相似は、合同の拡張です。合同が「形も大きさも同じ」なら、相似は「形は同じで大きさが違う」。だから証明の書き方も、合同のときとまったく同じ型が使えます。違うのは「等しい」の代わりに「比が等しい」を集めることだけ。そして相似が分かると直接測れない長さが求められるようになり、さらに面積比は相似比の2乗、体積比は3乗という強力な道具が手に入ります。このページは、中3の相似を12の型に分けて並べた辞典です。型は当てはめるための箱ではなく、「どの2つの三角形が相似か」を見つけるための道具として並べています。
このページの12型
- 相似の意味と相似比
- 三角形の相似条件
- 相似の証明の書き方
- 直角三角形の中の相似
- 円と相似（方べき型）
- 平行線と線分の比
- 中点連結定理
- 角の二等分線と比
- 相似を使って長さを求める
- 面積比（相似比の2乗）
- 体積比（相似比の3乗）
- 相似の利用（縮図・測量）
1. 背骨——相似は「比が等しい」合同
三角形の相似条件（3つ）
①3組の辺の比がすべて等しい
②2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
③2組の角がそれぞれ等しい
合同条件と見比べてください。①②は「辺」が「辺の比」に変わっただけ、③は「1辺と両端の角」から辺の条件が消えたものです。
実際の入試で使うのは、ほぼ③だけです。「2組の角が等しい」――これが圧倒的に使いやすい。なぜなら角の情報は、平行線・対頂角・共通角・円周角から、いくらでも拾えるからです。
だから相似の証明では「等しい角を2つ探す」のが目標になります。共通な角（2つの三角形が同じ角を共有している）は特に見落としやすいので、真っ先に確認してください。「合同では辺を3つ集めたが、相似では角を2つ集める」――これだけで、証明はぐっと書きやすくなります。
2. 相似な三角形の見つけ方
1共通な角を探す 2つの三角形が1つの頂点を共有していないか。
2平行線を探す 平行があれば同位角・錯角が等しい。
3直角を探す 直角三角形の垂線で分かれた3つの三角形は、すべて相似。
4円周角を探す 同じ弧に対する円周角は等しい。
対応の順番をそろえて書く
と書いたら、、、 の対応です。
順番を間違えると、比の式 がずれて、答えが合いません。等しい角どうしが同じ位置に来るように書く――ここは機械的に守ってください。
3. 解法パターン全12型
型01 相似の意味と相似比
01対応する辺の比は、すべて等しい
顔つき 「 で相似比が のとき」。
中身 対応するすべての辺の比が相似比。対応する角はすべて等しい。
相似比は「拡大・縮小の倍率」 相似比 なら、 は を 倍したもの。周の長さの比も （すべての辺が同じ倍率だから）。ただし面積比は （型10）――ここが引っかかりやすいところです。
型02 三角形の相似条件
02まず「2組の角」を狙う
顔つき 「 を証明せよ」。
中身 等しい角を2つ見つければ終わり。共通角・平行線・直角・円周角から拾う。
3つ目の角は自動的に等しい 三角形の内角の和は なので、2つが等しければ残りも等しい。だから「2組の角」で足りるのです。合同では角だけでは大きさが決まらないので辺が必要でしたが、相似は大きさを問わないので角だけで済みます。
型03 相似の証明の書き方
03合同の証明と同じ4ステップ
顔つき 「次のことを証明しなさい」。
中身 ①比べる2つの三角形を宣言 ②根拠つきで等式（角の等式）を2つ ③相似条件を言う ④結論。
「2組の角がそれぞれ等しいので」と書く これが③にあたる決まり文句です。そして結論では「相似な図形の対応する辺の比は等しいので」と書いてから比の式を立てます。合同の証明（図形の証明の型06）とまったく同じ骨組みなので、中2で身につけた型がそのまま使えます。
型04 直角三角形の中の相似
04斜辺への垂線で、3つの相似な三角形ができる
顔つき 「 の で、A から BC に垂線 AH を引く」。
中身 。3つとも相似。
