三角関数の公式は多く見えますが、入試でやることは「角をそろえる」「次数を下げる」「1文字に置きかえる」の3つに集約されます。加法定理も倍角も合成も、すべてこの3つのどれかを実行するための道具です。そして最も大切なのは、置きかえたあとにその文字がどこまで動けるかを追うこと――ここを落とすと、存在しない最大値を答えてしまいます。このページは、三角関数の解法を14の型に分けて並べた辞典です。型は当てはめるための箱ではなく、考える範囲を狭めて、そこから先に頭を使うための道具として並べています。
このページの14型
- 単位円で値を読む（基本と相互関係）
- 加法定理（角をそろえる）
- 2倍角・半角（次数を下げる）
- 合成（2項を1項にまとめる）
- と の対称式
- 三角方程式（単位円で解を数える）
- 三角不等式（範囲を先に確定する）
- 和積・積和の公式
- 置きかえて2次関数にする
- の置きかえ
- 三角形の内角に関する条件
- 系・ 倍角
- チェビシェフ型の漸化式
- 2変数の三角関数（存在条件に翻訳）
- 北大の良問 022｜倍角を正接の二次方程式へ落とす
1. 三角関数の背骨——やることは3つだけ
A角をそろえる。 と 、 と が混ざっていたら、片方に統一する。
道具は加法定理と2倍角。角がそろわないかぎり、式は1つの変数の関数になりません。まずここを片づけます。
B次数を下げる。 で2次を1次に。
半角の公式は「2乗を消して角を倍にする」変換です。次数と角はトレードオフ――どちらをそろえたいかで使う向きが決まります。
C1文字に置きかえる。、、 など。
置きかえると2次関数や分数関数の問題になります。ただし の動く範囲を必ず調べること――これがこの単元最大の落とし穴です。
合成は「答えを出す」ためではなく「範囲を出す」ため
この式のいちばんの効用は、 が1つになるので値域が即座に分かることです。この式の値は 以上 以下。
ただし に範囲があるときは、 の範囲を出してから値域を決めます。ここを飛ばすと端点を取り違えます。
なぜ合成できるのか。 を成分とするベクトルの長さが 、偏角が だと考えると、 は内積の形です。だから と「単位ベクトルとの内積」の積 となり、 が の間を動くぶんだけ値が振れる。合成の正体はベクトルの内積だと知っていると、 を書き間違えません。
2. 置きかえたら範囲を追う——この単元で最も多い失点
代表的な置きかえと、その範囲
→ （ が全実数なら）
→ 。しかも
→
範囲を出すために合成する。 とおいたとき、 が全実数を動くと思ってしまうと答えが変わります。合成すれば が一目で出る。置きかえの直後に合成する――この順序を習慣にしてください。そして 自体に範囲があるなら、合成後の角の範囲を書いてから の範囲を決めます（東京都立大学の実例）。
3. 解法パターン全14型
型01 単位円で値を読む
01座標として読む
顔つき 「 の値」「 を使う」。
中身 単位円周上の点の 座標が 、 座標が 。相互関係は円の方程式そのもの。
公式ではなく図 も も、単位円で点の位置を見れば一目です。符号を暗記すると必ずどこかで間違えますが、円を1つ描けば間違えません。 も、相互関係を で割っただけです。
型02 加法定理
02角をそろえるための道具
顔つき 、。
中身 、。
展開する向きと、まとめる向き 加法定理は左右どちらにも使えます。ばらばらの角を1つにまとめたいなら右から左（合成・和積）、複雑な角を基本の角に分解したいなら左から右。「いまどちらをしたいのか」を決めてから使うと、迷いません。
型03 2倍角・半角
03次数と角のトレードオフ
顔つき と が混ざっている。
中身 、。
どちらの形に統一するかは、他の項が決める なら にそろえたいので を選びます。「残したい文字を含む形」を選ぶ――これが3つある2倍角の使い分けの基準です（横浜国立大学の実例）。
型04 合成
042項を1項にまとめて値域を出す
顔つき の最大最小、または という不等式。
中身 。 は で決める。
注意 に範囲があるときは、合成後の角の範囲を書く。
なら は から まで。この区間で が から まで全部とるかを確認してから値域を書いてください。
型05 の対称式
05和が分かれば積が分かる
顔つき のとき を求めよ。
中身 とおくと 。あとは対称式の変形。
が因数分解できる 。和と差の両方が分かっていれば、2倍角がその積で書ける――この見方は岡山大学の問題で決め手になります。差の符号は、 の範囲から と の大小を判断して決めます。
型06 三角方程式
06角の範囲を先に確定してから単位円で数える
顔つき 「 で を解け」。
中身 とおくと 。この範囲で解を数え、最後に に戻す。
解の個数を間違えないために の範囲が でも、 の範囲は なので解は2倍近く出ます。置きかえた文字の範囲を先に書く――これを飛ばすと必ず解を落とします。単位円に の範囲を書きこんで数えるのが確実です。
型07 三角不等式
07単位円の弧として読む
顔つき 「」。
