集合と論理の解法パターン全12型｜必要十分・対偶・背理法・すべてとあると入試実例（島根大・東北大・千葉大・宇都宮大・早稲田大）

01まず全部書き出す

顔つき　「 を要素を書き並べる方法で表せ」。

中身　条件を満たす要素を小さい順にすべて書く。倍数の集合なら、共通部分は最小公倍数の倍数。

「3の倍数かつ4の倍数」は「12の倍数」　これは最小公倍数の性質です。一般に の倍数かつ の倍数 の倍数。「6の倍数かつ4の倍数」が「24の倍数」ではなく「12の倍数」であることに注意――積ではなく最小公倍数です。

02「かつ」と「または」が入れかわる

顔つき　、「 かつ 」の否定。

中身　。「どちらでもない」＝「和集合の補集合」。

否定を作るとき、必ず接続詞をひっくり返す　「 かつ 」の否定は「 または 」。「かつ」を「または」に変え、各条件も否定する――2か所を同時に変えるのを忘れがちです。背理法（型08）で仮定を否定するときの、最初の一手になります。

03足して、重なりを引く

顔つき　「 に属するすべての数の和」「3の倍数または5の倍数の個数」。

中身　。要素の総和についても同じ式が成り立つ。

「個数」でも「総和」でも同じ形になる　重複して数えた分を1回引く、という発想は個数に限りません。宇都宮大学の問題は「総和」についての包除原理で、（ の和）＝（ の和）＋（ の和）－（ の和）。共通部分をきちんと求めることが唯一の勝負どころで、公差 と公差 の共通項は公差 （最小公倍数）の等差数列になります。

04偽を示すには反例を1つ

顔つき　「次の命題の真偽を調べよ。偽ならば反例をあげよ」。

中身　真なら証明、偽なら具体的な反例を1つ書く。

反例は「仮定をみたし、結論をみたさないもの」　「」の反例は 。仮定 をみたし、結論 をみたさない――この2点を明示すると答案が締まります。反例は1つで十分で、たくさん挙げる必要はありません。

05両方向の矢印を1本ずつ調べる

顔つき　「 は であるための（　）条件である」。

中身　 と を別々に判定し、真偽の組み合わせで答える。

集合の図で確かめるのがいちばん速い　 なら は の十分条件、 なら必要条件、 なら必要十分条件、どちらでもなければ「どちらでもない」。ベン図を描いて、片方がもう片方に完全に入るかを見る――これだけで判定できます。

06対偶だけが、もとの命題と同値

顔つき　「命題の逆・裏・対偶を述べ、その真偽を調べよ」。

中身　 に対し、逆は 、裏は 、対偶は 。

逆と裏は互いに対偶の関係　だから逆と裏の真偽は必ず一致します。もとの命題と対偶が一致し、逆と裏が一致する――この2組を押さえておけば、4つのうち2つ調べれば全部分かります。

07「結論の否定」から「仮定の否定」を導く

顔つき　「 が4の倍数ならば、 はともに偶数であることを示せ」。

中身　「 または が奇数ならば、 は4の倍数でない」を示す。

「ともに偶数」の否定は「少なくとも一方が奇数」　この否定の作り方（型02）が、対偶を使う証明の入口です。そして偶奇の場合分けは有限個―― の偶奇の組み合わせは4通りしかないので、必ず調べ切れます。実際には平方数を4で割った余りが か しかないことを使うと、対偶を書かずに直接示すこともできます（千葉大学の実例）。

08結論を否定して、矛盾を出す

顔つき　「 が無理数であることを示せ」「〜でないことを示せ」。

中身　結論の否定を仮定に加えて議論し、明らかに成り立たないことを導く。

「〜でない」を示すときの第一選択　否定形の結論は直接示しにくいので、それを仮定して矛盾を出すのが自然です。答案では「〜と仮定する」と明記し、最後に「これは矛盾。よって〜」と締める――この2文がないと、読み手には背理法だと伝わりません。対偶証明と背理法は似ていますが、対偶は仮定を使わない場合もある点が違います。

09全称は最小値、存在は最大値

顔つき　「すべての に対し 」「ある に対し 」。

中身　すべて　　。　ある　　。

この翻訳が、論理を計算に変える　「すべての について成り立つ」は、いちばん厳しい （最小値を与える ）でも成り立つということ。「ある について成り立つ」は、いちばん有利な （最大値を与える ）で成り立てばよいということ。全称なら最小値、存在なら最大値――この2行を覚えるだけで、東北大学のような問題が計算問題に変わります。

10共通部分と和集合の言いかえ

顔つき　「すべての に対し の点となる点の範囲」「いずれかの に対し〜」。

中身　すべての 　　（共通部分）。　いずれかの 　　（和集合、＝通過領域）。

通過領域の問題は、実は存在命題　「直線が通過する領域」とは「ある が存在して、その点が直線上にある点全体」。だから についての方程式が実数解をもつ条件（判別式）に帰着します。一方「すべての 」なら共通部分で、 の関数の最小値を考える。2つの問いは、同じ式に対して をとるか をとるかの違いにすぎません（東北大学の実例）。

112方向を、はっきり分けて書く

顔つき　「〜であるための必要十分条件は、〜であることを示せ」。

中身　（必要性）結論から条件を導く。（十分性）条件から結論を導く。

片方が易しく、もう片方が難しいのが普通　千葉大学の整数列の問題では、必要性は「具体的な を代入して差をとる」だけ、十分性は「一般の で整数になることを示す」という別種の作業でした。2つは違う技術なので、答案でも見出しを分けて書くのが安全です。「必要性」「十分性」と小見出しを書くだけで、採点者に伝わり方が変わります。

12既約分数で置く／余りで分類する

顔つき　「 が有理数で が整数ならば は整数」。

中身　有理数は既約分数 （）で置く。整数は余りで分類する。

「既約」という条件が矛盾を生む　 を代入して が出たとき、 から なので 。7は平方数でないので 。既約と置いた瞬間に、分母の候補が激減するのです。整数の型09と同じ道具立てで、集合と論理の単元でも中心的に使われます。