空間ベクトルの解法パターン全12型｜型の見抜き方と入試実例（山口大・九州大・神戸大・千葉大・横国大・名工大）

01成分にしたら、あとは平面と同じ

顔つき　3点の座標が与えられている、直方体や座標軸が出てくる。

中身　、、。

成分が3つに増えても、公式は増えない　内積の定義も長さも、項が1つ増えるだけです。空間ベクトルの計算が重く感じるのは公式のせいではなく、図が描けないので方針が立たないから。成分に落とせば図を描く必要がなくなる、というのがこの型の最大の効用です。

隣の型との境界　座標が与えられていないのに無理に置くと文字が増えます。比だけが問われているなら型03へ。

022通りに表して、係数を比べる

顔つき　「平面 PQR と辺 AC の交点を S とする」。

中身　交点を「直線上の点」として1文字で、「平面上の点」として2文字で表し、一次独立を根拠に係数比較。

未知数3つ・式3本　直線のパラメータ1つと平面のパラメータ2つで未知数は3つ、基底が3本なので係数比較の式も3本。必ず解けることが最初から分かっているので、途中で不安になりません。平面ベクトルの型02とまったく同じ構造です。

手順　① 直線上の点として表す → ② 平面上の点として表す → ③ 一次独立を宣言して係数比較 → ④ 連立

03係数の和が1なら同一平面上

顔つき　「4点が同一平面上にあることを示せ」「点 P が平面 ABC 上にある条件」。

中身　 のとき、P が平面 ABC 上 。

なぜ「和が1」なのか　平面 ABC 上の点は と書けます。これを展開すると で、係数の和は 。直線のときの「係数の和が1」が、そのまま平面に持ち上がっているだけです。三角形の内部なら、さらに3つの係数がすべて正。

04「垂直」は内積0、それだけで足りる

顔つき　「 平面」「」。

中身　未知点をパラメータ1つで表し、内積 を立てる。平面への垂直なら、平面を張る2本それぞれとの内積を0にする（式2本）。

正射影の公式は覚えなくてよい　 の 方向への正射影は ですが、これは「 とおいて を解く」だけで出ます。公式を思い出すより、その場で2行書くほうが速くて確実です（九州大学の実例）。

05両方に垂直になる線分をとる

顔つき　「ねじれの位置にある2直線の距離を求めよ」。

中身　各直線上の点を と表し、 が両方の方向ベクトルと垂直になるよう2式を立てる。

なぜ「両方に垂直」で最短になるのか　 を の2変数関数と見ると、これは下に凸な2次関数です。最小になるのは偏微分が0のところで、その条件を書き下すとちょうど「両方の方向ベクトルと垂直」になります。最短距離の条件が垂直条件と一致するのは偶然ではない――これは点と直線、点と平面でも同じ構造です。

06根号の中は「長さの積の2乗 − 内積の2乗」

顔つき　「 の面積を求めよ」。

中身　。平面でも空間でも同じ式が使えます。

を経由しないこと　 から入ると、 を出して と二重の根号になりがちです。上の式はその計算を1回で済ませた形。長さの2乗と内積さえ出ていれば、代入するだけで面積が出ます（山口大学の実例）。

07底面積と高さ、または成分の行列式

顔つき　「四面体 OABC の体積を求めよ」。

中身　（体積）＝ （底面積）（高さ）。高さは「頂点から底面へ下ろした垂線の長さ」＝点と平面の距離（型11）。座標があるなら成分の行列式でも出ます。

高さを出す手間をどう省くか　高さは、法線ベクトル を1本用意すれば で一発です。垂線の足の座標を求める必要はありません。「高さ＝法線方向の成分」と読みかえるのが、空間の体積問題の要です。

08中心からの距離と半径を比べる

顔つき　「球面と直線が接する条件」「球面と平面の交わりの円の半径」。

中身　中心 、半径 の球面と、対象までの距離 を比べる。交われば断面の円の半径は 。

2次元の円の議論がそのまま持ち上がる　「円と直線の位置関係は中心と直線の距離で決まる」を、球面と平面に置きかえただけです。空間の球面の問題は、断面をとって円の問題に落とすのが定石。断面をとるとは、球の中心を含む平面で切ることです。

隣の型との境界　外接球の中心は「4頂点から等距離」で決まります。等距離条件を2乗して立てると1次式になり、連立で中心が求まります（千葉大学の実例）。

09法線ベクトルを1本決めれば平面が決まる

顔つき　「平面 に垂直なベクトルを求めよ」「平面の方程式を求めよ」。

中身　 とおき、平面を張る2本との内積を0にして を決める。平面は 。

連立を解くだけ、が正攻法　、 は についての2本の1次方程式で、未知数3つに対して式2本なので比だけが決まる（大きさは自由）。だから「 成分を1とする」「長さを とする」といった条件が後から付くのです。外積を知っていれば一発ですが、教科書の範囲では連立で出すのが標準です。

10条件を「表現」と「方程式」に分ける

顔つき　「A から直線 CD に下ろした垂線の足 G を求めよ」「点から平面への垂線の足 H」。

中身　直線なら と1文字で表現し、 の1本で決める。平面なら と表現し、H が平面上という条件で決める。

2つの条件を役割分担させる　垂線の足は「その図形上にある」＋「垂直」の2条件で決まります。前者を表現に、後者を方程式に使うと、未知数1つ・式1本にきれいにそろう。平面への垂線では、この分担が逆（ 方向という表現＋平面上という方程式）になるのが面白いところです（九州大学の実例）。

11法線方向の成分の大きさ

顔つき　「点 P と平面 の距離を求めよ」「四面体の高さ」。

中身　平面上の1点を A、法線を として 。成分なら 。

絶対値を外すと「どちら側か」が分かる　絶対値を付ける前の は符号付きの高さで、正なら 側、負なら反対側。「2点が平面に関して同じ側にある」という条件は、この符号が同じということです。距離を求める公式は、同時に「どちら側か」を判定する道具でもある――ここに気づくと、対称点や最短経路の問題が一段軽くなります。

12条件式を図形の言葉に読み替える

顔つき　「 をみたしながら P が動く」。

中身　 は、 に垂直な平面を表す。 と組み合わせると円周、 と組み合わせると円板になる。

なぜ平面になるのか　 方向の成分（正射影の長さ）が で一定、ということだからです。「ある方向の成分が一定」＝「その方向に垂直な平面」。この一行の翻訳ができると、条件式だけで点の動く範囲が図として見えます。空間の軌跡・通過範囲の問題は、ほぼこの翻訳で始まります（横浜国立大学の実例）。