中身 単位円で 座標が 以上になる弧を読み、角の範囲に直す。
区間を先に確定しないと解の個数を誤る が を動くなら、 となるのは だけ。もし範囲を だと勘違いすると、同じ区間しか出ないので気づけませんが、範囲が広い場合は解が2周ぶん出ます（大阪大学の実例）。
型08 和積・積和の公式
08加法定理2本の和・差で作る
顔つき を積に、 を和に。
中身 のように、真ん中の角からの と見る。
暗記せずに作れる と を加法定理で展開して足せば 。「和と差の平均が 、半分の差が 」という対応さえ覚えれば、公式表は要りません。埼玉大学の問題（後掲）は、この作り方そのものを (1) で問うています。
型09 置きかえて2次関数にする
09角をそろえてから1文字にする
顔つき の最小値。
中身 2倍角で にそろえ、（）とおく。あとは閉区間上の2次関数。
この単元の最大最小の8割はこの型 角をそろえる→1文字にする→2次関数、という3手で片づきます。 は を「全部」とるので、 の値域は の 上の値域とぴったり一致する――ここが置きかえが正当化される理由です。あとは2次関数の型07・型08そのものになります。
型10 の置きかえ
10三角関数を有理式に変える
顔つき と が分数の形で混ざっている。
中身 。
すべてが の有理式になる この置きかえで三角関数の問題が代数の問題に変わります。強力ですが式が重くなるので、他の手が効かないときの最後の道具と位置づけてください。数IIIの積分では標準的に使います。
型11 三角形の内角に関する条件
11 を1本の式として使う
顔つき 「 で が成り立つとき、どんな三角形か」。
中身 を代入して2変数にし、加法定理で展開する。
3つの角は独立ではない という束縛があるので、実質の自由度は2つ。1つを消して2変数にしてから式変形するのが定石です。、 という書きかえは頻出なので、その場で作れるようにしておいてください。
型12 系・ 倍角
12倍角の関係を方程式にする
顔つき 「 の値を求めよ」。
中身 なら なので 。両辺の （または ）をとって、3倍角と2倍角の方程式にする。
角の関係を等式にするのが出発点 が特別なのは だからです。 を と分けると、既知の3倍角・2倍角の公式に落ちる。同じ発想で 系の問題も扱えます。
型13 チェビシェフ型の漸化式
13 を の多項式で書く
顔つき 「 となる整式 が存在することを示せ」。
中身 。2つ前を参照するので、2段階の帰納法を使う。
なぜ2段階なのか 漸化式が と の両方を使うので、「 と で成り立つ」を仮定して「 で成り立つ」を示す形になります。次数が 次であること（最高次が打ち消し合わないこと）と、係数が整数のままであることも同時に確かめるのが答案です（埼玉大学の実例）。
型14 2変数の三角関数
14存在条件に翻訳する
顔つき 「 のとき の範囲」。
中身 を作ると だけの式になる。 が必要十分条件。
2乗和が「差だけの量」になる 。つまり点 は半径1以上3以下の円環を動きます。2変数の三角関数は「2乗和を作る」と自由度が1つ減る――この一手が、東北大学の問題の急所です。あとは条件の直線が円環を切る範囲を読むだけになります。
4. 実際の入試で確かめる
この単元の解法パターンは全14型で、下にある入試の実例6問で確かめているのは8型です。残りの6型は、下にある実例では扱っていません。1問が複数の型にまたがることも、同じ型を複数の実例で扱うこともあるため、実例の数と型の数は必ずしも一致しません。
ここからは実際に出題された問題で型を確かめます。問題文は各大学が公表した入試問題を、解説のために引用したものです。解答・解説は数強塾が独自に作成したもので、大学公表の解答ではありません。掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Python による検算を行っています。
東京都立大学 2019年度 前期日程 ―― 型04・型09。合成は範囲を出すために使う
【問題】東京都立大学 2019年度 前期日程
を をみたす実数として、 とする。 とおく。
(1) を の形に表しなさい。
(2) を の式で表しなさい。
(3) の最大値と最小値、およびそのときの の値を求めなさい。
【解答】
(1) (2) （）
(3) 最大値 （）、最小値 （）
(1) なので 。
ここで の範囲を確定させます。 より 。この区間の幅は なので は から まですべてとります。よって
(2) を2乗すると2倍角の部分がそのまま出るのがこの問題の設計です。
したがって 。1次の部分もまとめてくくれます。
(3) での2次関数の最大最小です。軸 は区間内なので
- 最小値は のとき
- 最大値は軸から遠いほうの端 で
に戻すときが最後の関門です。 の中で数えます。
(1) は「合成せよ」ではなく「範囲を出せ」という指示。この問題で (1) が置かれている理由は、 の動く範囲 を確定させるためです。もし範囲を調べずに全実数で2次関数の最大最小を考えると、最大値が存在しなくなります。置きかえの問題では、誘導の小問がたいてい「範囲を出せ」という意味だと思ってください。
