定積分の評価と不等式の解法パターン全12型｜型の見抜き方と入試実例（横浜国大・信州大・神戸大・東北大・千葉大・都立大）

定積分の評価は、積分の計算が得意な人ほど戸惑う分野です。「値を求めよ」と言われていないのに、値について答えなければならないからです。原始関数が書けない積分を前にして、それでも「 より小さい」「極限は 」と言い切る。そんな芸当ができるのは、この分野の問題が例外なく「計算できない量を、計算できる量ではさむ」という一つの動作でできているからです。しかも道具は驚くほど少ない。区間のどの点でも なら積分にもその大小が伝わる——本当にこれだけです。区分求積も、級数を積分ではさむ話も、絶対値つきの積分も、すべてこの一行の言い換えにすぎません。このページは定積分の評価と不等式を12の型に分けて並べた辞典です。型は当てはめる箱ではなく、「いま何と何を比べようとしているのか」を見失わないための道具として並べています。

1. 背骨——評価とは、計算できない量を計算できる量ではさむこと

高校で扱う定積分のうち、原始関数がきれいな式で書けるものはごく一部です。 も も、「値を求めよ」と言われたら手が止まります。ところが入試はそれを承知で、求めよではなく「 より小さいことを示せ」「極限を求めよ」と聞いてきます。評価の問題とは、値を出す道が塞がれた状態で、それでも答えを確定させる問題です。使える道具は、ほとんど一つしかありません。

この原理がなぜ強いのか。不等式を「各点で」作ればよいからです。積分どうしを直接くらべるのは難しくても、関数どうしなら微分する・相加相乗を使う・既知の不等式にあてはめると手はいくらでもある。一度くらべれば、あとは両辺を積分するだけで大小関係が積分の世界へ運ばれます。局所の情報を大域の情報に翻訳する装置です。

逆に言えば、この原理を使うには「くらべる相手」を自分で用意しなければなりません。相手は積分できるものでなければ意味がなく、粗すぎても細かすぎても目的に届かない。以下の12型は、その相手の選び方を場合ごとに整理したものです。

この見方をすると、ばらばらに見えていた型が一列に並びます。区分求積法は小区間の中で を定数関数とくらべた話で、 が単調なら左端と右端の値がそのまま下の壁と上の壁になる。面積で級数をはさむのも同じ絵で、違うのは短冊の幅だけ。幅を に近づければ区分求積、幅を に固定したまま項数を増やせば級数の評価です。

もう一本、柱があります。値を求めずに、積分どうしの関係式を作るという発想です。置換積分は値を変えません。だから同じ積分を2通りに書き、等号で結ぶと、計算しないまま値が決まってしまうことがあります。 がその代表例で、後で扱う横浜国立大学の問題そのものです。偶奇、周期性、部分積分の漸化式も同じ仲間です。

そしてもう一つ、どこまで粗く評価してよいかという感覚も要ります。甘すぎれば目標の数値を越えて証明にならず、厳しくしすぎれば押さえた側が計算できない。この加減は問題文が教えてくれます。信州大学の問題では上から押さえた値が となり、 を入れるとぴたりと 。目標の数値は出題者が逆算して決めているのです。

最後に、型そのものについて一言。この分野の問題を見た瞬間に「単調だから短冊ではさむ」「区間が左右対称だから だ」と手が動く人は、頭の回転が速いのではありません。過去に何百回も使われてきた「型」から予想して、思考する量を減らすことで、手際よく解法を思い付いている場合もあるのです。型は考えなくて済ませるための道具ではなく、考える範囲を狭めるための道具です。狭めたあと何と何をくらべるかは、その問題ごとに自分で決めることになります。

2. 手順——型を選ぶまでの4つの問い

3. 解法パターン全12型

型01　被積分関数の大小から積分の大小

型02　区分求積法

型03　面積で級数を評価する

型04　部分積分で漸化式を作る

型05　置換積分の定石

型06　偶関数・奇関数の利用

型07　周期性の利用

型08　King property（区間の対称性）

型09　絶対値つきの定積分

型10　広義積分の扱い

型11　積分と極限

型12　積分方程式との違い

4. 実際の入試で確かめる

ここからは実際に出題された問題で型を確かめます。問題文は各大学が公表した入試問題を、解説のために引用したものです。解答・解説は数強塾が独自に作成したもので、大学公表の解答ではありません。掲載した数値は当塾で独立に解いたうえで Python（sympy と mpmath）で検算し、別の担当者が解き直して照合しています。

