積分法（数II）の解法パターン全14型｜面積公式の作り方と入試実例（信州大・学習院大・山口大・九州大・千葉大）

01原点対称な区間では、奇数次が消える

顔つき　。

中身　奇関数を から まで積分すると 。偶関数なら 。

なぜ消えるのか　奇関数のグラフは原点対称なので、 側の面積と 側の（符号つき）面積がちょうど打ち消し合うからです。計算する前に「消える項」を見つけて捨てると、残りは偶数次だけ。これだけで計算量が半分になります。

02符号が変わる点で区間を切る

顔つき　、。

中身　中身が0になる点を境に区間を分け、それぞれで絶対値を外す。

原始関数を1本用意しておく手もある　 のような単純な形なら、 が原始関数（）になるので、場合分けせずに と一発で書けます。区間の端が動く問題では、この方が場合分けの見落としを防げます（千葉大学の実例）。

03積分の値を文字でおく

顔つき　。

中身　 とおくと の形が確定する。あらためて積分して についての方程式を作る。

「定数」だと言い切ることが第一歩　積分区間に が入っていないなら、その積分は と無関係な数です。だから の形は最初から決まっていて、未知なのは係数の値だけ。この構造が見えると、あとは連立方程式を解くだけの作業になります。

04微分して中身を取り出す

顔つき　 の最大・最小。

中身　 なので、 の符号を見れば の増減が分かる。

積分せずに増減が分かる　 を具体的に計算しなくても、被積分関数の符号だけで増減表が書けます。これは微分積分学の基本定理そのもので、「積分は微分の逆」を実際に使う場面です。最大最小を問われているだけなら、 の式を求める必要すらないことが多い。

05定数とおいて連立

顔つき　。

中身　積分の個数だけ文字をおく（ など）。

は積分の外へ出す　 の は積分変数 と無関係なので、 と外に出せます。ここを外し忘れると、定数とおけずに詰まります。「積分の中で動いているのは だけ」を毎回確認してください。

06微分する＋初期条件を1つ拾う

顔つき　。

中身　両辺を で微分して 。さらに を代入すると左辺が0になるので、 が決まる。

微分すると情報が1つ落ちる　微分は定数を消してしまうので、微分した式だけでは元の式と同値になりません。失われた情報を取り戻すのが「 を代入」で、そこでは積分区間の幅が0だから左辺が必ず0になる。この一手を忘れると が決まらず、答えが不完全になります。

07差が になる

顔つき　「放物線と直線が囲む面積」。

中身　。 を使うと判別式から直接出る。

交点を求めなくてよい　 は解の差なので、解と係数の関係から で計算できます。交点の座標そのものが汚くても、差だけならきれいに出ることが多い。この性質のおかげで、面積を の関数として扱う最大最小の問題（学習院大学の実例）が現実的な計算量に収まります。

08接点の中点で分割する

顔つき　「放物線外の1点から引いた2本の接線と放物線が囲む面積」。

中身　2接線の交点の 座標は、2つの接点の中点。そこで分割すると、各部分は の積分になる。

なぜ中点なのか　 の における接線の交点は です（実際に連立すれば出ます）。この対称性のおかげで分割位置が計算せずに分かる。結果として面積は となり、 公式のちょうど半分になります。

09接線は とおいて判別式2本

顔つき　「2つの放物線の両方に接する直線」。

中身　接点を2つ置くより、 とおいて「両方と接する」を判別式 2本で書くほうが式が軽い。

未知数と式の本数をそろえる　接点を置くと未知数が2つ（2つの接点）＋直線の情報になりますが、 で置けば未知数は2つ、判別式が2本でぴったり。「何を未知数にするか」で計算量が変わる典型例です。なお、面積比を問われたときは が約分されて文字が消えることがあり、それ自体が検算になります（九州大学の実例）。

10交点で区間を分けて、それぞれ絶対値を外す

顔つき　「囲まれた図形」が複数のブロックに分かれている。

中身　。交点ごとに上下が入れかわるので、区間ごとに符号を確かめる。

「囲まれた部分」がどこかを図で確定させる　式だけで進めると、どの区間を積分すべきか分からなくなります。交点を全部求めて数直線に並べ、各区間で上下を1回ずつ判定する――この作業を省くと符号を間違えます。面積は必ず正なので、負が出たら上下を取りちがえた合図です。

11差をとると次数が下がることがある

顔つき　「2つの3次曲線が囲む面積」。

中身　 を作ると3次の係数が同じなら2次式に落ちるので、型07が使える。

差をとってから次数を見る　個別には3次でも、差は低次になることがあります。面積の計算で本当に効くのは の形だけで、 や 単独の次数は関係ありません。まず差を作り、それから公式が使える形かを判断してください。

123つの交点なら、区間ごとに符号が変わる

顔つき　「3次曲線と直線が3点で交わり、囲む2つの部分」。

中身　。隣り合う区間で符号が入れかわる。

3次関数の点対称性が効く　直線が変曲点を通る場合、2つの部分の面積は等しくなります（点対称だから）。「面積が等しい」という条件が出てきたら、まず対称性を疑うのが速い。一般の場合でも、変曲点を原点に移して考えると見通しがよくなります。

13接点は2重解、もう1つの交点で閉じる

顔つき　「3次曲線とその接線が囲む面積」。

中身　（ が接点）。面積は 。

因数の形を先に予想する　「接する」と書いてあれば が必ず現れます。3次式なので残る因数は1次、つまり 。展開して割り算する必要はなく、係数比較で が即座に出る。この予想ができると、計算が驚くほど短くなります（山口大学の実例）。

142か所で接するなら、2重解が2つ

顔つき　「4次曲線に2点で接する直線（複接線）と囲む面積」。

中身　。面積は 。

複接線が存在するのは4次以上　3次曲線には2点で接する直線がありません（差が3次式なので2重解を2つもてない）。「次数がいくつなら、どんな接し方ができるか」を差の次数で数えると、この違いが自然に理解できます。複接線を求めるときは が完全平方になる条件を係数比較で立てるのが標準です。