。原点が最大（ の最大値 ）
が大きいほど 開きが狭い（とがった形）
軸対称であることが、変域の問題のすべてを決めます。 と で の値が同じ（）なので、グラフは 軸を折り目にして左右対称。
だから の変域が をまたぐと、 の最小値（または最大値）が変域の端ではなく で起こります。一次関数では必ず両端で最大最小になりましたが、ここが決定的に違う。「 を含むかどうか」を必ず確認する――この一手が、中3の関数でいちばん大切です。
2. 変域を求める3ステップ
まず両端を含む区間で考えます。不等号が＜や＞の場合は、そのyの値を実際に取れるxが範囲内にあるかも確認します。例えばy＝x²、−2＜x≦2なら、x＝2でy＝4を取れるため0≦y≦4です。
1 の変域が を含むかを確認 含むなら、 での値（）が最小（）か最大（）。
2両端の を計算 が大きいほうが、 も大きい。
3小さいほうを左に書く を含むなら が端の一方になる。
の端を の端に写さない
で のとき、 の変域は ではありません。
を含むので の最小は 。正しくは 。
グラフを描けば一目で分かります。変域の問題では、必ず放物線の概形を描いてください。
3. 解法パターン全10型
型01 の式を求める
011点を代入して を決める
顔つき 「 は に比例し、 のとき 」。
中身 より 。式は 。
y＝ax²は、x座標が０でない点が１つ分かればaを決められます。点(p,q)ならa＝q/p²です。原点(0,0)はどのaでも通るので、原点だけでは決まりません。y＝mx＋bを２点から決める場合も、x座標が異なる２点という条件が必要です。条件の数だけでなく、独立に値を決められる条件かを見ましょう。
型02 グラフの形と の意味
開き具合を比べるときは、各グラフのx軸・y軸の目盛りと描画範囲を同じにします。
02符号で向き、絶対値で開き具合
顔つき 「4つの放物線を、 が大きい順に並べよ」。
中身 上に開くのが 、下に開くのが 。開きが狭いほど が大きい。
「大きい順」と「絶対値が大きい順」は違う と では、絶対値は のほうが大きいが、数としては のほうが大きい。「 が大きい順」なら上に開くものが先。問題文が何を聞いているかを正確に読んでください。
型03 変域
03 をまたぐかどうかで場合が分かれる
顔つき 「 のときの の変域」。
中身 を含むなら、 が最小（）または最大（）。もう一方の端は が大きいほうで決まる。
−2≦x≦3では|x|の最大は３です。y＝x²なら最大値は９ですが、y＝−x²なら最小値が−9、最大値が０になります。|x|が大きい側で|y|が大きくなることと、yそのものが最大になることを区別しましょう。
型04 変化の割合
変化の割合は異なる２つのxの値p、qについて求めます。p≠qが必要です。「pからqまで増加」とあればp＜qです。
04 で一発
顔つき 「 が から まで増加するときの変化の割合」。
中身 で が のとき、変化の割合 。
この公式は導ける 。平方の差の因数分解で約分できるのです（因数分解の型05）。 で なら 。一次関数と違い、どの区間かで値が変わる――これが「変化の割合が一定でない」ということです。
型05 放物線と直線の交点
05連立して二次方程式にする
顔つき 「 と の交点」。
中身 から 、 で 。
放物線y＝ax²（a≠0）と直線y＝mx＋nの交点は、ax²−mx−n＝0を解いて求めます。実数解が２つ・１つ・０個の場合に応じて、交点も２つ・１つ・０個です。xを求めた後は、式に代入してyも求め、座標で答えます。なお、縦の直線x＝cはこの直線の式の形には含まれず、交点は(c,ac²)の１つです。
型06 直線の式を求める
放物線上の異なる２点を結ぶ場合、x座標p、qも異なります。傾きa(p＋q)に加え、切片は−apqなので直線はy＝a(p＋q)x−apqと書けます。
06放物線上の2点から傾きを出す
顔つき 「放物線上の2点 A、B を通る直線の式」。
中身 A、B の 座標を とすると、傾きは （型04と同じ式）。切片は代入して求める。
2点を通る直線の傾き＝変化の割合 だから型04の公式がそのまま使えます。 上の と の点を結ぶ直線の傾きは 。座標を計算して としてもよいのですが、公式なら暗算で終わります。
