いろいろな関数と曲線（数III）の解法パターン全12型｜分数関数・無理関数・逆関数・媒介変数・極座標と入試実例（名工大・神戸大・関西大・岡山大・名大）

01割り算して、平行移動の形にする

顔つき　、。

中身　。漸近線は 。

分子の次数を下げれば、 の平行移動だと分かる　1次分数関数はすべて を平行移動しただけの直角双曲線です。割り算で「定数＋真分数」に直すと、漸近線が読み取れる。 の符号で、双曲線が第1・3象限型か第2・4象限型かも決まります（積分計算の型14と同じ操作です）。

022次曲線の「半分」だと見る

顔つき　、、。

中身　両辺を2乗して2次曲線に直し、もとの式の符号条件で半分を選ぶ。

2乗は同値ではない　 と は同値ではありません。前者は後者に を加えたものです。2乗したら必ず「符号条件を書き添える」――この一手を省くと、共有点が2個のはずが4個になったり、無関係な解が紛れこんだりします。 なら単位円の上半分です。

03 と を入れかえて解く

顔つき　「 の逆関数を求めよ」。

中身　 を について解き、最後に文字を入れかえる。もとの関数の値域が、逆関数の定義域になる。

値域を書き忘れると減点される　逆関数が存在するのは、もとの関数が1対1のときだけ。だから答案では「 は単調なので逆関数をもつ」と断り、定義域（＝もとの値域）を明記します。ちなみに は をみたす自分自身が逆関数である珍しい関数です（名古屋工業大学の実例）。

04 に関して折り返す

顔つき　「 と の交点」「囲まれた面積」。

中身　2つのグラフは直線 に関して対称。交点は 上にあることが多い（ただし全部ではない）。

「 を解けばよい」は、いつも正しいわけではない　 が単調増加なら が成り立ちますが、単調減少の場合は 上にない交点があり得ます。減少関数のときは、素直に連立してください。面積を求めるときは、対称性から片側だけ計算して2倍するのが定石です。

05内側の値域が、外側の定義域に収まるか

顔つき　 の定義域・値域を求めよ。

中身　 の値域を求め、それが の定義域に入る範囲だけが の定義域。

合成の順序を入れかえてはいけない　 は「先に 、あとで 」です。一般に 。 となる関数を対合といい、入試では や がよく登場します。この性質に気づくと、逆関数を求める計算がまるごと省けます。

06置換して2次方程式に。ただし範囲を残す

顔つき　「直線 と曲線 が2つの共有点をもつ条件」。

中身　 とおくと 。 の範囲での解の個数を数える。

「解の個数」は判別式だけでは決まらない　2次方程式が2実解をもっても、それが をみたすとは限りません。判別式・軸・端点の3条件（2次関数の解の配置）を確認してください。関西大学の問題では、判別式に加えて2解の和と積がともに0以上という条件が効き、 という制限が現れました。

07

顔つき　「点 P における接線の方程式を求めよ」。

中身　 で微分した比が傾き。接線は 。

分母を払った形で書くと、対称性が見える　傾きが分数のときは、接線を の形に書くと分母が消えます。岡山大学の問題では、この形にすると という、驚くほど対称な式が現れ、切片が一瞬で読めました。

08増減表を と の2本作る

顔つき　「曲線の概形をかけ」「 または が最大・最小となる点を求めよ」。

中身　 と の符号を別々に調べ、1つの表にまとめる。

の増減と の増減は独立している　 なら増減表は1本ですが、媒介変数では「右へ動くか左へ動くか」と「上へ動くか下へ動くか」が別の話です。だから表の行は 、、、、 の5行。 の点では曲線が左右の折り返しをする（垂直な接線）、 の点では上下の折り返し（水平な接線）です。

09中心の位置＋回転したベクトル

顔つき　「円が直線上を滑らずに転がるとき、円周上（または内部・外部）の点が描く曲線」。

中身　（点の位置）＝（中心の位置）＋（中心から点へのベクトルを回転させたもの）。すべらない条件から、回転角＝転がった距離÷半径。

「滑らない」が回転角を決めている　半径1の円が距離 だけ転がったなら、回転角は （時計回り）。この対応があるから、中心 と回転角 が連動するのです。初期ベクトルを とすると、時刻 では を だけ回転させたもの。名古屋大学の問題では だったので

となり、 が得られました。半径より遠い点なら曲線はループを作ります（トロコイド）。

10 で直交座標に戻す

顔つき　（カージオイド）、（円）、（2次曲線）。

中身　答案では直交座標に直して媒介変数の問題として扱うのが安全。長さは 。

極方程式は「原点からの見え方」を書いた式　 は「真右（）でいちばん遠く（）、真左（）で原点に戻る」と読めます。まず をいくつか代入して を表にするだけで、概形の見当がつきます。実例は体積・弧長のページの神戸大学2016年度で詳しく扱っています。

11三角関数で置くか、傾きで置くか

顔つき　楕円 上の点、双曲線上の点。

中身　楕円は 、双曲線は 。

置いた瞬間に「1変数の問題」になる　曲線上の点を2文字 で扱うと、条件式 が足かせになります。媒介変数で置けば拘束条件が自動的にみたされ、未知数が1つ減る――これが最大の利点です。最大・最小の問題では、置いた直後に三角関数の合成が使えることも多い（2次曲線の型08）。

12境目を逆関数で表し、 で微分する

顔つき　 の最小値。

中身　 の解を とおくと 。 が答え。

「絶対値の積分を で微分すると、長さの差になる」　 を で微分すると 。だから は「 となる部分の長さ」と「 となる部分の長さ」の差です。これが0になるのは区間がちょうど半分に分かれるとき――つまり が の「中央値」になるときです。名古屋工業大学の問題では、この一言で 、そこから が即座に出ました。千葉大学の面積最小の問題とまったく同じ構造です。