空間図形の計量の解法パターン全12型｜型の見抜き方と入試実例（東京農工大・横国大・神戸大・岡山大・滋賀医大）

010がいちばん多く並ぶように、原点と軸を選ぶ

顔つき　立方体・直方体・正四面体など、直角と対称性がはっきりした立体。座標が問題文に書かれていない。

中身　直交する3方向を探して原点と軸を決め、全頂点の座標を書き出す。立方体なら1頂点を原点、3辺を各軸に。正四面体なら1頂点を原点、1辺を 軸上、1面を 平面上に。

なぜ効くか　座標を入れた瞬間、空間把握力という不確かなものが四則と平方根の計算に置き換わります。図が読めるかどうかに答案が左右されなくなるのが利点です。ただし置き方が下手だと根号が溢れるので、基準は「成分に0がいくつ並ぶか」。0が多い置き方は内積の項が消えることを意味します。座標の入れ方を選ぶ作業は、すでに計算量を選ぶ作業なのです。

02体積は目的地ではなく、距離を測るための中継地点

顔つき　「四面体 の体積」「体積の最大値」、そして「点から平面までの距離」。

中身　。座標があれば 、内積表しかなければ （ は6個の内積を並べたグラム行列）。三角形の面積 はこの2本版で、作り方はまったく同じです。

なぜ効くか　 は「同じ体積を2通りに書く」ための道具です。底面はどの面にとってもよく体積は変わらないので、面積 さえ出せば で任意の頂点から任意の面までの距離が出ます。法線を作る手間が要らないぶん、座標の無い問題では最短ルート。体積は測りたい量というより、距離を測るための踏み台だと思っておくと使いどころを外しません。

033本の道があり、選び方は「与えられたもの」で決まる

顔つき　「平面 に下ろした垂線の長さ」「平面に接する球の半径」「平面上の点との距離の最小値」。

中身　①法線　。②垂線の足　足を平面上に2文字で置き、平面内の2方向と垂直、で連立。③体積　。

なぜ効くか　3本あるのは無駄ではなく、与えられているものと聞かれているものが道を決めるからです。座標があるなら①、長さと内積しかないなら③、足の位置そのものを聞かれているなら②しかありません。そして②は「平面上を動く点との距離の最小」と完全に同じ計算——平方完成の頂点条件が内積 だからです。

04両方に垂直、という2本の式で2文字が決まる

顔つき　ねじれの位置にある2直線。「線分 の長さの最小値」「両方に垂直な線分」。

中身　各直線上に点を1つずつ、文字1つずつで置く。 が両方の方向ベクトルと垂直という2式で2文字が決まる。座標があれば でも出る。

なぜ効くか　文字が2つ、条件も2つ。方向が平行でないかぎりこの連立は必ず一意に解けます——「最短を与える線分（共通垂線）は1本しかない」という幾何の事実が、解の一意性として現れるわけです。神戸大学2013年度は「向きを1つ指定するたびに線分が1本決まる」という一般論まで踏みこみ、共通垂線がその特別な1本だと分かります。

05「等距離」を2乗して差をとると、2次の項が消える

顔つき　「四面体の外接球の半径」「4点を通る球の方程式」「 をみたす点」。

中身　中心を と置き などを立てると、 の形の1次方程式が3本。座標があるなら に4点を代入。

なぜ効くか　急所は「2乗して差をとると2次の項が消える」こと。残るのは1次です。これは「2点から等距離な点の集合＝垂直二等分面」が1次の式であることの計算版で、外接球の中心とは3枚の垂直二等分面の交点。2次方程式を解く覚悟をしていたのに1次で済むと知っているだけで、外接球は怖くなくなります。

06中心から4本の錐に切り分け、体積を足し戻す

顔つき　「四面体に内接する球の半径」「4つの面すべてに接する球」。

中身　4面の面積を 、体積を として 。導出は、内心と各面が作る4つの四面体に分割し 。

なぜ効くか　三角形の内接円とまったく同じ論法です。中心から各面へ下ろした垂線がどれも なので、部品の体積が でくくれる。次元が1つ上がると、面積が体積に、周が表面積に、係数 が に変わるだけ。ここで外接球と内接球では道具がまったく違う点に注意。外接球は「等距離」から1次連立、内接球は「体積の分割」。同じ球でも聞かれ方が変われば別の型です。