型07 三角形の面積
07 軸上に底辺をとる
顔つき 「放物線と直線の交点 A、B と原点 O でできる三角形の面積」。
中身 直線の 切片を C とすると、OC を底辺にできる。高さは A、B の 座標の絶対値。
三角形を 軸で2つに切る 。どちらも底辺 OC で、高さはそれぞれの点の 座標の絶対値。底辺が共通なので、面積は 。A と B が 軸の反対側にあるときに、この形が使えます（一次関数の型08）。
型08 面積を2等分する直線
原点と中点Mを結ぶ直線が縦になる場合は、y＝mxと置けません。例えばMのx座標が０なら、求める直線はx＝0です。
08頂点と対辺の中点を結ぶ
顔つき 「原点を通り、 の面積を2等分する直線」。
三角形の１つの頂点を通って面積を２等分する直線は、その頂点と対辺の中点を結ぶ直線です。「頂点を通る」という条件があるかを確認しましょう。
中線が面積を2等分する理由 底辺を半分に分け、高さが共通だから。「原点を通る」という条件があれば、原点が頂点なので対辺 AB の中点を求めればよい。中点の座標は2点の座標の平均です。頂点を通らない２等分線では、中点だけで決めずに面積を比べます。等積変形（図形の証明の型12）などを使います。
型09 動く点・図形と
09面積が の2乗に比例する形を探す
顔つき 「点 P が動くとき、三角形の面積 を の式で」。
中身 底辺と高さの両方が に比例するなら、面積は に比例する。
底辺と高さがそれぞれxに比例するなら、面積はx²に比例します。両方が変化するだけでは十分ではありません。例えば底辺がx、高さが6−xなら面積はx(6−x)/2＝−x²/2＋3xで、y＝ax²の形ではありません。位置と動く時間の範囲を先に整理します。
型10 いろいろな事象と
落下距離や制動距離をy＝ax²で扱うのは、問題で比例関係や条件が与えられたモデルの場合です。自由落下なら静止からの運動で空気抵抗を無視するなどの仮定があります。制動距離は、同じ減速度を仮定した速度の２乗との関係で、空走距離を含む停止距離とは区別します。
10落下・制動距離・相似な図形
顔つき 「物体が 秒間に落ちる距離 m」「車の制動距離」。
中身 これらは の形で表される。1組の値から を決める（型01）。
「2倍の時間で4倍の距離」が2乗の特徴 では が2倍になると は 倍、3倍なら 倍。「何倍か」を聞かれたら、比の2乗です。相似な図形の面積比が相似比の2乗になるのも同じ理屈（中3 相似）。この「2乗で効く」感覚が、答えの妥当性を判断する材料になります。
4. 例題で確かめる
この単元の解法パターンは全10型で、下にある例題5問で確かめているのは8型です。残りの2型は、ページ下部の演習で扱っています。1問が複数の型にまたがることも、同じ型を複数の例題で扱うこともあるため、例題の数と型の数は必ずしも一致しません。
ここからは、数強塾が作成したオリジナルの例題で型を確かめます。数値計算と、変域・点の位置・時間の条件を確認しています。
例題1 ―― 型03。 をまたぐ変域
【例題1】（数強塾オリジナル）
関数 について、次の場合の の変域を求めなさい。
(1) (2) (3)
【解答】
(1) (2) (3)
(1) 変域が を含まないので、両端で計算します。
(2) 変域が を含みます（型03）。 なので、 で は最小の 。
最大は が大きいほう、すなわち で 。
の値は最小ではない
では 。しかし では で、こちらのほうが小さい。
としてしまうのが、０を含むか見落とした誤りです。
(3) 変域が を含まず、すべて負の側。 は から まで。
グラフを描けば、3問とも一目で分かる。放物線を描き、 の変域の部分に色をつけ、その上下の範囲を読む――これが確実な方法です。
を含むかどうかで場合が変わるのは、放物線が で折り返すから。一次関数では起こらなかったことで、変域で確認したいポイントです。
例題2 ―― 型01・型04。式と変化の割合
【例題2】（数強塾オリジナル）
関数 について、 のとき です。
(1) の値を求めなさい。
