体積・曲線の長さ（数III）の解法パターン全13型｜断面積の積分・斜め軸回転・弧長と入試実例（筑波大・神戸大・横国大・岡山大・千葉大）

01断面は半径 の円板

顔つき　「曲線 と 軸で囲まれた部分を 軸のまわりに回転」。

中身　。

2乗するので符号は消える　 が負でも は正なので、そのまま積分できます。ただしそれは「軸の片側にしかない場合」の話。両側にある場合は型04です。また、被積分関数が になるので、 の半角や部分積分がここで必要になります（積分計算の型11）。

02 について解いて、 で積分

顔つき　「曲線と 軸で囲まれた部分を 軸のまわりに回転」。

中身　（）。

について解けないときは、置換で切り抜ける　 について積分する形にできれば理想ですが、 と解けないことも多い。そのときは と媒介変数に持ちこむ（型06）か、 を の式のまま置換します。神戸大学の問題は、媒介変数のまま処理するのが最短でした。

03大きい円板から小さい円板を引く

顔つき　「2曲線 で囲まれた部分を 軸のまわりに回転」（ともに軸の同じ側）。

中身　。

ではない　これは最頻出の誤りです。断面は外半径 、内半径 の円環なので、面積は 。「半径の差の2乗」ではなく「2乗の差」です。図で1枚の円環を描いてから式を書けば、間違えません。

04半径は「軸から遠いほう」

顔つき　 と に挟まれた部分を 軸のまわりに回転。

中身　断面は半径 の塗りつぶされた円板。 となる点で場合分けする。

回転すると上下が重なるから、足してはいけない　上側の部分を回すと軸の下側にも像ができ、下側の部分を回した像と重なります。重なった分を二重に数えないために、「遠いほうだけ」を採るのです。だから最初にやるべきは を解いて境目を見つけること。筑波大学の問題の (1) が、まさにその設問でした。

05軸から離れていれば、内半径がある

顔つき　「 と で囲まれた部分を 軸のまわりに回転」。

中身　断面は円環。。回転軸から図形までの最短距離が内半径。

「軸に接しているか、離れているか」を必ず確認する　接していれば穴はあかず（型01）、離れていれば穴があきます。回転軸が のような水平線のときは、断面の半径が になることに注意してください。軸を 軸に平行移動して考えるのが安全です。

06

顔つき　 の曲線が囲む部分の回転体。

中身　積分変数を に変える。 軸まわりなら 。

で書けば、消去できなくても計算できる　媒介変数を消して のような形にしてから積分することもできますが、根号が残って面倒です。 のまま処理すれば多項式の積分になることが多い。神戸大学の問題では、 のままなら という単純な多項式の積分で終わりました。

07回転軸に沿った座標と、軸までの距離をとる

顔つき　「直線 のまわりに回転してできる立体の体積」。

中身　軸に沿った位置 と、軸までの距離 を求め、。

点と直線の距離の公式が、そのまま半径になる　直線 までの距離は 、軸に沿った座標は正射影で 。この2つを媒介変数（ここでは ）の式で書けば、あとは型01と同じです。 となるので、 の書きかえを忘れないでください。横浜国立大学の問題がこの型の代表です。

08断面の形を言葉で決めてから、面積を式にする

顔つき　「底面が円で、軸に垂直な断面が正三角形である立体」。

中身　。断面の1辺や高さを の式で表す。

「切る向き」を変えると難易度が変わる　同じ立体でも、切る向きによって断面が円になったり弓形になったりします。まず2〜3通りの切り方を頭の中で試し、断面がいちばん単純になる向きを選ぶ――これだけで計算量が何倍も変わります。「 軸に垂直な平面による切り口を考えて」のように問題文が向きを指定していることも多いので、指示は素直に従ってください。

09断面どうしの共通部分をとる

顔つき　「2つの円柱の共通部分」「円錐を平面で切った小さいほう」。

中身　同じ高さの断面を2つ描き、重なった図形の面積を求める。

3次元で考えず、2次元の重なりに落とす　立体の共通部分は想像しにくいですが、断面どうしの共通部分は平面図形なので普通に計算できます。円錐を平面 で切るなら、高さ の断面は半径 の円板を直線で切った弓形。弓形の面積は「扇形−三角形」で書けます（面積の型09）。

10回転軸を含む断面ではなく、軸に垂直な断面を回す

顔つき　「四面体を 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積」。

中身　高さ での断面（多角形など）を求め、その図形を原点まわりに回した図形を考える。軸が図形の内部にあれば円板、外にあれば円環。

回すのは立体ではなく、1枚の断面　立体全体を回すところを想像しようとすると混乱します。高さ を固定すれば、回転するのは平面図形1枚だけ。その図形の「軸からの最大距離 」と「最小距離 」を求めれば、断面積は です。岡山大学の問題では、断面が長方形で軸（原点）がその内部にあったため、 の円板になりました。

11体積をパラメータの2次式にできることが多い

顔つき　「体積 を最小にする を求めよ」。

中身　 を展開すると の2次関数になる。

展開してから積分すると、 が外に出る　 と展開すれば、積分は の3つだけ。それぞれ定数なので、 は の2次関数になり、平方完成で最小が求まります。面積のほうは絶対値のせいで場合分けが必要でしたが（面積の型03）、体積は2乗なので絶対値が消えて、むしろ簡単になる――千葉大学の問題が、その対比を見せてくれます。

12

顔つき　「曲線 の の部分の長さ」。

中身　根号の中が完全平方になるように問題が作られているのが普通。

根号が外れる形を探す　 は一般には積分できません。だから出題される問題は、 がきれいな2乗になるように仕組まれています。たとえば なら で 。「 が の形で、 になっている」のが典型的な仕込みです。

13

顔つき　サイクロイド、カージオイド、媒介変数表示の曲線の長さ。

中身　根号の中を計算し、半角の公式で2乗の形に持ちこむ。極方程式なら 。

が決め手　カージオイド なら 。半角で になるので根号が外れ、 という単純な形になります。絶対値がつくので、符号が変わる点で区間を分けることを忘れないでください。道のりの計算とまったく同じ式です。