軌跡の解法パターン全12型｜型の見抜き方と入試実例（埼玉大・東北大・横浜市大・筑波大・岡山大・横国大）

軌跡の問題は、答えの図形を当てるゲームではありません。「点が動く」という日本語を、 と の関係式に翻訳する作業です。手順はいつも同じで、求める点を置き、条件を式にし、余分な文字を消し、最後に逆を確かめる。この四つ以外のことはほとんど起きません。それでも軌跡が苦手になるのは、消した文字が「存在するのかどうか」という話を素通りしてしまうからです。消去は計算ではなく、存在条件の言い換えです。ここを掴むと、除外点も、軌跡が線分で終わる理由も、答案の最後に書く「逆に」の一文も、すべて同じ一本の理屈から出てきます。このページは軌跡の解法を12の型に分けて並べた辞典です。型は当てはめるための箱ではなく、「いま何を消そうとしているのか」を見失わないための道具として並べています。

1. 背骨——軌跡とは「その文字が存在するための条件」を書き直すこと

軌跡の問題がどれも同じ骨格に見えるのは、条件が例外なく次の形に整理できるからです。

この見方をすると、教科書の3ステップがなぜあの順番なのかが腑に落ちます。求める点を置くのは答えの舞台を先に用意するため。条件を式にするのは日本語のままでは消去ができないから。そしてパラメータを消す――ここが本体です。

消去を「文字を減らす計算」だと思っていると、軌跡はいつまでも運まかせになります。たとえば から を消して を得るとき、私たちは無意識に強い主張をしています。「どんな実数 に対しても という実数が本当に用意できる」という主張です。代入という操作は を作って見せる作業なので、この主張が同時に証明されています。だから代入で消せたときは、逆向きも自動的に言えるのです。

ところが、いつも代入で消せるとは限りません。 が2次の式に埋まって解けないとき、私たちは「 についての方程式が実数解をもつ条件」――つまり判別式に翻訳します。ここで書いているのは、まさしく存在条件そのものです。判別式を使う逆手流も素朴な代入も、「 の存在を の言葉に翻訳する」同じ作業の、難易度違いの二つの顔だと分かります。

もう一つ、この見方から自動的に出てくるものがあります。範囲です。パラメータに のような制限があれば、「存在する 」はその範囲から探さねばなりません。すると の値域が の範囲になり、答えは曲線の一部――弧や線分――で終わります。方程式は「どの曲線か」しか決めない。「その曲線のどこまでか」は範囲が決める。この二段構えを分けて扱えるかどうかが、答案の完成度をそのまま決めます。

最後に、型そのものについて一言だけ。軌跡の問題を見た瞬間に「置いて、式にして、消して、逆を見る」と手が動く人は、頭の回転が速いのではありません。過去に何百回も使われてきた「型」から予想して、思考する量を減らすことで、手際よく解法を思い付いている場合もあるのです。型は考えなくて済ませるための道具ではなく、考える範囲を狭めるための道具です。狭めたあとに何を考えるかは、結局その問題ごとに自分で決めることになります。以下の12型も、そのつもりで読んでください。

2. 手順——型を選ぶまでの判断の流れ

3. 解法パターン全12型

型01　軌跡の求め方の3ステップ（置く・条件を式に・逆を確認）

型02　距離の条件（円・垂直二等分線）

型03　アポロニウスの円

型04　媒介変数を消去する

型05　中点・内分点の軌跡

型06　重心の軌跡

型07　対称点の軌跡

型08　交点の軌跡（パラメータ消去）

型09　除外点の見つけ方

型10　軌跡が線分になる場合

型11　複素数平面での軌跡

型12　「逆に、この曲線上の点はすべて条件をみたす」の書き方

4. 実際の入試で確かめる

ここからは実際に出題された問題で型を確かめます。問題文は各大学が公表した入試問題を、解説のために引用したものです。解答・解説は数強塾が独自に作成したもので、大学公表の解答ではありません。掲載した数値は当塾で独立に解いたうえで Python（sympy による厳密計算と数値計算）で検算し、さらに別の担当者が別ルートで解き直して照合しています。