横浜国立大学 2010年度 前期日程 ―― 型03・型09。角をそろえて2次関数に
【問題】横浜国立大学 2010年度 前期日程
実数 に対し、関数 を考える。 の最小値を とする。
(1) 方程式 が解をもたないような の範囲を求めよ。
(2) (1) で求めた範囲の について、 を求めよ。
(3) が (1) で求めた範囲を動くとき、 の最大値を求めよ。また、そのときの の値を求めよ。
(4) (3) で求めた に対し、 となる の値を求めよ。
【解答】
(1)
(2)
(3) 最大値 （） (4) （ は整数）
角をそろえます。 を選ぶのは、他の項が だからです（型03）。
とおくと で、 はこの区間を全部とるので の値域は
の 上の値域と一致します。軸は 。
(1) は下に凸なので、「解をもたない」 最小値が正。軸の位置で場合分けします。
| の範囲 | 軸 の位置 | 最小値 | 正となる条件 |
|---|---|---|---|
| 区間内 | |||
| 左外（増加） | |||
| 右外（減少） | 不適 |
合わせて 。
(2) 上の表の最小値がそのまま です。
(3) をもう一度関数として調べます。 では が上に凸で頂点 、値は 。 では が減少し、 で に近づきます。よって最大値は （）。
(4) のとき軸は なので、最小値をとるのは 。
ただし は整数です。
「 が を全部とる」ことが置きかえの正当化。もし に範囲があれば、 の範囲は より狭くなり、答えが変わります。置きかえるたびに「新しい文字はどこまで動けるか」を確認する――この問題では が全実数なので が全区間を動く、ということを一言書けば十分です。
大阪大学 2019年度 前期日程 ―― 型07。角の範囲を先に確定する
【問題】大阪大学 2019年度 前期日程
平面において、連立不等式 の表す領域を とする。
(1) を図示せよ。
(2) 点 が領域 を動くとき、 の最大値と最小値を求めよ。
【解答】
(1) の帯と正方形の共通部分（境界を含む六角形）
(2) 最大値 、最小値
(1) 不等式が を の形でしか含まないことに気づけば、 の1変数不等式に落ちます。合成すると
ここで角の範囲を先に確定させる
より 、したがって 。
この区間の中で となるのは だけ（次の 以降は区間の外）。
したがって 。これは傾き の平行な2直線に挟まれた帯です。
なので上側の直線は正方形の右辺・上辺を切り、下側の直線は下辺・左辺を切ります。よって は六角形（境界を含む）で、頂点は
(2) は傾き の直線。領域が凸多角形で目的関数が1次式なので、最大最小は必ず頂点でとります（線形計画法）。
傾き は帯の境界の傾き とも正方形の辺（傾き0または垂直）とも一致しないので、最適な頂点は一意に決まります。6頂点で を計算すると
| 頂点 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
最大値は 、最小値は 。
「区間を先に確定しないと解の個数を誤る」の実例。 の解は本来 と周期的に無限にあります。 の動ける範囲を先に書いておかないと、どの周期を採用すべきか判断できません。この問題では なので の1組だけ。範囲を書くのは形式ではなく、答えを決める作業です。
東北大学 2014年度 前期日程 ―― 型14。2乗和を作ると自由度が減る
【問題】東北大学 2014年度 前期日程
実数 に対して とおく。
(1) を を用いて表せ。
(2) が を満たしながら変化するとき、 の最大値と最小値、およびそのときの の値を求めよ。
【解答】
(1)
(2) 最大値 （）、最小値 （）
(1) 2乗和を作ります。これがこの問題の急所です。
よって 。 は だけで決まる量だと分かりました。
(2) を代入すると 。
が実数として存在する条件は だけです（これが必要十分）。
等号の吟味をします。 のとき なので 、つまり 。すると
したがって 。 で確かに実数解が存在します。
幾何的に見ると円環。 で が を動くので、 は を動きます。つまり点 は半径1以上3以下の円環全体を動く。そこに直線 を引くと、 の範囲は と読めます。式で出した答えを図で確かめると、等号成立の意味（ で2つのベクトルが同じ向き）まで見えてきます。
岡山大学 2008年度 ―― 型05。和と差から2倍角を作る
【問題】岡山大学 2008年度
とする。次の問いに答えよ。
(1) のとき、 の値を求めよ。
(2) のとき、 の値を求めよ。
(3) のとき、 の最大値と最小値を求めよ。
【解答】
(1) (2) (3) 最大値 （）、最小値 （）
(1) 和と差は同じ を共有します。
符号の決定が本題です。 では なので 。よって
(2) 加法定理で展開すると
ここで が因数分解できることを使います。
は (1) の途中で既に出ています。したがって
(3) 角そのものを変数にします。 とおくと、 より 。