07必要な点が1枚の平面に乗ると気づけば、空間は平面になる

顔つき　「立方体を3点を通る平面で切ったときの切り口」「断面積を の関数で表せ」、登場人物が少なく対称軸がある立体。

中身　切り口は「同じ面上の2点は結べる」「平行な2面には平行な切り口が現れる」で作図する。面積は断面の中に座標を入れるか、正射影（型08）で求める。

なぜ効くか　断面を考えることは空間の問題を平面の問題に落とすことです。平面に落ちた瞬間、三平方の定理・相似・円周角・方べきの定理が一斉に使えます。岡山大学2016年度がその極端な例で、5点がすべて「 軸と点 を含む1枚の平面」に乗ると気づいた瞬間、球の問題が円の問題に化けます。どの平面で切るかを見つけることが、この型の全体です。

08影は一方向にだけ縮む。だから面積は 倍

顔つき　「平面 上の図形を平面 に正射影した面積」「2平面のなす角が のとき」。斜めの断面の面積。

中身　、逆に 。ベクトルの正射影は （）。

なぜ効くか　射影はひとつの方向にだけ長さを 倍し、垂直な方向は変えない操作だからです。この一行が分かれば公式は覚えなくてよい。もっと大事なのは、正射影とは「ある方向の成分を抜き取る操作」であり内積そのものだという点。抜き去った残りは必ず元の方向と垂直なので、そこから直交する基底が作れて、垂線の足が一行で書けます。神戸大学2005年度は、その手順を丸ごと出題にしたものです。

09最初に内積表を作る。あとはすべて代入

顔つき　「1辺の長さが1の正四面体」「正八面体」「立方体の対角線」。

中身　1辺1の正四面体なら 、（なす角が だから）。この表を先に書き出し、長さは2乗して代入する。

なぜ効くか　正多面体は対称性が高い、すなわち独立に決まる数が少ない立体です。1辺を決めれば他の長さも角度もすべて決まる。だから6個の内積を1度書き出す作業に、この立体のすべてが凝縮されます。座標（型01）と比べた利点は根号が途中に出てこないこと——座標だと のような成分が現れますが、内積表なら分数だけで最後まで行けます。

10面の上を通る道は、展開しても長さが変わらない

顔つき　「側面上を通って から へ至る最短経路」「ひもをぴんと張る」「円錐に糸を巻きつける」。

中身　通る面を順に平面へ展開し、2点を線分で結ぶ。長さは平面上の2点間距離で、余弦定理を使う場面が多い。円錐なら側面を扇形に開き、中心角を で出してから余弦定理。

なぜ効くか　展開しても各面の内部の距離はいっさい変わりません（折り目で切って平らに広げただけだから）。だから面上の経路の長さは展開図での長さと一致し、平面上で2点を結ぶ最短は線分という自明な事実が使えます。これも次元をひとつ落とす一手。注意点はひとつ——通る面の選び方で展開が何通りもあるので、候補をすべて展開して比べる。1通りで終わりにするのが唯一の失点源です。

11軸に垂直に切れば、断面は必ず円か円環

顔つき　「三角形を直線 のまわりに1回転してできる立体の体積」「立方体を対角線のまわりに回す」。

中身　回転軸に垂直な平面で切る。断面は円か円環で、外半径 は軸から最も遠い点、内半径 は最も近い点までの距離。。

なぜ効くか　回転体は「軸に垂直に切れば必ず円か円環」という強い性質をもつので、難しいのは積分ではなく各断面で と を決めること——つまり点と直線の距離の最大・最小という別の問題に化けます。ここを取り違えて「回した後の形」を想像しようとすると手が止まる。形を想像するのではなく、切ってから考える。これがこの型の全部です。

12対称性は、答えの居場所を計算前に絞りこむ

顔つき　正多面体、等面四面体、回転体、「 軸のまわりに対称」。役割を入れ替えても条件が変わらない設定。

中身　入れ替えても同じになる量は等しい、と先に宣言してから計算する。求める点が対称の軸・面の上にあると決め打ってよい場面が多い。

なぜ効くか　対称性は答えがどこにあるかを、計算を始める前に絞りこみます。正四面体の外接球の中心は、どの対称移動でも動かない点でなければならないので重心以外にありえない。この一言で連立が要らなくなります。横浜国立大学の問題でも、直線 上の点は と の係数が必ず等しく、答えの形が計算前に見えています。そして対称性は検算にも使えます——役割を入れ替えた答えが元と一致しなければ、どこかで間違えている。「見通す」と「確かめる」は同じ武器の表と裏です。