直角＋共通角で相似が言える と は、直角（）と共通角（）で2組の角が等しい。この形は非常によく出るので、「直角三角形＋斜辺への垂線」を見たら反射的に3つの相似を書き出せるようにしてください。ここから などの関係が出ます。
型05 円と相似
05円周角が等しいから相似
顔つき 「円の2弦 AB、CD が点 P で交わるとき」。
中身 （円周角と対頂角）。ここから 。
方べきの定理の正体は相似 同じ弧 に対する円周角として 、さらに対頂角 。2組の角が等しいので相似で、対応する辺の比から積の等式が出ます（図形の性質の型10）。公式を覚えるより、相似から導けるようにしておくほうが応用が効きます。
型06 平行線と線分の比
06平行なら、比が等しい
顔つき 「 のとき 」。
中身 なら 。逆も成り立つ。
「上から」か「途中から」かで比が変わる （頂点からの全体との比）と （分けた部分どうしの比）は違う比です。 なら 。どちらの比を使っているかを、図に書きこんで確認してください。3本以上の平行線でも同じ関係が成り立ちます。
型07 中点連結定理
072辺の中点を結ぶと、第3辺と平行で半分
顔つき 「M、N が AB、AC の中点のとき MN と BC の関係」。
中身 かつ 。
型06の特別な場合 なので相似比が 、だから 。覚えていなくても導けますが、頻出なので使えるようにしておきましょう。四角形の各辺の中点を結ぶと必ず平行四辺形になる――これも中点連結定理から証明できる有名な事実です。
型08 角の二等分線と比
08対辺を、隣の2辺の比に分ける
顔つき 「 の二等分線と BC の交点 D について 」。
中身 。
比の向きを間違えない は 側なので に対応、 は 側なので に対応。「近いほうの辺どうし」と覚えてください。この定理は中3では発展扱いのことも多いですが、知っていると長さの計算が一気に楽になります（図形の性質の型03）。
型09 相似を使って長さを求める
09比の式を立てて、内項の積＝外項の積
顔つき 「 の長さを求めよ」。
中身 相似な2つの三角形の対応する辺どうしで比の式を作り、 から 。
「対応する辺」を正しく選ぶ なら と 、 と が対応。相似の式を正しい順で書いておけば、対応が自動的に決まります。比の式は「同じ三角形の辺どうし」でも「対応する辺どうし」でも作れるので、 が求めやすいほうを選んでください。
型10 面積比
10相似比が なら面積比は
顔つき 「相似比 の2つの三角形の面積比」。
中身 。面積は長さの2乗で効く。
底辺も高さも 倍になるから 面積は（底辺）×（高さ）÷2 なので、両方が 倍になれば面積は 倍。 で「2倍の で4倍の 」だったのと同じ構造です（関数の型10）。高さが共通なら面積比＝底辺の比という別の関係もあるので、混同しないでください。
型11 体積比
11相似比が なら体積比は
顔つき 「相似比 の2つの立体の体積比」。
中身 。表面積比は （面積なので2乗）。
たて・よこ・高さの3方向が効く だから3乗。相似比 なら体積は8倍――「2倍の大きさ」で中身は8倍になります。円錐を底面に平行な面で切ったとき、上の小さい円錐ともとの円錐は相似なので、この比が使えます。「長さは1乗、面積は2乗、体積は3乗」――3つセットで覚えてください。
型12 相似の利用
12縮図をかいて、実際の長さを求める
顔つき 「木の高さを、影の長さから求める」「地図の縮尺」。
中身 同じ時刻の影なら、物と影の比は等しい。縮図なら縮尺の逆数を掛ける。
直接測れないものを測る技術 これが相似の実用です。太陽光は平行なので、同じ時刻ならどの物体も「高さ:影」の比が同じ。だから1m の棒の影を測れば、木の高さが計算できます。単位をそろえるのを忘れずに――縮尺 の地図で cm なら、実際は cm km です。
4. 例題で確かめる
この単元の解法パターンは全12型で、下にある例題5問で確かめているのは8型です。残りの4型は、ページ下部の演習で扱っています。1問が複数の型にまたがることも、同じ型を複数の例題で扱うこともあるため、例題の数と型の数は必ずしも一致しません。
ここからは、数強塾が作成したオリジナルの例題で型を確かめます。掲載しているすべての数値は Python で検算しています。