となるのは、この区間では 。 に戻すと 。
求める式は合成できます。
なので、 はこの区間で減少し、値域は 。よって
最大値は （ のとき）、最小値は （ のとき）。
2乗を外すときの符号は、範囲から決める。(1) で まで出しても、 のどちらかは分かりません。 の範囲から と の大小を判断する――ここが得点差になります。単位円で第2象限を描けば、 が負・ が正なので差が負だと即座に読めます。
埼玉大学 2017年度 前期日程 ―― 型08・型13。公式を作り、多項式に翻訳する
【問題】埼玉大学 2017年度 前期日程
次の問いに答えよ。
(1) を自然数とする。三角関数の加法定理を用いて、等式 を導け。
(2) を満たす整式 をそれぞれ求めよ。
(3) 自然数 に対し、 を満たす整数係数の 次の整式 が存在することを示せ。
(4) 自然数 に対し、 は無理数であることを示せ。ただし、 が無理数であることは証明なしに用いてよい。
【解答】
(1) 加法定理2本の和 (2) (3) 2段階の帰納法 (4) 背理法
(1) と を、真ん中の からの と見ます。
辺々加えると の項が消えて
(2) 、（2倍角・3倍角の公式そのもの）。
(3) (1) を書き直すと
なぜ2段階の帰納法が必要か
漸化式が2つ前を参照するので、「 で成り立つ」だけを仮定しても が言えません。 と の両方を仮定する形にします（ が出発点）。
示すべきことは3つ。存在すること・ 次であること・整数係数であること。
- 次数： の最高次は 。 は 次なので打ち消し合わず、確かに 次。
- 整数係数：漸化式が整数の加減乗だけなので保たれる。
(4) 「無理数である」は否定形なので、背理法です（整数の型16と同じ）。
が有理数だと仮定します。(3) より は整数係数の整式なので、有理数を代入すれば値も有理数。ところが
…では矛盾が出ないので、 倍して に到達させます。 を使うと
左辺は有理数、右辺は無理数（ が無理数だから）。これは矛盾です。よって は無理数。
(3) が (4) のための道具として設計されている。この問題で本当に効いているのは、「整数係数の多項式は、有理数を有理数に写す」という一点だけです。だから (3) で「整数係数」を示させている。誘導が何を用意しているかを読むと、(4) で何を使えばよいかが分かります。角を にしてあるのも、 倍でちょうど （ が無理数）に届かせるためです。
5. よくある質問
Q1. 公式が多すぎて覚えられません。
A. 覚えるのは加法定理だけで足ります。2倍角は加法定理で としたもの、半角は2倍角を変形したもの、和積は加法定理2本の和・差、合成も加法定理の逆向きです。加法定理から作れるようにしておくほうが、結局は速くて確実です。
Q2. 置きかえたあと、答えが合いません。
A. 置きかえた文字の範囲を調べていない可能性が高いです。 なら 、 なら 。しかも元の に範囲があれば、さらに狭くなります。
Q3. 三角方程式で解の個数を間違えます。
A. 置きかえた角の範囲を先に書いてください。 でも なので、解はおよそ2倍出ます。単位円にその範囲を書きこんでから数えると確実です。
Q4. 2乗を外すときの符号が決められません。
A. 角の範囲から、 と の符号や大小を読むのが唯一の方法です。単位円で該当する象限を描けば、どちらが大きいかは一目で分かります。
Q5. 型を覚えれば初見の問題も解けますか。
A. 型は考えなくて済ませる道具ではなく、考える範囲を狭めるための道具です。狭めたあとは自分で考える必要があります。実際、本ページの東北大学の問題は「2乗和を作ると差だけの量になる」と自分で気づく必要がありました。型を持っている人は、白紙のまま全部を考えずに済むという差が出ます。
北大の良問 022
倍角を正接の二次方程式へ落とす｜北大1995年文系第1問
倍角の式に が残っているように見えても、角の範囲から が分かれば、 の二次方程式へ変換できます。公式を代入するだけでなく、割ってよい理由と、得た2根が本当に両方戻ることまで確認する問題です。
問題
で、
のとき、 を を用いて表せ。
出典：北海道大学1995年度一般入試（前期日程）数学（文系学部）第1問。問題文の表記はウェブ表示用に一部調整しています。
段階別ヒント
ヒント1｜角の範囲から分母を確認する
では です。したがって、あとで で割っても解を失いません。
ヒント2｜右辺の1も同じ文字で表す
と書き、、 を使います。
ヒント3｜ の二次方程式を作る
整理した式を で割ると、 になります。
ヒント4｜2つの根を両方残してよいか
は から実数全体への1対1対応です。二次方程式の各実数解には、この範囲の角がただ1つ対応します。
解答・解説
1．倍角を に戻す
角の範囲から である。したがって、 で割る変形が可能である。
倍角公式と三角関数の基本関係を使い、与式を
と書く。左辺から右辺を引いて整理すると、
2． の二次方程式にする
式(2)を で割り、 と置く。
二次方程式の解の公式から、
3．2根がとも元の問題へ戻ることを確認する
