2次関数の解法パターン全20型｜型の見抜き方と入試実例（岡山大・滋賀大・神戸大・宇都宮大）

01因数分解を試して、だめなら解の公式

顔つき　 のような素朴な方程式。

中身　たすきがけ →（だめなら）解の公式 。 が偶数なら 。

なぜ因数分解を先に試すのか　因数分解できる係数で出題されているなら、それは出題者の設計です。解の公式は必ず通りますが、根号の中を計算する手間と計算ミスの機会が増えます。30秒だけ因数分解を試して、だめなら公式――この線引きを決めておくと迷いません。

02=0 の解を出して、グラフで読む

顔つき　。

中身　 で2解 をもつとき、 は内側 、 は外側。

「内側・外側」を覚えるより、グラフを描く　下に凸の放物線が 軸を2回横切る図を描けば、負になるのは2解の間だけだと一目で分かります。判別式が0や負のときも同じで、グラフを描けば場合分けを暗記する必要がなくなる。2次不等式で符号を間違える人は、ほぼ例外なくグラフを描いていません。

032乗する前に、符号と定義域を書く

顔つき　、。

中身　 かつ （ は自動）。不等式は向きで場合分けが変わる。

2乗は同値変形ではない　 から は言えますが、逆は言えません（ と が同じになる）。だから2乗する前に「両辺とも0以上」を確認するのが必須です。慣れてくると省きたくなりますが、ここを省いた答案は余分な解を拾って失点します。ベクトルでも同じ落とし穴があります。

04判別式は「グラフと 軸の交わり方」

顔つき　「異なる2つの実数解をもつような の範囲」。

中身　（2解）、（重解）、（実数解なし）。

判別式の正体　 は、平方完成した の頂点の 座標に をかけたものです。つまり「頂点が 軸のどちら側にあるか」を測っている。この見方なら、 のとき 頂点が 軸より上 常に正、という型18の内容と自然につながります。

05解を求めずに、和と積だけで進む

顔つき　「2解を とするとき を求めよ」。

中身　。対称式は必ず和と積で書ける。

なぜ解を求めなくてよいのか　 の対称式（入れかえても変わらない式）は、基本対称式 の多項式で必ず書けるからです。解が汚い根号でも、対称式なら有理数で答えが出る。「解を求めよ」と言われていないなら、求めない」のが原則です。

06与えられた情報に合わせて、3つの形を使い分ける

顔つき　「頂点が で点 を通る」「3点を通る」「 軸との交点が 」。

中身　頂点なら 、通る3点なら 、 軸との交点なら 。

未知数を最小にする形を選ぶ　どの形も同じ関数を表しますが、未知数の個数が違います。頂点が分かっていれば未知数は の1つだけ、3点なら3つ。与えられた情報に合った形を選べば、連立方程式の本数がそのまま減ります。「情報の形と式の形をそろえる」のがこの型の全部です。

07軸が区間の左・中・右のどこにあるか

顔つき　「 における の最小値」。区間が固定、軸が動く。

中身　 のとき最小値は、軸が区間の左外なら左端、内部なら頂点、右外なら右端。最大値は軸から遠いほうの端点。

3つに分ける根拠　最小値をとるのは「区間の中で軸にいちばん近い点」なので、軸が区間内にあればその軸、外にあれば近いほうの端点。場合分けの数が3なのは、軸が区間に対して取りうる位置が3通りしかないからです。暗記ではなく、その場で図を1つ描けば必ず出せます。

手順　① 平方完成して軸を出す → ② 軸と区間の両端の大小で場合分け → ③ 各場合で値を書く

08軸を固定して、区間を動かす（または両方動く）

顔つき　「 における最小値」「区間も軸も で動く」。

中身　やることは型07と同じ。比べるのは「軸の位置」と「区間の両端」の大小だけです。

両方動いても、比べるものは変わらない　「軸も区間も動く」と聞くと難しく感じますが、最小値を決めるのは相変わらず軸が区間の左外・内部・右外のどれか。両方が で動くなら、その3つの条件が の不等式になるだけです。実際、区間 、軸 なら、 のように機械的に決まります（岡山大学の実例）。

09置き換えたら、必ず範囲を追いかける

顔つき　、、 とおく。

中身　かたまりを とおいて2次関数にする。 のとりうる範囲を必ず調べる。

置き換えの本体は「範囲の追跡」のほう　 とおく操作自体は誰でもできます。差がつくのは、 が動ける範囲を正しく出せるかどうか。元の変数が動くと はどこまで動けるか――これを調べずに の全実数で最大最小を出すのが、この型で最も多い失点です。範囲の出し方は「 の式を の関数と見て値域を求める」か「実数条件（判別式）に帰着させる」の2通りです（神戸大学の実例）。

10グラフの形から係数の符号を読む

顔つき　「グラフが図のようになるとき の符号は」「 軸方向に 平行移動」。

中身　 は開き方（上に凸か下に凸か）、 は 切片、軸 の符号から が決まる。平行移動は 。

なぜ移動は「引く」のか　新しいグラフ上の点 は、もとのグラフ上の点 が動いたものだからです。だから元の式に を代入する。「点が動く向き」と「式に入れる符号」が逆になるのは、代入しているのが移動前の座標だからです。

