接線と法線の解法パターン全14型｜型の見抜き方と入試実例（神戸大・岡山大・都立大・阪大・横国大）

01接点を通り、傾きは微分係数

顔つき　「曲線 上の点 における接線を求めよ」と、接点が最初から与えられている。

中身　。接点の 座標を と の2か所に代入するだけ。

なぜ効くか　接線を「曲線に1点だけで触れる直線」と覚えていると、必ずどこかで崩れます。 の原点における接線は 軸ですが、そこで曲線を横切っている。接線の定義に交点の個数は一切入っていません——その点での変化率と同じ傾きをもつ直線、これだけです。ここを濁さずに持っておくと、型03以降の「本数」の議論がぶれません。

02未知数を「傾き」ではなく「接点」にする

顔つき　「点 から曲線に引いた接線を求めよ」。与えられた点が曲線上にあるとは限らない。

中身　接点を と置き、接線が を通る条件 を の方程式として解く。

なぜ効くか　「点を通る直線 を曲線と連立して重解条件」という道もありますが、3次以上ではほぼ詰みます。接点を主役にすると、未知数が直線の傾き から接点 へ移ります。直線側から見れば自由度は2つ（傾きと切片）ありますが、接点側から見れば自由度は最初から1つ。だから条件が1本の方程式で足りるのです。「接点を置く」は計算の工夫ではなく、情報の持ち方を変える一手。相手が円のときだけは例外で、中心と直線の距離が半径に等しい、と書けば1行で終わります。

03本数は、接点についての方程式の実数解の個数

顔つき　「接線が3本引けるような の範囲」「この点から何本引けるか」。

中身　型02の方程式を の形にして実数解の個数を数える。3次なら極大値と極小値の積の符号で判定。

なぜ効くか　「接線の本数＝接点の個数」と言い切ってよいのは、異なる接点が異なる接線を与えるときだけです。放物線や3次曲線ではこれが保証されますが、4次以上の曲線には2点で接する直線が現れます。数え始める前に「接点と接線が1対1か」を一言確認する癖をつけてください。この一言があるかどうかで、答案の点数は変わります。

04未知数2つ、条件も2つ

顔つき　「2つの曲線の共通接線を求めよ」。

中身　 の接点を 、 の接点を と別の文字で置き、〈傾きが等しい〉〈切片が等しい〉の2式を連立する。

なぜ効くか　同じ文字で置くと「2曲線に同じ点で接する」という余計な仮定が入ります。共通接線は、接する場所まで一致する必要はありません。接点2つは独立な未知数で、条件は「1本の直線として一致すること」＝傾きと切片の2つ。未知数2・条件2でちょうど釣り合うから、答えが有限個に決まるのです。この数え合わせを意識しておくと、解が出ないときに「置き方が足りない」のか「条件を書き落とした」のかを切り分けられます。

05高さが等しい、かつ傾きが等しい

顔つき　「2つのグラフが接するときの の値」「直線が曲線に接するように」。

中身　接点の 座標を として かつ 。多項式なら が で割り切れる、と書くほうが速い。

なぜ効くか　高さが等しいだけなら、ただ交わっているだけです。傾きまで等しくなって初めて接する——この2本立てが定義そのもので、どんな関数にも使えます。判別式は、連立した式が2次方程式になるときに限って「重解ならば接する」を保証してくれる近道にすぎません。近道と定義を取り違えないでください。

06傾きは 、ただし分母に注意

顔つき　「点 における法線」「法線が3本引ける条件」。

中身　 なら 。 のときは 。分母を払った形（放物線 なら ）にしておくと、この例外も1本の式に含められる。

なぜ効くか　法線は接線に垂直なだけなのに、なぜ難しくなるのか。分母に が入るからです。分母を払うと の次数が1つ上がり、放物線では接線が2次・法線が3次の方程式になります。点から引ける接線が最大2本、法線が最大3本という差は、この次数の差がそのまま出たもの。法線を見たら、まず の場合を確かめる——手順にしておけば減点の大半は防げます。

07消去せずに、 で傾きを出す

顔つき　 で与えられた曲線（サイクロイド、アステロイドなど）の接線。

中身　（）。接点は をそのまま使う。

なぜ効くか　 を消して に直す必要がないのが利点です。 は曲線を進む速度ベクトルで、接線とはその向きをもつ直線のこと——こう捉えると、公式が「速さで割って向きだけを取り出している」ことだと分かります。 の点では使えません。そこは接線が鉛直になるか尖点になっているかのどちらかで、答案では区別が要ります。