判別式は なので、任意の実数 に対して式(3)は異なる2つの実数解をもつ。また、 は で実数全体をちょうど1回ずつとる。
したがって式(4)の各値に対し、この範囲の がただ1つ存在する。式(1)から式(3)までの変形は のもとですべて同値なので、どちらの根も元の方程式を満たす。
答：
（複号は「または」の意味。2つの値がどちらも答え）
別解｜倍角を で直接表す
なので、 と置けば
与式へ代入すると、
実数 について だから両辺に掛けて整理でき、再び を得る。主解法は公式の由来が見えやすく、こちらは計算を短くできる。
解法を思いつくための再現手順
- 求める量を確認する。 求めるのが なら、最終的に だけの式を作る。
- 割る前に角の範囲を見る。 から を確定する。
- 倍角を元の角へ戻す。 と を で表す。
- 右辺の1も同じ材料へそろえる。 として一方へ移す。
- 比へ変換する。 式全体を で割り、 の二次方程式にする。
- 二次方程式を解く。 判別式と符号を崩さず、2根を両方書く。
- 根を元の角へ戻す。 正接が指定区間から実数全体への1対1対応であることを使い、余分な根がないと確認する。
よくある誤り
- いきなり で割る：本問では角の範囲から と確認して初めて割れます。
- 右辺の1をそのまま残す：左辺を に戻したら、右辺も にそろえます。
- とする：正しくは です。
- 解の公式のマイナスを落とす： の定数項は なので、判別式は です。
- プラス側の根だけを書く：2根は常に異なる実数で、指定区間の角へどちらも戻ります。
- 二次方程式を解いた時点で終える：変形が同値か、各根に対応する が定義域にあるかを確認して完成です。
独立検算
式(3)の2根を とすると、解と係数の関係から
式(5)を直接計算しても同じ和と積になる。さらに、 では 、 では 、 では となり、それぞれ元の方程式へ代入して成立する。
この問題で押さえること：角の範囲から を確認してから で割る——この一手で倍角の等式は の二次方程式になる。「割る前に、割ってよい理由を言う」を押さえよう。
前提単元と次に解く問題
教材について：解答・解説・ヒント・図は数強塾が独自に作成した非公式教材で、北海道大学が公表した公式解答・公式見解ではありません。問題の著作権は北海道大学に帰属し、出典を明示して掲載しています。
6. 次に読むページ
- 2次関数の解法パターン全20型 ―― 置きかえたあとの最大最小はここに帰着します。
- 図形と計量の解法パターン全14型 ―― 三角比としての側面はこちら。
- 図形と方程式の解法パターン全19型 ―― 線形計画法の続き。
- 数学II・B・C 要点辞典 第4章 三角関数 ―― 定義・公式・つまずきポイントの確認。
- 三角関数の基本 特訓道場 ―― 型01〜型07の演習。
- 大学入試 過去問の全問解説
つまずきをほどくミニ対話：三角関数の方程式で解を落とさない｜2xの範囲を先に書こう
三角関数の方程式では、まず角度の範囲を確認します。sin2x=1/2で0≦x<2πなら、中の角2xは0≦2x<4πと二周します。一周だけの解を求めて2で割ると、後半の一周にある解を落としてしまいます。
ハル： 2πを足すところで、xに足すのか2xに足すのか迷う。
先生： sinの入力tについて一周2πを足しているんだ。xへ戻すと、解の組はπ間隔で繰り返す。y=sin2xの周期がπであることと一致するね。
アオイ： xの式で一般形を作るなら、x=π/12+kπまたは5π/12+kπ。整数kから範囲に合うものを選んでもよいんだ。
先生： その方法も正しい。一つずつ列挙する場合は、角がどちらの変数かを行の左に書いておこう。
30秒セルフチェック
ここで、迷いが戻りやすい一問を式の意味から確かめます。
問い： 0≦x<2π,sin2x=1/2 の結果は？
答え： π/12,5π/12,13π/12,17π/12。理由：2xは二周する。
角度が度で与えられていれば、周期は360°で考えます。ラジアンのπと度の180°を混ぜた式を書かないよう、途中も単位をそろえましょう。範囲の端が<か≦かでも、0と2πを両方答えるかが変わります。
※ハル、アオイ、先生は理解を助けるための架空の登場人物です。
三角関数で手が止まる人へ
三角関数が苦手な生徒のほとんどは、公式を覚えていないのではなく「いま角をそろえたいのか、次数を下げたいのか」を決めずに変形しているだけです。数強塾では、変形の前に目的を一言で言わせるところから指導しています。オンラインの完全1対1で、プロ講師のみが担当します。
数強塾オリジナル 追加演習14問｜14の型を、数字を変えてもう一度
上の14の型を、設定と数値を変えた自作問題で1問ずつ確かめます。三角関数でやることは3つだけ——角をそろえる／次数を下げる／置きかえる。そして置きかえたら必ず範囲を追う。この単元の失点はほぼここに集中します。
問1（型01 単位円で値を読む）
次の値を求めよ。
(1) (2) (3)
解答
(1) （第3象限）。 は負。 なので 。