例題1 ―― 型02・型03。相似の証明
【例題1】（数強塾オリジナル）
において、辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E をとり、 となるようにします。このとき であることを証明しなさい。
逆算する（下書き）
目標
狙う条件 2組の角がそれぞれ等しい（型02）
使えるもの （仮定）、 は共通
これで2組そろいました。
【証明】
と において
仮定より …①
共通な角だから …②
①②より、2組の角がそれぞれ等しいので
（証明終）
対応の順番に注意
と書いたので、、、 の対応です。
だから比の式は 。 ではありません。
ここから という関係が出ます。
「共通な角」が使えることに気づけるかどうか。2つの三角形が頂点 A を共有しているので、 は自動的に等しい。仮定で与えられた角と合わせて2組――これで証明が完成します。
合同の証明で「共通な辺」を探したのと同じで、相似では「共通な角」を探すのが第一手です（図形の証明の型06）。2つの三角形が何かを共有していないか、必ず確認してください。
例題2 ―― 型06・型09。平行線と長さ
【例題2】（数強塾オリジナル）
において、辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E があり、 です。 cm、 cm、 cm のとき、次の長さを求めなさい。
(1) (2)
【解答】
(1) cm (2)
(1) より （同位角）。
cm なので、相似比は 。
したがって で
(2) （型06）。
2つの比を混同しない
（頂点からの全体との比）――相似比はこちら。
（分けた部分どうしの比）―― と等しいのはこちら。
に使うのは相似比 です。 を使うと間違えます。
図に と と を書きこむ。 に 、 に 、そして 全体に 。この3つの数を図に書けば、どの比を使うか迷いません。
検算： cm は cm の 倍。相似比 は なので、たしかに合っています。
例題3 ―― 型04。直角三角形の中の相似
【例題3】（数強塾オリジナル）
の直角三角形 ABC があり、 cm、 cm、 cm です。頂点 A から辺 BC に垂線 AH を引きます。
(1) の長さを求めなさい。 (2) の長さを求めなさい。
【解答】
(1) cm (2) cm
(1) 面積を2通りに表します。
(2) を使います（型04）。
なぜ相似か
、 は共通。2組の角が等しいので相似です。
対応は 、、。
対応する辺の比から
検算
。
で三平方の定理：。 と一致します。
また を確かめると 。成り立っています。
は、相似から出る有名な関係。 の内項と外項を掛ければ 。
直角三角形＋斜辺への垂線という形は、高校まで繰り返し登場します。3つの相似な三角形が見えるようになると、長さの計算が一気に楽になります。(1) を面積で解いたのは、相似を使うより速いから――複数の道があるときは、短いほうを選んでください。
例題4 ―― 型10・型11。2乗と3乗
【例題4】（数強塾オリジナル）
円錐を、底面に平行な平面で切り、高さを に分けました（頂点側が ）。
(1) 切り口の円と底面の円の面積比を求めなさい。
(2) 頂点側の小さい円錐と、もとの円錐の体積比を求めなさい。
(3) 小さい円錐と、残りの立体（円錐台）の体積比を求めなさい。
【解答】
(1) (2) (3)
準備。頂点側の高さが 、全体の高さが なので、小さい円錐ともとの円錐の相似比は 。
(1) 面積比は相似比の2乗（型10）。
(2) 体積比は相似比の3乗（型11）。
(3) 円錐台の体積は「もと － 小さい円錐」なので
したがって小さい円錐：円錐台 。
高さの比 をそのまま使わない
相似比は「小さい円錐」と「もとの円錐」の比なので です。 は「上の部分」と「下の部分」の高さの比で、相似比ではありません。
「何と何を比べているか」を必ず確認してください。ここを取り違えると、すべての答えが変わります。