(2) が から まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
【解答】
(1) (2)
(1) 代入します（型01）。
式は 。
(2) 公式 を使います（型04）。
定義どおり計算しても確かめられる
のとき 。 のとき 。
（変化の割合）
一致します。公式のほうが計算が短い。
変化の割合は「2点を結ぶ直線の傾き」でもある。だから という値は、 と を結ぶ直線の傾きです（型06）。
一次関数では変化の割合＝傾き＝ で一定でしたが、 では区間によって変わります。試しに が なら 、 なら 。だんだん急になっている――これが放物線が曲がっていることの意味です。
例題3 ―― 型05・型06・型07。交点・直線・面積
【例題3】（数強塾オリジナル）
放物線 と直線 が2点 A、B で交わっています。A の 座標は 、B の 座標は です。
(1) A、B の座標を求めなさい。 (2) 直線 の式を求めなさい。 (3) の面積を求めなさい（O は原点）。
【解答】
(1) (2) (3)
(1) 放物線上の点なので に代入します。
(2) 傾きは （型06）。、、 なので
（傾き）
に を代入して
したがって 。
検算：A を入れると 。通ります。
(3) 直線と 軸の交点 C をとります（型07）。 で 。
A と B は 軸の反対側にあるので
2つの三角形に分けて確かめる
、。
一致します。底辺 OC が共通で、高さが 座標の絶対値になっています。
「 軸で切る」が、放物線と直線の面積問題の定石。3頂点のうち原点が 軸上にあり、直線の切片も 軸上。この2点を結ぶ線分を共通の底辺にできるのが決め手です。
AとBがy軸の同じ側にある場合は、y軸で三角形を２つに分ける足し算の式は使えません。直線の切片Cを使い、大きい三角形から小さい三角形を引けるか、図で位置関係を確認します。頂点が原点以外なら、その頂点を通る軸に平行な線も候補です。
例題4 ―― 型08。面積を2等分する直線
【例題4】（数強塾オリジナル）
例題3の （、、O は原点）について、原点を通り の面積を2等分する直線の式を求めなさい。
【解答】
原点は三角形の頂点なので、対辺 AB の中点を通る直線が面積を2等分します（型08）。
AB の中点 M の座標は、2点の座標の平均で
原点と M を通る直線は の形で
したがって求める直線は
なぜ中線が面積を2等分するのか
と は、底辺 AM と MB が等しく（M は中点）、高さは O から直線 AB への距離で共通。
だから面積は等しくなります。底辺が等しく高さが共通なら面積は等しい――等積変形と同じ原理です（図形の証明の型12）。
検算： の面積を計算してみる。、、 の面積は
のちょうど半分です。座標が分かっているときは、面積を実際に計算して2等分を確認できます。
例題5 ―― 型10。2乗で効く感覚
【例題5】（数強塾オリジナル）
ある斜面をボールが転がり落ちるとき、転がり始めてから 秒間に進む距離を m とすると、 は に比例します。転がり始めてから 秒間に m 進みました。
(1) を の式で表しなさい。
(2) 転がり始めてから 秒間に進む距離を求めなさい。
(3) 秒後から 秒後までの平均の速さを求めなさい。
【解答】
(1) (2) m (3) 秒速 m
(1) に を代入します（型01）。
(2) を代入します。
(3) 平均の速さ＝変化の割合（型04）。
秒速 m です。
定義どおりでも確かめる
秒で m、 秒で m。その間に進んだ距離は m。かかった時間は 秒。
一致します。
時間が 倍で、距離は 倍。 秒 → 秒は 倍ですが、距離は で 倍。 です（型10）。
「時間が 倍なら距離は 倍」――この感覚があれば、(2) は暗算でも出せます。。2乗で効くという性質を、答えの検算に使ってください。
5. よくある質問
変域で０を含むときはどうしますか。
y＝ax²でa＞0ならx＝0で最小値０、a＜0なら最大値０です。反対側の端は|x|が大きい側で確認します。不等号に等号がなければ、そのyを取るxが範囲内にあるかも調べます。
変化の割合の公式を忘れました。
