数列の和の解法パターン全12型｜型の見抜き方と入試実例（名大・名工大・信州大・奈良女子大・小樽商大・滋賀大）

数列の和は、公式の数だけ覚えることが増えていく単元だと思われがちです。ところが実際に入試問題を並べてみると、和が求まった瞬間にやっていることは、いつも同じ一つのことです。足したい項を「隣どうしの差」の形に書き直し、真ん中を全部打ち消して、両端だけを残す。等差数列の和も、等比数列の和も、 の公式も、部分分数分解も、等差×等比の も、例外なくこの一手から生まれています。裏返して言えば、和が求まる数列とは、差の形に書ける数列のことです。このページは、数列の和の解法を12の型に分けて並べた辞典です。型は当てはめる箱ではなく、「この和は、どの差の形に化けるのか」を見抜くための道具として並べています。信州大学・奈良女子大学・小樽商科大学・滋賀大学・名古屋工業大学・名古屋大学の入試問題で、その働きを確かめます。

1. 背骨——和が求まる数列とは「差の形に書ける数列」のこと

数列の和は覚えることが多い、と多くの受験生が言います。等差の和、等比の和、、、、部分分数分解、、二項係数の和。並べれば確かに多い。けれどもこれらは8個の別々の知識ではなく、1本の原理から生えた枝です。原理はこれだけです。

証明を書く必要すらありません。中身を並べれば

となり、 は次のかっこの と、 は と、というふうに内側がすべて対で消えていく。残るのは先頭の と末尾の だけです。望遠鏡を畳むと筒が重なって短くなる様子に似ているので、望遠鏡和と呼ばれます。

この等式が「和の全部」だという言い方に納得がいかない人のために、暗記している公式を片端から差の形に戻してみます。ここが、このページでいちばん大事な段落です。

等比数列の和。 と置いてみます。すると

これは等比数列の第 項そのものです。したがって 。教科書が「 から を引く」と説明するあの操作は、 を作りに行く手続きを、答案上で最短に書いたものです。

等差数列の和。 と置いて整理すれば 。やはり等差数列の第 項です。「逆順に並べて足す」というあの工夫も、この を発見する一つの道にすぎません。

の公式。 なら 。 なら 。 なら 。公式を覚えているつもりの人は、実は「差を取ると元に戻る式」を覚えているのです。

部分分数分解。 は と置いた差の形。分数の和が求まるのは、たまたま差の形に書けるからです。

ここまで来ると視線が変わります。「どの公式を使うか」ではなく「この項を差の形にするには、何を に選ぶか」を探すようになる。その探し方の定石が型04から型07です。

この見方には、実用上の大きなおまけが付いてきます。万能の検算法です。和 を求めたら、必ず次の2つを確かめてください。

この2つが成り立てば、その は正しい和です。和とは「差を取ると元の項に戻る式」のことだと、今しがた確かめたからです。 の形が少しでもずれていれば、差を取った瞬間に と食い違います。検算にもう一度足し直す必要はありません。引き算1回で済みます。

もう一つ、受験生がいちばん失点する場所も、この背骨から説明がつきます。端の精算です。望遠鏡和で残るのは両端だけですから、答えの正しさは「どこから始めてどこで終わったか」に全面的に依存します。項数を1つ数え違えれば答えは丸ごとずれる。だから答案では

• なのか なのか、上端と下端を書いてから計算に入る
• の項数は 個（引き算だけで終わらせない）
• 畳んだあとは、消え残った項を実際に書き出して数える
• 場合分けしたら、境目の1項がどちらに属するかを明示する