体積が しかないことに驚くかもしれません。高さが なのに、体積は 。つまり全体の6.4%しかない。
これは半径も になるからです。底面積が で、それに高さ を掛けるので 。「上のほうを切っても、体積はあまり減らない」――ソフトクリームやプリンの形を思い浮かべると納得できます。
例題5 ―― 型12。相似で測量する
【例題5】（数強塾オリジナル）
ある時刻に、高さ m の棒の影の長さが m でした。同じ時刻に、木の影の長さは m でした。
(1) 木の高さを求めなさい。
(2) 縮尺 の地図上で cm 離れた2地点の、実際の距離は何 km ですか。
【解答】
(1) m (2) km
(1) 太陽光は平行なので、棒と木で「高さ:影」の比が等しい（型12）。木の高さを m とすると
内項の積と外項の積が等しいので
検算：、。比が一致します。
(2) 縮尺 なので、地図上の cm は実際の cm。
単位を直します。
単位換算を忘れない
m cm、 km m cm。
縮尺の問題は、計算より単位換算で間違えます。cm のまま答えを書かないよう注意してください。
相似は「直接測れないものを測る」ための道具。木の高さは登らなければ測れませんが、影の長さなら地面で測れる。棒という「基準」を1本用意するだけで、木の高さが分かります。
これは古代エジプトでピラミッドの高さを測った方法と同じです。数学が現実の問題を解いた最初期の例――相似という考え方の強さが、よく分かる場面です。
5. よくある質問
Q1. 相似の証明で、どの条件を使えばよいですか。
A. ほとんどの場合「2組の角がそれぞれ等しい」です。共通な角・平行線の同位角や錯角・直角・円周角から、等しい角を2つ探してください。
Q2. 比の式を立てると答えが合いません。
A. 対応の順番が違っている可能性が高いです。 なら A と D、B と E、C と F が対応します。
Q3. と を混同します。
A. 図に数を書きこんでください。 なら、 全体には と書く。相似比に使うのは全体との比のほうです。
Q4. 面積比と体積比がごちゃごちゃになります。
A. 長さは1乗、面積は2乗、体積は3乗――方向の数だけ乗数が増えると考えてください。面積はたて・よこの2方向、体積はさらに高さで3方向です。
Q5. どの2つの三角形が相似か見つけられません。
A. 共通な角・平行線・直角・円周角の4つを順に探してください。とくに「2つの三角形が同じ角を共有していないか」は最初に確認すべきポイントです。
6. 次に読むページ
- 中3数学の要点辞典 ―― 全単元の公式・定石・つまずきポイント。
- 中2 図形の証明の解法パターン全12型 ―― 証明の答案の型。
- 中3 円の解法パターン ―― 円周角と相似。
- 図形の性質の解法パターン全12型（高校） ―― チェバ・メネラウス・方べき。
- 解法パターン事典（総索引）
相似な三角形が見つけられない人へ
相似でつまずく生徒のほとんどは、証明の書き方ではなく「どの2つを比べるかを見つける手順を持っていない」だけです。数強塾では、図を見たらまず「共通な角はどこか」「平行線はあるか」「直角はあるか」「円周角は使えるか」を順に確認させ、等しい角を2つ見つけてから証明を書かせています。オンラインの完全1対1で、プロ講師のみが担当します。
数強塾オリジナル演習｜例題で扱わなかった4つの型を5問で
上の「例題1〜5」では型02・03・04・06・09・10・11・12 を扱いました。ここでは残る型01（相似比）・型05（円と相似）・型07（中点連結定理）・型08（角の二等分線）を埋めます。型07は四角形と台形で2問に分けました。
型01 相似比と対応の順序
で、、、、 である。
(1) 相似比を求めよ。
(2) 、 を求めよ。
(3) 周の長さの比を求めよ。
解答・解説を見る
まず対応を確認します。 と書いてあるので、、、。
したがって 、、。
(1)
(2) より 、
より 、
(3)
周の比は相似比と同じ（すべての辺が一律に 倍だから、足しても比は変わらない）。
面積は 、体積は （なぜ2乗・3乗になるのか）。