(2) 第3象限で は負。
(3) は第2象限で は負。基準角 で なので 。
（手順は「どの象限か」→「基準角の値」→「符号を付ける」の3段。単位円を毎回かくのが結局いちばん速い。）
問3（型03 2倍角・半角）
は鋭角で とする。、、 を求めよ。
解答
鋭角なので 。
（検算： ✓）
半角：。
が鋭角なら も鋭角で だから。
（半角は2乗の形でしか出ないので、必ず符号判定をする。）
問4（型04 合成）
について、(1) 1つの三角関数にまとめよ。(2) 最大値・最小値を求めよ。(3) で最大となる を求めよ。
解答
(1) 。
加法定理を逆に読んで
(2) 最大値 2、最小値 。
(3) より 。
（検算： ✓）
問5（型05 sin と cos の対称式）
のとき、(1) (2) を求めよ。
解答
(1) 両辺を2乗して 。
、
(2) より
（2乗すると が使えて、和から積が出る。積が負なので、 は の符号が異なる象限にある。）
問6（型06 三角方程式）
のとき を解け。
解答
まず1種類の関数にそろえる。 を代入。
、
は を満たさないので不適。。
よって
（置きかえた文字の値域を必ず確認する。 を答えに入れるのが定番のミス。）
問7（型07 三角不等式）
のとき を解け。
解答
。単位円で 座標が 以上の部分を読む。
となるのは 。その間で は 以上。
よって
（不等式は必ず単位円かグラフで読む。方程式の解を求めてから「間か外か」を図で決める、という2段構え。 で を確かめれば、間で正しいと分かる。）
問8（型08 和積・積和の公式）
の値を求めよ。
解答
和積の公式 を使う。
（検算：、、和は約 。 ✓
和積の公式は加法定理2本を足し引きすれば作れる。覚えていなくても、その場で作れる。）
問9（型09 置きかえて2次関数にする）
のとき、 の最大値と最小値を求めよ。
解答
で にそろえる。
と置くと （ここが要）。
軸 は範囲の端。範囲内では が大きいほど も大きい。
最大値 のとき 3（）
最小値 のとき （）
（置きかえたら範囲を書く——これを飛ばして「頂点で最大3、最小は 」とするのが最悪の失点。平方完成の定義域つき最大最小と同じ。）
問10（型10 tan の置きかえ）
のとき、 の最小値を求めよ。
解答
と置くと、 では 。
相加相乗平均より 。
等号は 、すなわち （正より）。このとき 。
最小値 2（ のとき）
（別解：。 より 。2倍角で1つの関数にまとめるとこちらが速い。）
問11（型11 三角形の内角に関する条件）
三角形ABCについて、次を示せ。
(1) (2)
解答
三角形の内角の和は なので 。
(1)
(2) 、よって
（三角形の問題では、まず を式にする。 はそのまま、 は符号が変わる、という非対称が計算の分かれ目になる。内角の和が である理由は三角形の内角の和が180°になる理由。）
問12（型12 3倍角の公式）
加法定理と2倍角の公式から、 を導け。
解答
を代入して
（検算： なら左辺 、右辺 ✓ と分けるのが唯一の手。）
問13（型13 チェビシェフ型の漸化式）
とする。(1) が成り立つことを示せ。(2) のとき と を求めよ。
解答
(1) 加法定理より
辺々を足すと 。
移項して （）。
(2)
漸化式で として
（検算：3倍角 ✓ は の 次式で書ける（チェビシェフ多項式）。）
問14（型14 2変数の三角関数）
、、 のとき、 の最大値を求めよ。
解答
和積の公式より
かつ より 、すなわち 。
はこの範囲で のとき最大。よって最大値 1（）。
（検算： ✓「和が一定」のときは和積で1変数に落とすのが定石。 を代入して合成しても同じ結論になる。）
「なぜその公式でよいのか」を理由から確かめる
- なぜ加法定理が成り立つのか ― 型02〜型04・型08・型12〜14の親
- なぜsin²θ+cos²θ=1なのか ― 「1種類にそろえる」ときの唯一の道具
- なぜ平方完成すると頂点がわかるのか ― 型09の置きかえ後はこれ
- なぜ三角形の内角の和は180°なのか ― 型11の前提
- なぜ？数学辞典（見出し一覧）
数強塾オリジナル・三角関数発展
三角方程式の解の個数を「しきい値地図」で分類する
三角方程式を闇雲に解くのではなく、値域・折り返し・単位円上の個数を分けて数えます。パラメータが動いたとき、答えが変わる瞬間だけを先に見抜く講座です。
- 三角式を などの代数問題へ移し、必ず を戻せる。
- 代数方程式の根の個数と、1つの に対応する角 の個数を混同しない。
- 端点・極値・接するときを「個数が変わるしきい値」として先に整理できる。
新作問題1｜3次式の折り返しを数える
実数 に対し、方程式
- 解の個数が変化し得る の値をすべて求めよ。
- の範囲ごとに、異なる実数解 の個数を求めよ。
- のとき、解をすべて求めよ。
Step 1｜「式の根」と「角の個数」を別会計にする
とおくと であり、左辺は
になります。まず横線 と曲線 の交点を数え、その後で各 を単位円上の角へ戻します。ここを一度に処理すると、端点 を2個と数える典型ミスが起こります。
