極限の計算の解法パターン全14型｜型の見抜き方と入試実例（山口大学・横浜国立大学・島根大学・大阪大学）

01名前をつけた瞬間に、手が決まる

顔つき　代入すると 、、、、 のどれかになる。

中身　・ は割るか既知の形へ（型03・型05〜型07）。 は差を実行（型02、通分、因数分解）。 は分数に書き直す。 は対数をとる（型06・型08）。

なぜ効くか　不定形は5種類しかなく、種類ごとに最初の一手がほぼ決まっています。答案の一行目に「これは の不定形である」と書く習慣をつけると、以降の変形が全部その一行に従います。

02共役をかけて、引き算を実行してしまう

顔つき　 を含む や 。、 など。

中身　 には を掛けて割る。 で根号が消える。分子側・分母側の両方がある。

なぜ効くか　 が不定なのは引き算の結果がいくら残るか見えないから。有理化は引き算を先に実行する操作で、 のように差を比に翻訳します。

03主役で割れば、脇役は全部 に潰れる

顔つき　多項式どうしの分数、 の冪が混ざった 。

中身　分母・分子をいちばん強い項で割る。根号の中は次数が半分（ は と同格）。あとは だけを使う。

なぜ効くか　主役で割るとは、主役の速さを と決めて目盛りを取り直すこと。脇役は になり、主役どうしの係数の比だけが残ります。「次数が同じなら係数比、分子が高ければ発散、分母が高ければ 」が計算の副産物として出てきます。

04値をあきらめて、居場所だけを決める

顔つき　値そのものが閉じた式で書けない。ガウス記号、閉じない和、初等関数で書けない積分。

中身　 で、 と が同じ値に収束する不等式を作る。先に行き先を予想し、その両隣を探す。

なぜ効くか　極限は「行き先」であって「値」ではありません。行き先さえ確定すれば、途中の値を知らなくても答えは書けます。あとで見る大阪大学の問題のように不等式を作ること自体が問題の本体になることもあります。

05角と分母を同じ文字にそろえる

顔つき　三角関数があり、その角が に近づく。 のように で現れることも多い。

中身　。派生として 、。角を と置き直し、分母も同じ にそろえるのが手順のすべて。

なぜ効くか　これは の における微分係数そのもので、「三角関数を原点のまわりで直線に取り替えてよい」と言っています。 だけ の速さなのは、 が原点で山の頂点にいるからです。

06 の形を見たら を疑う

顔つき　、、、。

中身　、、。 に近づく量と に飛ぶ量を互いに逆数にそろえる。

なぜ効くか　後ろの二つは の 、 の における微分係数。型05と同じ構造で、指数関数と対数関数を原点付近で直線に取り替える道具です。あとで見る横浜国立大学 2009年度の問題は、これ一つで決着します。

07差の比は、微分係数の定義に読み替える

顔つき　 の形に読める 。

中身　 に当てはめる。分子が の形になるよう足して引くのが常套手段。

なぜ効くか　ロピタルの定理は教科書の範囲外で、成立条件を自分で確認しないと使えません。しかも の入試問題は、ほとんどがもともと微分係数の定義を問う形で作られています。定義に戻す書き方こそ、出題者が用意した正面の道です。

08積と累乗は、対数で和と積に落ちる

顔つき　、、 乗根、 個の積、 のような量。

中身　 のとき の極限を求め、最後に で戻す。積は和に、累乗は積になるので型09や型03に接続できる。

なぜ効くか　 が単調で連続だから ならば が保証され、扱いにくい積や累乗をいったん和に落として計算し、あとで戻す迂回が正当化されます。 をとる前に中身が正であることの確認を忘れずに。

09 をくくり出せた瞬間に、和は積分に化ける

顔つき　項数も各項も に依存する和。 など。

中身　。まず を強引にくくり出し、残りが だけの式になるか確かめる。

なぜ効くか　これは定積分の定義そのもの。「和が計算できるから積分になる」のではなく、「積分がもともと和の極限として定義されている」のです。実務では のくくり出しが九割で、分母の の次数を数えて外に出す作業になります。

10無限個の足し算という計算は存在しない

顔つき　 の和を求めよ。収束・発散を調べよ。

中身　部分和 を閉じた式で求めてから を計算する。道具は等比の和、望遠鏡和、部分分数分解。

なぜ効くか　この記号は「部分和の極限」の略記であって、それ以外の意味を持ちません。だから答案は必ず「部分和を書く → 閉じた式にする → 極限をとる」の三段。差の形 を作れれば、途中が打ち消し合って両端だけが残ります。

11先に一般項、それから極限

顔つき　 が与えられ、 を求めよ。

中身　①置き換えで一般項を求め、そこに を持ち込む。②求まらないときは を作り、 ではさむ。

なぜ効くか　やってはいけないのは「 だから 」といきなり代入すること。収束を仮定した計算で、証明にはなっていません（発散する数列でも解けます）。 は見当をつけるためだけに使う――この線引きが核心です。

12 は式ではなく、幅1の檻

顔つき　、、 などが極限の中にいる。

中身　（同値に ）で不等式に直し、はさみうち（型04）に接続する。

なぜ効くか　ガウス記号は連続でも微分可能でもなく、初等関数の式で書けません。しかし は必ず から幅1以内にいる。この檻に閉じ込めれば、 で割った瞬間に幅は に縮み、極限では点になります。

13関数から数列へは行けるが、逆は行けない

顔つき　 の式の極限を の関数として微分で調べたくなる場面。 や が出てくる場面。

中身　 ならば 。逆は成り立たない。数列は自然数というとびとびの足場しか踏まない。

なぜ効くか　使ってよい向き―― を調べるのに を微分してよいのは、関数で示せれば数列にも降りてくるから。使ってはいけない向き―― がすべての自然数で成り立っても、 が に近づくわけではありません。

14序列で予想し、不等式で証明する

顔つき　、 など、 だが型03では割り切れないもの。

中身　序列 で答えを予想し、証明は不等式で行う。定番は二項定理（ として ）と対数の評価。

なぜ効くか　型03が使えるのは「同じ種族どうしの比」だけ。種族が違うと、割っても脇役が消えません。序列そのものは答案に書けませんが、予想が立つかどうかで、はさみうちの不等式を探す時間はまったく変わります。