08両辺を で微分して について解く

顔つき　 の形（円、楕円、 のような曲線）で接線を問う。

中身　 を の関数とみなして両辺を微分する（ の微分は ）。得られた に接点の座標を代入する。

なぜ効くか　 について解けなくても傾きが求まる、というのがこの型の値打ちです。円 なら から 。半径の傾きが ですから、「接線は半径に垂直」という図形の性質が、式のうえで自動的に出てきます。この経験が、型09の公式を「覚えるもの」から「導けるもの」に変えます。

092次の項の片方を、接点の座標に置き換える

顔つき　楕円・双曲線・放物線上の点 における接線。

中身　楕円なら 、双曲線なら符号を変えるだけ、放物線 なら 。

なぜ効くか　公式に見えますが、正体は型08の結果を整理したものです。 を に、 を に、 を に置き換える——この1つの規則で、円も楕円も双曲線も放物線も同じ扱いになります。しかもこの式は が曲線の外にあるときにも意味をもち、そこから引いた2本の接線の接点を結ぶ直線（極線）を表します。接点の座標を求めずに接点の情報が取り出せるのは、このためです。

10切片を出して、面積を接点1文字の関数にする

顔つき　「接線と両座標軸で囲まれる三角形の面積の最小値を求めよ」。

中身　接線の式に 、 を代入して切片を求め、面積を接点の文字だけの関数に直してから微分する。

なぜ効くか　型としての仕事は「1文字の関数に落とすところまで」で、落ちてしまえばあとは最大最小の普通の問題です。落とし穴は長さの扱いにあります。切片は代入すれば出ますが、正か負かを確かめずに長さとして使うと符号を落とす。本ページの神戸大学の問題では、交点の 座標が負であることを確認してから長さを書いています。図を描かずに進めたくなる型ほど、符号の確認を答案に残してください。

11差が重解をもつから、上下は入れ替わらない

顔つき　「曲線と接線で囲まれた部分の面積を求めよ」。

中身　多項式なら が使える。超越関数なら凸性で上下を決めてから積分する。

なぜ効くか　接するとは、差が を因数にもつこと（型05）。2乗の因数は符号を変えないので、「曲線−接線」は接点を通り過ぎても符号が変わりません。つまり上下が入れ替わらず、区間を分ける心配が消えます。いわゆる 公式は覚える公式ではなく、この構造の帰結。指数・対数では重解の言い換えが使えないので、凸性から「接線は曲線の上側（または下側）」と言ってから積分するのが定石です（岡山大学の問題）。

12点を固定して、「その点を通る接線があるか」に読み替える

顔つき　「 が動くとき、接線 が通過する範囲を図示せよ」。

中身　通過する点を と固定し、 をみたす実数 が存在する条件を の式で書く。

なぜ効くか　直線を動かして塗り絵をしようとすると、どこまで塗れるのかが分かりません。逆に点を先に固定してしまえば、問いは「この点を通る接線が1本以上あるか」に変わります。これは型03（本数）とまったく同じ方程式で、本数が か否かを聞いているだけ。動くものと固定するものを入れ替えるこの発想が、通過領域と呼ばれる問題群の背骨です。

13 が使えるので、範囲の翻訳が楽

顔つき　「条件をみたす接線の接点は、どんな図形を描くか」。

中身　接点を と置き、条件から と他のパラメータの関係を出し、 から を消去する。

なぜ効くか　軌跡とは、消去によって「その文字が存在するための条件」を書き直す作業です。接点の軌跡では というもっとも単純な関係が最初から使えるので、 の動く範囲がそのまま の範囲になります。軌跡の問題で最後まで残りやすい「範囲の翻訳」が、この型ではほとんど自動で終わる——ここが接点の軌跡のありがたいところです。

14等号が成り立つ場所を接点にとる

顔つき　「 を示せ」「曲線が接線の上側にあることを示せ」。

中身　（曲線）（接線）を とおいて微分する。接点で となり、 の符号が一定なら の符号が決まる。

なぜ効くか　下に凸な関数のグラフは、どの接線よりも上側にあります。これが凸性の幾何的な意味。だから証明したい不等式の等号成立の場所が分かっているとき、そこを接点にとった接線を持ち出せば、不等式は「曲線と接線の上下」に翻訳されます。等号成立の場所が見えていることが、この型を使える合図です。ただし凸性が言えることには限界もあり、本ページの大阪大学の問題は、凸性だけでは足りずもう一段細かい不等式が要る例になっています。