Step 2｜しきい値表を完成させる
より、極値を取るのは 。区間端点の値も合わせると
です。横線との交わり方と、各 (t) に対応する角の個数を分けると次の表になります。
| の範囲 | の個数 | の個数 | 理由 |
|---|---|---|---|
| または | 0 | 0 | 値域の外 |
| 1 | 2 | 極値で接し、 は区間内部 | |
| または | 2 | 4 | 2根とも区間内部 |
| 2 | 3 | 端点の1角＋内点の2角 | |
| 1 | 2 | 中央の枝とのみ交わる |
したがって解の個数が変化し得る値は で、個数は上表の通りです。 のとき
ですが、 は の外なので だけを採用します。よって
の2個です。
新作問題2｜三角不等式は角の区間へ戻す
のとき、次の不等式を解け。
左辺を合成すると です。 とおけば 。単位円上で となる区間と、この範囲を重ねます。
右端 は元の定義域に含まれないため、閉じないことが検算点です。
新作問題3｜三つの正弦を三倍角へ圧縮する
における
の最大値・最小値と、そのときの を求めよ。
後ろの2因子を積和公式でまとめてから を掛けると
となります。範囲 で が になる角を戻します。
最大値は で、 のとき。最小値は で、 のときです。
- 「代数方程式が2根だから解も2個」：角へ戻す倍率を数えていません。
- 端点 を2個：単位円上では頂点1個だけです。
- 極値だけで終了：制限区間では端点値も個数変化のしきい値になります。
確認問題｜自分でしきい値を通過する
問題1と同じ範囲で、 の解をすべて求めよ。また の解の個数を答えよ。
ヒント
は極大値です。 は最大値 と比較します。
解答・検算
では なので、。 なので後半の解は0個です。
権利表示：数強塾オリジナル教材。原資料は学習論点の確認に用い、公開する問題設定・数値・解答・図版・説明は数強塾が新規制作しました。特定の書籍・過去問の転載または数値のみの改変ではなく、公式監修教材でもありません。
大学受験数学｜三角関数
方程式・合成・加法定理・周期をつなぐ4つの独自演習
単位円で解の位置を確認し、三角関数の合成、加法定理、振幅と周期へ進みます。値だけでなく、区間内の解を漏れなく列挙する習慣を作ります。
大学受験の三角関数で差がつく、三角方程式の解の個数・a sin x＋b cos xの最大最小・75度の値・周期関数の極値を独自問題で確認できます。
図は左右にスクロールして全体を確認できます。
問1｜置換で三角方程式の解を拾う
0≦x＜2πで、2sin²x－3sinx＋1＝0を満たすxをすべて求めよ。
問1「置換で三角方程式の解を拾う」の解答・詳しい考え方を開く
答え：x＝π/6、π/2、5π/6
- s＝sinxと置くと、方程式は2s²－3s＋1＝0です。
- 因数分解して(2s－1)(s－1)＝0なので、sinx＝1/2またはsinx＝1です。
- 0≦x＜2πでsinx＝1/2となるのはx＝π/6、5π/6です。
- sinx＝1となるのはx＝π/2です。したがって三つを合わせてπ/6、π/2、5π/6です。
誤りやすい点：二次方程式の二つの値を出した後、それぞれを単位円へ戻します。sinx＝1/2からx＝π/6だけを書いて第2象限を落とさないようにします。
問2｜合成せずに最大最小の条件を読む
f(x)＝3sinx＋4cosxの最大値と最小値を求め、それぞれを取るときの(sinx,cosx)を答えよ。
問2「合成せずに最大最小の条件を読む」の解答・詳しい考え方を開く
答え：最大値5（sinx＝3/5、cosx＝4/5）、最小値－5（sinx＝－3/5、cosx＝－4/5）
- 係数ベクトル(3,4)の長さは√(3²＋4²)＝5です。
- (sinx,cosx)は長さ1のベクトルなので、内積3sinx＋4cosxはコーシー・シュワルツの不等式から－5以上5以下です。
- 同じ向きの(sinx,cosx)＝(3/5,4/5)で内積は5となり、最大値が実現します。
- 反対向きの(sinx,cosx)＝(－3/5,－4/5)で内積は－5となり、最小値が実現します。
誤りやすい点：最大値を係数の和7としないようにします。sinxとcosxは同時に1にはならず、sin²x＋cos²x＝1という制約があります。
問3｜加法定理で75度の値を作る
加法定理を用いてcos75°とtan75°を求めよ。
問3「加法定理で75度の値を作る」の解答・詳しい考え方を開く
答え：cos75°＝(√6－√2)/4、tan75°＝2＋√3
- 75°＝45°＋30°と分けます。
- cos75°＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝(√2/2)(√3/2)－(√2/2)(1/2)です。
- 整理してcos75°＝(√6－√2)/4です。第1象限なので正であることとも一致します。