横浜国立大学 2010年度　――　型08・型05。積分を計算せずに、積分の値を決める

(1)　同じ積分を、もう一度出す。 とおきます。区間 が中点 に関して左右対称で、しかも 。この2つがそろっているので、 と置換しても の部分はびくともしません。動くのは前についた だけです。

、 のとき だから

最後の積分は、積分変数の名前を に戻せば そのものです。つまり

両辺を で割れば、示すべき等式 が出ます。（証明終）私たちは を一度も計算していません。置換しても値が変わらないという性質だけで、同じ を2通りに書いて方程式にした——これが型08の正体です。

(2)　 の形だと見抜けるか。 とおけば被積分関数はちょうど の形。 は連続なので (1) がそのまま使えて

いちばん厄介だった が消えました。あとは右の積分を とおいて計算するだけです。 を使って分母をそろえると

が奇数個残っているので と置くのが定石（型05）。、 のとき ですから

次数が同じときは分子を分母で作り直すのが基本。 より 、さらに と分ければ

よって 。求める値は

信州大学 2019年度　――　型01・型05。押さえ方の粗さは、目標の数値が教えてくれる

(1)　「すべての で成り立つ 」を最大値の問題に読み替える。 では なので、与式は両辺を で割って

と同値です。これがすべての で成り立つということは、 が の最大値以上だということ。つまり求める最小値は、そのまま の最大値です。「すべての〜に対して成り立つ」を「最大値・最小値」に翻訳するのは、不等式の問題で最初に手が動くべきところです。

目星をつけるだけなら の代入で十分で、 すなわち 。これが答えだろうと予想したうえで微分で確かめます。積と商の形なので対数をとってから微分するのが楽です。 で とおくと

分子で という気持ちのよい相殺が起きるのが、この問題の設計の妙です。分母は正、 より は増加関数で のとき 。よって で 、 で となり、 は で最大です。

端でも越えません（、 で ）。よって の最小値は です。

(2)　原始関数が書けない積分を、書ける積分に取り替える。 に初等関数の原始関数はなく、正面から積分する道は閉ざされています。そこで (1) の出番。 では なので とおけて 。(1) を で使うと

右辺はただの三角関数の多項式で、これなら積分できます。型01の一手——両辺を から まで積分して

あとは 、、 を入れるだけ。

最後に より だから

（証明終）　ここで目を留めてほしいのは、 がちょうど になることです。出題者は受験生が にたどり着くと見越し、逆算して数値を決めています。目標の数値は、どこまで粗く押さえてよいかの道しるべなのです。

神戸大学 2011年度　――　型03・型11。項数が爆発しても、和は に収まる

(1)　 の原始関数は 。合成関数の微分を逆に読めば出ます。

なので区間 はすべて の側。よって

が消えました。積分区間は が大きいほど右へ伸びるのに、面積は のまま動かない。 の中の3乗が外で3倍になり、割り算で定数に化ける——この現象が (3) の答えを先に決めています。

(2)　幅 の短冊で、本当の面積をはさむ。 とおくと、 では が正で単調増加、その逆数 は単調減少です。したがって では

これを について から まで積分します。幅がちょうど なので、両側の定数はそのまま残り

（証明終）　絵で言えば、本当の面積を、右端と左端の高さの長方形ではさんでいるだけです。等号がつかないのは区間の内部で が両端の値と真に違うからで、答案には「両端以外では真の不等号が成り立つから」と添えれば十分です。

(3)　足し合わせると、中央がひとつながりになる。(2) を について辺々加えます。隣り合う区間がぴったりつながるので、中央の和は

右側の和はそのまま 。左側の和は と置き直すと で、 と比べると先頭の の項が抜け、末尾に の項が増えているだけ。 を使って

以上をまとめると

すなわち

のとき ですから、はさみうちの原理により

東北大学 2009年度　――　型09・型01。大小を決めない限り、積分に一歩も入れない

まず、この は積分できません。「2つのうち小さくないほう」という定義のままでは原始関数を書きようがないからです。どちらが大きいかを決めて区間を切るまで、計算には一歩も入れません。