111文字ずつ平方完成する

顔つき　「 の最小値」。

中身　 について平方完成、次に について平方完成。 定数 の形にする。

独立に動かせるなら、独立に最小化してよい　 と に関係がないので、それぞれを別々に最小にできます。 の等号が同時に成り立つ が実際に存在するかを確認するのが仕上げ。「等号が同時に成立するか」の確認は、相加相乗でもコーシー・シュワルツでも共通の作法です。

121文字消去 → 消した文字の存在条件が残る

顔つき　「 のとき の最大値」。

中身　 を消して の関数にする。ただし消した が実数として存在する条件が の範囲として残る。

消しても消えない条件　 を消去すると式からは が消えますが、「そのような が実在する」という条件は残ります。これを忘れると、実際には到達できない値を答えてしまう。1文字消去は「消す」のではなく「条件を移す」操作だと理解してください。移し先はたいてい の変域か、判別式の不等式です（岡山大学・神戸大学の実例）。

13和と積を新しい変数にする

顔つき　「 とおく」「 を入れかえても変わらない式」。

中身　 とおくと対称式は で書ける。ただし が実数である条件は 。

は自由には動けない　 は の2解なので、実数であるためには判別式 が必要です。この不等式こそが、対称式の置き換えで「消えたはずの情報」。型12と同じ構造で、変数を取りかえたぶんの条件が必ずどこかに現れます（神戸大学の実例）。

14片方を定数と見て、二段階で最小化する

顔つき　消去も対称式も使えない2変数の最大最小。

中身　 を固定して の関数として最小値を出す（ の式になる）→ その式を の関数として最小化。

なぜ二段階でよいのか　全体の最小値は「各 ごとの最小値」の中の最小値だからです（予選をやってから決勝、と呼ばれます）。順序を入れかえても答えは同じですが、計算が軽いほうを先にするのがこつ。この考え方は微分でも同じように使えます。

15判別式・軸・端点の値

顔つき　「2解がともに2以下」「1解が正で1解が負」「区間内に2解」。

中身　 で「区間 に2解」なら　、軸が と の間、、。

なぜこの3つで必要十分なのか　「 軸と交わる（）」「交点が区間の側にある（軸の位置）」「区間の外側では正のまま（端点の値）」――この3つがそろって初めて、2つの交点が区間の中に閉じこめられます。どれか1つ欠けると反例が作れる。グラフを描いて「この3つを外したらどうなるか」を1度ずつ確かめておくと、二度と忘れません（滋賀大学の実例）。

16（ の式）に直して、水平線との交点で見る

顔つき　 の解の個数、のように文字定数が1か所にまとめられるとき。

中身　 と変形し、 のグラフと水平線 の交点の個数を読む。

なぜ分離できると楽なのか　文字定数が式の中に散らばっていると、 を変えるたびにグラフの形が変わってしまいます。ところが を片側に集めれば、グラフは1本に固定され、動くのは水平線だけ。動くものが1つになるので、目で数えられます。分離できるかどうかを最初に見る――できるなら型16、できないなら型15、という判断です。

隣の型との境界　 のように が2か所にあっても、 から と分離できることがあります。あきらめる前に一度は試す価値があります。

17折り返して考える

顔つき　、 の解の個数。

中身　 のグラフは、 の部分を 軸で折り返す。

場合分けより、まずグラフ　 の範囲で場合分けして解いてもよいのですが、解の個数を問われているなら折り返したグラフに水平線を引くほうが速く、しかも数え漏らしがありません。絶対値は「負の部分を折り返す操作」と図で覚えると、（ 軸で折り返し）との違いも混ざりません。

18最小値が正（下に凸のとき）

顔つき　「すべての実数 に対して 」。

中身　 かつ 。2変数以上なら、1文字ずつ判別式を使う。

2文字なら判別式を2回　「すべての で 」なら、まず についての2次式と見て判別式 。それが についての不等式になるので、もう一度「すべての で」を適用します。変数を1つずつ消していくのがこの型の骨格で、途中で2次の係数が0になる場合を別扱いするのが最大の落とし穴です（岡山大学の実例）。

19その区間での最小値（または最大値）を調べる

顔つき　「 のすべての で 」。

中身　区間内の最小値 。最小値は型07・型08で求める。

判別式は使えない　「区間内で常に正」は、判別式 とは別物です（区間の外で負になってもよい）。範囲が限定されたら、必ず最大最小に戻る。判別式が使えるのは「すべての実数で」のときだけ、と線を引いておいてください。

20どちらが「すべて」でどちらが「ある」かを分けて書く

顔つき　「すべての に対して、ある が存在して 」。

中身　内側から処理する。「ある が存在して」なら についての最大値・最小値（または存在条件）を先に片づけ、外側の「すべての 」を後で処理する。

順序を入れかえてはいけない　「すべての にある 」と「ある にすべての 」はまったく違う条件です（前者では が に応じて変えられる）。日本語では区別しにくいので、「 は に依存してよいか」を自問するのが確実です。この違いは論理・集合の単元と直結しています。