記号の順序が対応そのものを表しています。 と書けば対応がまるで変わる——答案では順序をそろえて書いてください。
型05 円と相似（方べきの形）
円の2つの弦 、 が円の内部の点 で交わっている。、、 のとき を求めよ。
解答・解説を見る
と が相似です。
・対頂角より
・弧 に対する円周角が等しいので
2組の角がそれぞれ等しいので。
対応する辺の比が等しいので
、、
（検算：、 ✓）
がつねに成り立ちます。高校で方べきの定理として習いますが、中身は円周角から相似を作っただけ。
円があれば、まず円周角の等しい角を探す。相似が見つかれば長さが出ます。
型07 中点連結定理（四角形）
四角形 の辺 、、、 の中点を順に 、、、 とする。対角線が 、 のとき
(1) 、 の長さ。
(2) 四角形 の周の長さ。
(3) はどんな四角形か。
解答・解説を見る
対角線を引くのが補助線です（補助線の型D）。
(1) で 、 は、 の中点なので
5、かつ
で同様に4
(2) も 、 も なので
周 18
(3) で長さも等しい。1組の対辺が平行で長さが等しいので平行四辺形。
元の四角形がどんな形でも成り立ちます。へこんでいても、ねじれていても（空間の四角形でも）平行四辺形。
理由は2つの三角形が同じ対角線を共有しているから。見えない基準を共有しているので、元の形にかかわらず平行になります。
型07 中点連結定理（台形）
の台形 で、、 の中点をそれぞれ 、 とする。、 のとき の長さを求め、理由も述べよ。
解答・解説を見る
対角線 を引き、その中点を とします。
で 、 は、 の中点なので
、
で 、 は、 の中点なので
、
なので と は同じ向き。つまり、、 は一直線上。
8
（検算： ✓）
——上底と下底の平均です。
だから台形の面積は 高さでも求まります。平均の長さの長方形に化けるからです。
型08 角の二等分線と比
で 、、。 の二等分線と辺 の交点を とする。
(1) を求めよ。
(2) 、 の長さ。
(3) なぜこの比になるのか説明せよ。
相似は「角の条件」を「長さの比」に変える装置
この単元の型は数多くありますが、やっていることは全部同じです。
だから「どこに等しい角があるか」を探すのがすべての出発点になります。等しい角の供給源は4つしかありません。
| 供給源 | 使う場面 | この記事では |
|---|---|---|
| 共通の角 | 2つの三角形が重なっている | 型04（直角三角形の中） |
| 対頂角 | 2直線が交わっている | 型05（弦の交点） |
| 平行線の錯角・同位角 | 平行な線がある | 型06・07・08 |
| 円周角 | 図に円がある | 型05 |
この4つを順に探すだけで、相似の問題の入口はほぼ見つかります。見つからないときは、補助線で作り出す番です。
比を書くときの2つの注意
- 対応の順序をそろえる と書いたら、比も の順に書く
- どの三角形の辺かを確かめる 図の中の線分がすべて使えるわけではありません（ と を混ぜない）
相似比 のとき、長さ 倍・面積 倍・体積 倍。周の長さは長さの仲間なので 倍です（演習1）。
「なぜそうなるのか」へ
相似は「形が同じ」を数で扱うための道具です。土台を押さえておくと、12の型が1本につながります。
- なぜ2角が等しいと三角形は相似になるのか ── 型02の根拠。3つ目の角は自動的に決まります。
- なぜ平行線を引くと線分の比が現れるのか ── 型06〜08。すべて「平行 → 相似 → 比」の流れです。
- なぜ相似比が2倍だと面積は4倍になるのか ── 型10・型11。2乗と3乗の理由。
- なぜ円周角は中心角の半分なのか ── 型05。円が「等しい角」を供給してくれる仕組み。
- なぜ補助線を引くと急に解けるようになるのか ── 相似が見つからないときの作り方。演習5がその実例です。
- なぜ三平方の定理は相似からも証明できるのか ── 型04の応用。直角三角形を分けると3つの相似が現れます。
関連ページ
要点辞典この単元の公式・定石・つまずきやすい所は 中3数学の要点辞典：相似 にまとめてあります。