(1)　差をとって、符号を見る。和積の公式 を で使うと

より 、符号を握るのは だけです。 では なので、 となるのは のとき。したがって

より ですから、分割点は必ず区間の中にあります。ここを確認しないまま切ると、 が端のときに答案が破綻します。あとは切って積分するだけです。

足して

別解——絶対値ひとつで場合分けを消す。大きいほうを取る操作は と書けます。これを使うと 。前半は 、後半は の周期が なので が によらず となり、（型07）。区間を切らずに同じ答えに着きます。

(2)　 にそろえて2次関数にする。 を使い、 とおきます。 では で、

頂点の は の内側にあり、 となる は 。よって最大値は （ のとき）です。

千葉大学 2014年度　――　型04・型05。漸化式を作り、同じ積分を2通りに計算する

(1)　「 で表せ」という指定が、分け方を決めている。 を使うと と の2つが出てしまい、設問に答えられません。ここが分かれ目です。

着目すべきは、 が の導関数だということ。つまりこちらを積分する側に回せるのです。 と分けて部分積分すると

境界項は消えます。 より で 、 より で 。両端がそれぞれ別の因子で潰れるという構造です。残りは を代入して

の次数が2下がり、同時に の次数が2上がる。部分積分は「どちらを微分し、どちらを積分するか」の選択の問題であるということが、これほどはっきり出る設問はそう多くありません。

(2)　 と が並んでいたら 。こう置けば となって両方が同時にほどけます。、 のとき 。左辺の被積分関数を

と分けると、余った がちょうど に吸収されて

(3)　同じ積分を2通りに計算して、等号で結ぶ。目標は二項係数の交代和の等式ですが、その正体は「ひとつの定積分に2通りの計算法がある」という、ただそれだけのことです。

［I］漸化式で下ろしきる道。(1) を繰り返し使うと、第1添字は2ずつ下がり第2添字は2ずつ上がるので

係数の積は、分母と分子から を 個ずつくくり出して

たどり着いた先の は直接計算できます。0以上の整数 に対して

ですから 。よって

（ のときは漸化式を使わず で同じ式になります。）これと (2) を合わせて

［II］二項定理で展開する道。 は有限和なので、項別に積分できます。

［I］と［II］は同じ積分の値ですから、等号で結んで

東京都立大学 2019年度　――　型02・型07。区分求積を、自分の手で組み立てる

この問題は、区分求積法の「中身」を自分の手で組み立てさせる出題です。ふつうは短冊の高さ に幅 を掛けますが、ここでは幅にあたるものが という重みに置き換わっています。それでも使うのは型01の一手だけです。

(1)　単調性で定数ではさみ、非負のものを掛ける。小区間 を考えます。 は広義の単調増加なので、 のとき

ここで両辺に を掛けます。絶対値なので必ず 以上、したがって向きは変わりません。これが本問でいちばん大事な一行です（ が負でも、掛けるものが非負なら向きは保たれます）。

これを 上で積分します。両端の の値は定数なので積分の外に出せて

最後に から まで辺々加えます。 は にちょうど分割されているので中央の和は にまとまり、示すべき2つの不等式が同時に出ます。（証明終）

(2)　周期性で、重みが によらなくなる。 と置換すると だから

の周期は で、区間 はちょうど1周期分。だから位置によらず

(3)　重みが定数になれば、ただの区分求積。この一点が (3) を一気に片づけます。(2) を (1) に代入すると

左辺を と書き直せば、後ろは区間 を 等分した左端型の区分和そのもの。 は連続ですから区分求積法により

右辺も同じく右端型の区分和で、同じ極限をもちます（実際、左端型と右端型の差は で、 のとき に収束します）。したがって上の不等式の両端はともに に収束し、はさみうちの原理により は収束して

5. よくある質問

6. 次に読むページ

• 積分法（数III・計算）の解法パターン全18型　――　このページの親。積分そのものの計算を一望できます。
• 極限の計算の解法パターン全14型　――　型02・型11の詳細。はさみうちをもっと深く。
• 不等式の証明の解法パターン全14型　――　型01の「壁」を作る側の道具箱。
• 定積分で表された関数の解法パターン全12型　――　型12の積分方程式は、こちらが本拠地です。
• 面積（数III）の解法パターン全12型　――　短冊の絵が、そのまま面積の計算に。
• 解法パターン事典（総索引）