- tan75°＝(tan45°＋tan30°)/(1－tan45°tan30°)＝(1＋1/√3)/(1－1/√3)です。
- 分母分子へ√3を掛けて(√3＋1)/(√3－1)、有理化すると(√3＋1)²/2＝2＋√3です。
誤りやすい点：cosの加法定理は中央がマイナス、tanは分母が1－tanA tanBです。符号を入れ替えると75度でcosが大きくなる不自然な値になります。
問4｜振幅・周期・極値の位置をそろえる
f(x)＝2sin(3x－π/6)＋1について、振幅、周期、最大値、最小値を求めよ。また0≦x＜2πで最大値を取るxをすべて求めよ。
問4「振幅・周期・極値の位置をそろえる」の解答・詳しい考え方を開く
答え：振幅2、周期2π/3、最大値3、最小値－1。最大はx＝2π/9、8π/9、14π/9
- sinの前の係数から振幅は2、角3xの係数から周期は2π/3です。
- －1≦sin(3x－π/6)≦1なので、fの最大値は2×1＋1＝3、最小値は2×(－1)＋1＝－1です。
- 最大となる条件は3x－π/6＝π/2＋2kπです。
- これを解くと3x＝2π/3＋2kπ、x＝2π/9＋2kπ/3です。
- 0≦x＜2πに入るk＝0,1,2を代入して、x＝2π/9、8π/9、14π/9です。
誤りやすい点：周期を2π/3とした後、最大点の間隔にも2π/3が現れます。位相－π/6を移項するときにπ/2－π/6としないよう注意します。
📝 この型が実際に出た入試問題（62問のうち24問を掲載）
「三角関数」の型が実際の入試でどう出たかを、数強塾が全問解説を公開している年度から拾いました。各行の「解説を読む」から、その問題の解説へ直接移動できます。型を読んだあとに実出題で当てると、どこまで通用する判断なのかがはっきりします。
| 大学・年度 | 出題テーマ | 難易度 | 解説 |
|---|---|---|---|
| 法政大学 2025年度 | 〔Ⅲ〕【マーク】三角関数の合成と最大値 | やや難 | 解説を読む |
| 関西大学 2025年度 | 〔Ⅰ〕原点を通る直線への距離と、三角関数の合成による最小値 | 標準 | 解説を読む |
| 関西学院大学 2025年度 | 3倍角と因数分解／半開区間での2次関数の最小・最大 | やや難 | 解説を読む |
| 青山学院大学 2025年度 | 三角方程式の解の個数 | やや難 | 解説を読む |
| 学習院大学 2023年度 | 正接の加法定理と相加相乗平均 | 標準 | 解説を読む |
| 関西学院大学 2023年度 | 三角方程式の解の個数と平行六面体のベクトル | やや難 | 解説を読む |
| 立命館大学 2020年度 | 〔Ⅲ〕【記述式】 と置くと分数式が三角関数に化ける | 標準 | 解説を読む |
| 一橋大学 2009年度 | 任意の角に対して成り立つ不等式が定める領域 | やや難 | 解説を読む |
| 京都大学 2009年度 | 折り返しを3回——3倍角の公式に帰着 | やや難 | 解説を読む |
| 京都大学 2008年度 | 三角方程式の解の個数 | やや難 | 解説を読む |
| 京都大学 2007年度 | 回転と直線対称の合成が軸対称になる角 | やや難 | 解説を読む |
| 京都大学 2002年度 | 文系 三角方程式の解の個数 | やや難 | 解説を読む |
| 明治大学 2025年度 | 〔Ⅰ〕2. 三角方程式 | — | 解説を読む |
| 自治医科大学（数学） 2025年度 | 問5（三角関数の和の周期性） | — | 解説を読む |
| 自治医科大学（数学） 2024年度 | 問7（三角関数への置換と最大最小） | — | 解説を読む |
| 自治医科大学（数学） 2023年度 | 問3（三角関数と2次関数） | — | 解説を読む |
| 日本大学（数学） 2022年度 | 第3問（三角関数：余弦定理と倍角公式） | — | 解説を読む |
| 東邦大学（数学） 2022年度 | 第9問（三角関数： の範囲と最小値） | — | 解説を読む |
| 自治医科大学（数学） 2021年度 | 問6（三角関数・恒等式） | — | 解説を読む |
| 関西大学 2021年度 | 三角関数の合成と最大最小（数W問〔III〕） | — | 解説を読む |
| 自治医科大学（数学） 2020年度 | 問4（三角関数の合成と最大最小） | — | 解説を読む |
| 自治医科大学（数学） 2020年度 | 問13（三角関数の置き換えと接する条件） | — | 解説を読む |
| 東京都立大学 2019年度 | 三角関数の合成と2次関数 | — | 解説を読む |
| 大阪大学 2018年度 | 三角関数の置き換えと3次関数 | — | 解説を読む |
難易度は数強塾の見立てです（「—」は難易度を掲載していない年度）。大学別の年度一覧と出題傾向は過去問解説の総索引から、この型の全体像は解法パターン事典のハブから確認できます。
要点辞典この単元の公式・定石・つまずきやすい所は 数学II・B・Cの要点辞典：三角関数 にまとめてあります。
