積分法（数III・計算）の解法パターン全18型｜置換・部分積分・漸化式と入試実例（横国大・阪大・名大・神戸大・都立大・筑波大）

01公式をそのまま逆に読む

顔つき　、、、。

中身　、、。

絶対値を忘れない　 の答えは です。定積分で区間が正の側にあるなら外しても構いませんが、不定積分では絶対値をつけるのが原則。また だけ形が変わることも、公式を丸暗記していると見落とします。

02中身が1次式なら、係数で割るだけ

顔つき　、、。

中身　。

置換するまでもないが、置換の考え方そのもの　 とおけば なので が出る。中身が1次式のときだけ、この「係数で割る」処理が正しいのがポイントです。 を としてしまう誤りは、この型を2次以上に拡張しようとして起きます。

03導関数が外に掛かっていれば置ける

顔つき　、、。

中身　内側 を とおく。 が式のなかに揃っていることが条件。

「余分な 」は歓迎すべき合図　 の は邪魔者ではなく、 の一部です。積分では、この「導関数のかけら」を探すのが第一歩。 なら が見えます。「余りが出るから置けない」のではなく、余りこそが置ける証拠という逆転の見方をしてください。

04いちばん外の根号を とおき、2乗して外す

顔つき　、、。

中身　 とおいて両辺を2乗し、 を の式で表す。二重根号なら内側から順に2回。

根号は「置けば消える」――ただし端の書きかえに注意　根号を とおいて2乗すれば根号は必ず消え、多項式の積分になります。二重根号のときは内側の根号を先に置くのが原則ですが、置換のたびに区間が変わります。横浜国立大学の実例では （区間 ）→ （区間 ）と2段階で変わり、ここを追い切れるかが勝負でした。

05 は 、 は

顔つき　、。

中身　（）、（）。

置換の理由は「1つの三角関数の恒等式で根号や分母が潰れる」から　 なので 。 なので が になる。 は覚えておくべき値で、東京都立大学の漸化式の問題でも出発点になりました。

06分子が分母の微分なら、答えは対数

顔つき　、、。

中身　。

定数倍のズレは前に出すだけ　分子が分母の微分の定数倍なら、その定数で調整すれば済みます。まず分母を微分してみる――これが分数式の積分で最初にやることです。神戸大学の問題では なので が即座に出ました。

07べきを1つ上げて、次数で割る

顔つき　、。

中身　。

型03の特別な場合だが、目視できるので独立させる価値がある　置換を書かずに答えを書けるのが利点。三角関数の奇数乗はこの型に持ちこめます。 として とおく――奇数乗のときは1つだけ切り離すのが定石です。

08多項式を微分する側に置く

顔つき　、。

中身　。指数・三角を 側（積分する側）、多項式を 側（微分する側）に。

多項式は微分するたびに次数が1つ下がり、いつか消える　これが「多項式を微分側に置く」理由です。 なら2回繰り返せば定数になり、積分が終わります。指数や三角は何度積分しても形が変わらないので、積分側に置いても損をしません。

09対数は微分する側。 を と見る

顔つき　、。

中身　。

対数は微分すると有理式になって「壊れる」　 なので、対数は必ず微分側に置きます。 単独のときは と見るのが定石。この一手を知らないと で手が止まります。筑波大学の問題では がこの型で計算できました。

102回まわして元に戻ったら、方程式として解く

顔つき　、。

中身　求める積分を とおき、部分積分を2回行うと右辺に再び が現れる。 についての1次方程式を解く。

「戻ってきた」は失敗ではなく成功の合図　指数と三角の積は、何度部分積分しても形が変わりません。だから2回で元に戻ることを利用して方程式にするのが唯一の道。ただし2回とも同じ側を微分し続けることが必須で、途中で入れかえると という無意味な式になります。この落とし穴で失敗する人が非常に多い。

11偶数乗は半角で1次に落とす

顔つき　、。

中身　、。4乗なら2回使う。

偶数乗は次数下げ、奇数乗は置換――この使い分けが要　 のままでは積分できませんが、半角で の1次式になれば型02で終わります。指数との積でも、まず次数を下げてから部分積分に入るのが正解です。横浜国立大学の は、半角で処理してから型10に入る二段構えでした。

12三角関数どうしの積は、和に直す

顔つき　、。

中身　 など。

積は積分できないが、和なら1項ずつ積分できる　積分は和には分配できても積には分配できません。だから積を見たら和に直す。角が違う三角関数の積が出たら、迷わず積和です。フーリエ級数の直交性もこの計算から出てきます。

13分母を因数分解し、分数の和に割る

顔つき　、。

中身　。分母が2次で因数分解できるなら必ずこの形になる。

三角関数の分数式にも効く　。分子分母に を掛けてから、部分分数に割る――名古屋大学の問題で誘導されていたのが、まさにこの流れでした。分解後の各項は型06になります。

14分子の次数が分母以上なら、まず割り算

顔つき　、。

中身　（分子）＝（分母）×（商）＋（余り）と割り算して、たとえば のように、多項式と真分数の和に直す。

のような約分も、この型の親戚　筑波大学の問題では、2つの積分の差をとると分子が となり、分母 と約分できて という1次式になりました。積分できない形が2つあっても、差や和をとると突然積分できることがある。「そのままでは無理」と判断する前に、組み合わせを疑う視点です。

15部分積分して、次数の違う同じ形を出す

顔つき　、、。

中身　1回部分積分すると と （または ）の関係式が出る。あとは初項から順に求める。

が文字のままでは積分できない。だから関係式を作る　 が具体的な数なら地道に計算できますが、文字のままでは無理。「直接求める」から「前の項との関係を作る」へ方針を変えるのが型15です。東京都立大学の問題では と を の微分と見る一手が誘導されていました。型09の と同じ発想です。

16微分すれば積分記号が消える

顔つき　 の最小値、。

中身　。上端が なら 。

積分できない関数でも、微分すれば扱える　 は初等関数で書けませんが、微分すれば です。「積分の中身が分からなくても、増減は分かる」――これが型16の威力です。数学IIの積分法の型11と同じ道具を、数学IIIの関数に適用しているだけです。

17奇関数は消え、偶関数は2倍

顔つき　、。

中身　 が奇関数なら 、偶関数なら 。区間の折り返し も有効。

計算せずに0と言い切れるのが最大の利点　 は、被積分関数が奇関数なので計算不要で0。まず偶奇を確かめる習慣があれば、無駄な計算を丸ごと省けます。また の置換は、同じ積分がもう一度現れて型10と同じ「方程式にする」処理につながります。

18計算できないなら、積分のまま挟む

顔つき　「 を示せ」「 を示せ」。

中身　被積分関数を不等式で挟み、各辺を積分する。 なら 。

積分の値そのものは要らない。上からの評価だけでよい　筑波大学の問題では という定数での上からの押さえを与えられ、それを積分の外に出すことで が得られました。「積分の外に出せる定数を見つける」――これが評価の中心技術です。極限のはさみうちとセットで使います。