埼玉大学 2017年度　――　型08・型12。積が固定されると、座標が定数になる

方針。「軌跡が直線」という主張は座標系を回転・平行移動しても変わらないので、軸を 軸、頂点を原点として としてよい。接点を とすると接線は

直交条件。傾きの積が だから 、すなわち 。（ は異符号なので は自動です。）

交点。連立すると 、 より

座標は によらず で一定なので、交点は直線 上にあります。

逆。任意の実数 に対し をみたす は の2解で、判別式 より相異なる実数として必ず存在します。よって軌跡は直線 全体で、これは の準線に一致します。（証明終）

東北大学 2011年度　――　型04・型10。消去する道と、媒介変数のまま積分する道

(1)　接線の傾きが だから、中心は接点 を通り傾き の直線上。実数 を用いて 、半径は 。 を通る条件 より

（ なので 、確かに円ができます。）

(2)　 より 。これを に代入して

軸が に平行な放物線です。逆にこの曲線上の点に をとればもとの表示に戻るので、軌跡はこの放物線全体。

との交点は より 、そのとき 。 では で は単調増加、弧は 上のグラフです。

は奇関数なので消え、

横浜市立大学 2010年度　――　型07・型12。反転は2回で戻る

(1)　Q は半直線 OP 上だから を用いて 。 で、P は原点と異なるので 、よって 。

(2)　 とおきます。この対応は2回施すと元に戻る（対合）ので、逆向きも同じ式です。

（実際 だから 。）もとの曲線を展開すると

（この円は原点を通ります。だから原点だけ除いてあるのです。）代入すると左辺は 、右辺は なので、 より 、すなわち 。

逆に直線 上の任意の点は原点でないので、 が対応する P として原点を除いた円上に存在します。

筑波大学 2016年度　――　型06・型10。根を求めずに重心を追う

(1)　 を消去して 。P、Q の 座標を とすると、条件は①が異なる2つの正の解をもつこと。

順に 、、 または 。共通部分をとって 。

(2)　 より

座標は によらず 。 より で、 はこの範囲を全部動くので

すなわち両端を除いた線分です。

(3)　（）。、 より 。

(4)　 とおくと で 。

だから符号は と一致し、 で正から負へ。よって （ をみたす）のとき最大で

岡山大学 2016年度　――　型04・型10。数III版の軌跡は、微分してから置く

(1)　。 だから符号は と一致し、 の前後で負から正へ変わります。よって変曲点は で 。

(2)　 から を に代入して を消すと 。 は に対応するので

原点を頂点とする放物線の一部で、両端は と （下に凸で単調増加）。図示ではこの2点と凹凸を明示します。

(3)　。 では なので で、2曲線は原点でのみ交わります。また

（ は単調増加なので解は各1個。）つまり の左端は 上、右端は 上。囲まれた部分は上側が 、下側が と です。

横浜国立大学 2009年度　――　型05・型10。存在条件を解の個数に翻訳する

(1)　点 での接線の傾きは で、 のとき法線は 。これが を通る条件 の両辺に を掛けて整理すると

Q, R は P と異なるので 。よって 。（ は②をみたさず、 も となり起こりません。）条件 (*) は②が異なる2実数解をもつことと同値なので 、すなわち または 。

(2)　解と係数の関係より 。中点 は

を代入して 。また は に対応し、 がその範囲を動けば も全部動きます。

ただし または 。

(3)　②の2解のうち大きい方が だから 。有理化して

5. よくある質問

6. 次に読むページ

• 図形と方程式の解法パターン全19型　――　このページの親。軌跡を単元全体の中で概観できます。
• 2次曲線の解法パターン全14型　――　埼玉大学の答えに出てきた「準線」の正体。
• 複素数平面の解法パターン全16型　――　型11の詳細。距離の条件を1文字で書く方法。
• 面積（数III）の解法パターン全12型　――　軌跡が積分の境界になる問題。
• いろいろな関数と曲線（数III）の解法パターン全12型　――　媒介変数表示の曲線をもっと深く。
• 解法パターン事典（総索引）