異なる２つのxの値について、yの増加量をxの増加量で割ります。y＝ax²なら( aq²−ap² )/( q−p )＝a(p＋q)です。p＝qでは分母が０になるため使えません。
原点を通ることからaを求められますか。
求められません。y＝ax²はどのaでも原点を通ります。x座標が０でない点など、aを決められる別の条件が必要です。
放物線と直線でできる三角形の面積はいつ足しますか。
原点Oと交点A・Bの三角形で、AとBがy軸の反対側なら、直線のy切片Cを使いOACとOBCの面積を足せます。同じ側なら、大きい三角形から小さい三角形を引く位置関係を図で確認します。
面積を２等分する直線は必ず中点を通りますか。
三角形の頂点を通るという条件があれば、その対辺の中点を通ります。頂点を通る条件がなければ、中点だけで決めることはできません。
6. 次に読むページ
- 中3数学の要点辞典 ―― 全単元の公式・定石・つまずきポイント。
- 中2 一次関数の解法パターン全12型 ―― 変化の割合と直線の式。
- 中3 二次方程式の解法パターン全10型 ―― 交点を求める計算。
- 2次関数の解法パターン全20型（高校） ―― 平行移動・最大最小・解の配置。
- 解法パターン事典（総索引）
変域でいつも間違える人へ
本記事は数強塾作成です。今回の見直しでは、式を決める条件、０を含む変域、放物線上の点の位置と面積の足し引きを確認しました。藤原進之介の公式プロフィールと数強塾のプロ講師紹介もご覧ください。
数強塾オリジナル演習｜例題で扱わなかった2つの型を5問で
上の「例題1〜5」では型01・03〜08・10 を扱いました。ここでは残る型02（グラフの形と の意味）と型09（動く点・図形）を埋め、最後に放物線の対称性を1問追加します。
型02 を求める・ を読む
関数 のグラフが点 を通る。
(1) の値を求めよ。
(2) のときの を求めよ。
(3) このグラフは上下どちらに開くか。
解答・解説を見る
(1) 代入して
（x座標が０でない点が１つあれば決まる。未知数が の1つだけだからです。一次関数 では未知数が2つなので点が2つ必要でした）
(2)
（先に2乗するのを忘れずに。 であって ではありません）
(3) なので下に開く。
符号が向き、絶対値が開き具合。この2つは別々の情報です。
型02 大小と開き具合は別の話
次の4つの関数について。
、、、
(1) グラフの開きが狭い順に並べよ。
(2) が大きい順に並べよ。
解答・解説を見る
(1) 開き具合を決めるのは絶対値。 が大きいほど細く（狭く）なります。
、、、 なので
、、、
(2) こちらは数としての大小。負の数は正の数より小さい。
なので
、、、
(1) と (2) で順序がまるで違います。
「開きが狭い順」なら上下が入り混じる、「 が大きい順」なら上に開くものが先にまとまる。
問題文がどちらを聞いているのかを読む——係数の大小と絶対値の大小を区別しましょう。
型09 動く点と面積
1辺 の正方形 がある。点 は を出発して辺 上を、点 は同時に を出発して辺 上を、どちらも毎秒 で進む。
秒後の の面積を とする。
(1) を の式で表し、変域も答えよ。
(2) のときの 。
(3) となる 。
解答・解説を見る
(1) 。 なので、この2辺がそのまま底辺と高さ。
変域は、点が辺の上にある間なので
(2) 8
(3) 、、
変域 より
（ を捨てる一言を書くこと。黙って消すと吟味したことが伝わりません）
２つの辺がどちらもtに比例して伸びるため、面積がt²に比例します。高さが一定で底辺が時間の一次式なら、面積も時間の一次式になります。「何が変わり、何が変わらないか」を先に確認するのが、この型の入口です。
型10 速さが変わる運動
斜面をボールが転がり落ちる。転がり始めてから 秒間に進む距離を とすると の関係がある。
(1) 秒間に進む距離。
(2) 進むのにかかる時間。
(3) 秒後から 秒後までの平均の速さ。
解答・解説を見る
(1)
(2) 、、
時間なので 。 秒
(3) 平均の速さは変化の割合そのもの。
で 、 で なので
秒速
（公式 ✓）
