面積（数III）の解法パターン全12型｜上下の決め方・媒介変数・共通接線と入試実例（岡山大・神戸大・大阪大・埼玉大・信州大）

01基本形。ただし 軸との上下は関係ない

顔つき　「2曲線で囲まれた部分の面積」。

中身　（区間で ）。

グラフが 軸より下にあっても、そのまま引けばよい　「 軸より下だから面積が負になる」と心配する人がいますが、2曲線に挟まれた部分なら、上から下を引くだけで正しい面積になります。両方をまとめて下にずらしても差は変わらないからです。 軸との上下を気にするのは、片方が 軸そのものであるときだけです。

02交点で区間を割り、それぞれ向きを決める

顔つき　「区間 で2曲線と直線 が囲む図形」。

中身　差 を因数分解して符号を調べ、符号が変わる点で区間を分ける。

差を因数分解すると、交点と上下が同時に分かる　神戸大学の問題では と分解できました。この一行から、交点が であることと、 では が上、 では が上であることが同時に読めます。交点を求める作業と上下を決める作業を、別々にやる必要はありません。

03中身が0になる点で外す

顔つき　 と 軸が囲む面積。

中身　絶対値の中身が0になる点を境に場合分けし、それぞれ符号を確定させてから積分する。

境目が定数 で動くなら、 の場合分けも必要　 の場合、 となる点が区間内にあるかどうかで積分の分け方が変わります。まず「境目が区間内に何個あるか」を で場合分けする――これを飛ばすと、答えが1つの式で書けるはずのない問題を無理に1つの式で書くことになります。

04 と見て、 で積分

顔つき　「曲線と 軸、直線 で囲まれる部分」。

中身　。曲線を について解き直す。

「 軸と囲む」と書いてあれば、まず 積分を疑う　 軸方向に積分しようとすると、上端が曲線・下端が水平線という面倒な形になることがあります。 軸に接する形の領域は、 で積分するほうが式が短いのが普通です。 なら と解けます。

052つの面積の和が長方形に化ける

顔つき　「 を求めよ」「 を計算せよ」。

中身　単調増加な について、 軸側の面積と 軸側の面積を足すと長方形 以上になる。曲線が角を通るときにちょうど等しい。

これはヤングの不等式そのもの　。左辺の2つの領域は合わせて長方形 を覆い、しかも曲線が点 を通らない限りはみ出しが生じる――だから不等号になります。この図形的な事実が、代数的には重み付き相加相乗平均になるのが信州大学の問題です。凸性による証明と同じ結論に、まったく別の道から到達します。

06

顔つき　 で表された曲線と直線が囲む面積。

中身　 の積分に直す。 が減る向きに が動く区間では となり、符号が反転することに注意。

「行って戻る」曲線は、差が面積になる　 が増えてから減る曲線（大阪大学の実例）では、 を計算すると行きの面積と帰りの面積が自動的に引き算されて、囲む面積そのものが出ます。区間を分けて別々に計算する必要はありません。ただし符号が負で出ることがあるので、最後に絶対値をとるか、向きを確かめてください。

07扇形を積み上げる

顔つき　（カージオイド）が囲む面積。

中身　。教科書の範囲外なので、答案では と直交座標に直し、型06として処理するのが安全です。

公式の出どころは「微小な扇形」　中心角 、半径 の扇形の面積が 。これを積み上げるだけです。答案で使うなら導出を添えるか、型06に直してください。極方程式の曲線はまず の符号で概形を押さえるのが定石です。

08接点が積分区間の端になる

顔つき　「2曲線の共通接線 と2曲線で囲まれる面積」。

中身　まず共通接線を求め、2つの接点と、2曲線どうしの交点を押さえる。この3点が区間の分け目になる。

共通接線の求め方は「接点を2つ置いて、傾きと切片を一致させる」　曲線 上の接点を 、 上の接点を と別々に置くのがコツです。同じ文字で置くと解けません。傾きの一致と切片の一致で2本の式が立ち、 が決まります（微分法の型14）。囲まれた領域は、上が接線、下が2曲線の内側にあるほうになります。

09円の部分は扇形と三角形、残りだけ積分する

顔つき　「円の内部かつ をみたす領域の面積」。

中身　円全体から、はみ出す部分を引く。円弧で囲まれた部分は弓形＝扇形−三角形で処理し、積分は曲線と弦の間だけに限定する。

円は積分しないほうが速い　 の積分は置換が必要で手間がかかりますが、扇形の面積は で一瞬です。だから円が絡む面積は、まず「扇形＋三角形」で表せる部分を切り出し、残りだけを積分するのが定石。埼玉大学の問題では、この分割で計算量が半分以下になりました。中心角は、内積 で求まります。

10面積をパラメータの関数にして微分

顔つき　「面積 を最小にする を求めよ」。

中身　まず を の式で表す（場合分けが要ることが多い）。次に 。

場合分けをまたいで最小を探す　 が区間ごとに違う式になるとき、各区間の最小を求めてから全体で比べる必要があります。また境目で が連続かどうかも確認してください。「グラフを描くと1つの谷になっている」ことが見えれば、答えの正しさに確信が持てます。

11 を微分すると

顔つき　「幅1の窓を動かしたときの面積の最小値」。

中身　。

原始関数を求めなくても、増減は分かる　窓が幅1なら 。「窓の右端で入ってくる量と、左端で出ていく量の差」という意味です。これが0になるところが極値。神戸大学の問題では の原始関数が簡単に求まるので直接微分しましたが、原始関数が求まらない関数でも、この方法なら増減が調べられます（積分計算の型16）。

12図形の包含関係が、そのまま不等式になる

顔つき　「不等式 を示せ」。

中身　左辺を面積として解釈し、その2つの領域が長方形を覆うことを示す。

代数的に示すのが難しい式でも、面積に翻訳すると自明になる　 をそのまま微分して最小値を求めるのは大変です。しかしこれが2つの面積の和で、その和が長方形 を覆うと分かれば、証明は図を描くだけで終わります。「求めた式が何を表しているか」を前問に戻って考える――誘導つきの証明問題では、これが最も効く読み方です。