一次関数なら「平均の速さ」はどこで測っても同じですが、ここでは区間ごとに変わります。 秒から 秒なら 。だんだん速くなっていることが、数字で見えます（平均の速さの意味）。
放物線の対称性を使う
関数 のグラフ上に、 座標が の点 と 座標が の点 をとる。
(1) 、 の座標。
(2) の長さと、 と 軸の位置関係。
(3) 原点を とするとき の面積。
解答・解説を見る
(1) ：。
：同じく 。
(2) 座標が等しいので 軸。
8
(3) を底辺とすると、高さは から までの距離で 。
32
なので、 座標の符号が逆の2点は 座標が等しい。
これが放物線が 軸について対称である理由です。 座標の和が になる2点を選べば、弦は必ず 軸に平行になります。
（このとき変化の割合は 。水平だから傾き ✓ 2つの見方がぴったり合います）
一次関数との違いを、5点で整理する
一次関数とy＝ax²（a≠0）の違いを整理します。式を決めるには、値を決定できる条件が必要です。
| 比較 | 一次関数y＝mx＋b | y＝ax²（a≠0） |
|---|---|---|
| グラフ | 直線 | 放物線 |
| 変化の割合 | mで一定 | p≠qのときa(p＋q) |
| 両端を含む区間の変域 | 端点で最大・最小を確認 | 端点に加えx＝0を含むか確認 |
| 点から式を決める | x座標が異なる２点 | x座標が０でない１点 |
| 対称性の例 | 直線自身を軸に線対称 | y軸を軸に線対称 |
危ないのは2行目と3行目です。
「変化の割合＝傾き＝一定」は一次関数だけの性質。 では と で値が変わります。変わるからこそ、グラフが曲がるのです（傾きが割り算である理由）。
変域も、両端を代入するだけでは足りません。 の変域が を含むなら、 が最小（）または最大（）。両端のうち絶対値が大きいほうが反対の端を決めます。
「 をまたぐか」「絶対値が大きいのはどちらか」——この2つを口に出して確認する習慣をつけてください。
「なぜそうなるのか」へ
は高校の二次関数の入口です。ここで「なぜ曲がるのか」を押さえておくと、平方完成も微分も自然に入ります。
- なぜ傾きは「yの増加量÷xの増加量」なのか ── 型04の土台。曲線では区間ごとに変わる理由がここに。
- なぜ一次関数のグラフは直線になるのか ── 変化の割合が一定なら直線。裏返せば、変わるから曲がります。
- なぜグラフの交点が連立方程式の解になるのか ── 型05。放物線と直線の交点も、連立して解くだけです。
- なぜ解の公式はあの形になるのか ── 交点の 座標が出せない形になったときの道具。
- なぜ平均の速さは2つの速さの平均ではないのか ── 型10。「だんだん速くなる」を数で見る。
- なぜ相似比が2倍だと面積は4倍になるのか ── 「2乗で効く」感覚そのもの。
関連ページ
- 中2数学 一次関数の解法パターン全12型
- 中3数学 二次方程式の解法パターン
- 数強塾「なぜ？数学辞典」見出し一覧
- 表・グラフ・式の使い分け｜放物線の最大最小でグラフが必須になる理由。例題4
数強塾オリジナル確認問題｜２点がy軸の同じ側にある面積
放物線y＝x²上のA(1,1)、B(3,9)と原点Oがあります。直線ABとy軸の交点をCとするとき、△OABの面積を求めなさい。△OACと△OBCの面積を足してよいでしょうか。
解答：面積は３。足さずに引く
直線ABの傾きは(9−1)/(3−1)＝4。Aを代入すると1＝4＋bよりb＝−3なので、直線はy＝4x−3、C(0,−3)、OC＝3です。
OCを底辺にすると、Bからy軸までの距離は３、Aからは１です。
△OCB＝3×3÷2＝4.5
△OCA＝3×1÷2＝1.5
したがって△OAB＝4.5−1.5＝3です。
Aは線分CB上にあり、小さい△OCAは大きい△OCBの中に入っています。足すと同じ部分を重ねて数えてしまいます。学習ポイント：面積の公式を使う前に、２点がy軸の反対側か同じ側か、どの領域を求めたいかを図で確認しましょう。
関連する補習：原点だけではaが決まらない理由、変化の割合a(p＋q)の求め方、変域と不等号の等号。
要点辞典この単元の公式・定石・つまずきやすい所は 数学の要点辞典まとめ：全57単元の逆引き にまとめてあります。