最後に、型そのものについて一言だけ。和の問題を見た瞬間に「これは部分分数だな」「これは だな」と手が動く人は、頭の回転が特別に速いわけではありません。過去に何百回も使われてきた「型」から予想して、思考する量を減らすことで、手際よく解法を思い付いている場合もあるのです。型は考えなくて済ませるための道具ではなく、考える範囲を狭めるための道具です。分母が2つの積なら部分分数を疑う、等差と等比の積なら公比を掛けて引いてみる——そこまでは型が連れて行ってくれます。しかし「では何を に選ぶか」は、結局その問題ごとに自分で考えることになる。名古屋工業大学の の和のように、差の形が誘導で与えられていてもなお、それを で割るという一歩は自分で踏み出さねばなりません。以下の12型も、そのつもりで読んでください。

2. 手順——目の前の和を、どう処理するか

3. 解法パターン全12型

型01　等差数列の和

型02　等比数列の和

型03　 の公式

型04　差の形にする

型05　部分分数分解

型06　等差×等比（）

型07　二項係数の和

型08　絶対値つきの和

型09　群化して和をとる

型10　和から一般項を求める

型11　二重和（ の中に ）

型12　無限級数への接続

4. 実際の入試で確かめる

ここからは実際に出題された問題で型を確かめます。問題文は各大学が公表した入試問題を、解説のために引用したものです。解答・解説は数強塾が独自に作成したもので、大学が公表した解答ではありません。掲載した数値は当塾で独立に解いたうえで Python（sympy による厳密計算と多倍長整数・有理数による数値計算）で検算し、さらに別の担当者が別ルートで解き直して照合しています。

信州大学 2008年度　――　型02・型03。足せない並びを、足せる式に翻訳する

一般項を作る。 は各位が なので 。等比数列の和より

（別の作り方もあります。 より 。どちらで作っても 、、 と定義に合うことを確かめておきます。）

和を分ける。 は和と定数倍に分配できるので

第1項は初項 、公比 、項数 の等比数列の和ですから

まとめると

よって示されました。（証明終）

分母の の正体。この問題の見どころは の2つの が別の場所から来ていることです。1つ目は を作ったときの 、2つ目は等比の和 の 。ここが見えていれば、式を作り違えたときに分母の形ですぐ気づけます。

値で確かめる。 のとき右辺は 、左辺は 。部分和が と並ぶのがこの問題の面白いところです。

奈良女子大学 2016年度　――　型01。等差の和は「定数項が0の2次関数」

(1)　等差数列の和の公式より

(2)(i)　展開すると 。定数項が であることが、この問題の生命線です。

まず を示します。 なら で より 、ところが となり「 で 」に反します。 なら で「 で 」に反します。よって 。

そこで は下に凸で 。もう一方の零点は

では で 、 で ですから、条件「 かつ 」は

と同値。頂点は零点の中点 なので

は 以上 未満、 は より大きく 以下ですから、頂点にいちばん近い整数は に一意に決まります。

(2)(ii)　 より

これを に代入すると

条件 は 、すなわち 。 は整数なので 、このとき 。

確認。 のとき 、

で （）、、最小は 。 という作り込みで、答えがきれいに閉じます。

小樽商科大学 2019年度　――　型10。和が先、一般項が後

(1)　 のとき ですから 。よって 。

のとき ですから 。よって 。

(2)　 に対し 、。辺々引くと、左辺は ですから

整理して 、すなわち 。（確認： で (1) と合います。）

(3)　 の不動点は より 。よって となり、 は公比 の等比数列です。初項は ですから

逆に条件を満たすことの確認。ここまでが型10です。

一方 で一致します。すべての で条件式が成り立つことまで確かめられました。

ここでいちばん多い失点。(2) で使った は でしか使えません。 が定義されていないからです。だから初項 は、条件式に を直接代入して別に決める必要があります。(1) が独立した小問として置かれているのは、出題者からの合図です。

滋賀大学 2016年度　――　型09・型03。群の中は共通因数でくくれる

(1)　第28群は の28項です。分母が共通なのでくくり出せます。

一般に第 群の和は 。拍子抜けするほど簡単な1次式になります。

(2)　第 群には 項あるので、第1群から第 群までの項数は

その次が第 群の最初ですから、求める番号は第 項。（ のときも で正しい。）

(3)　第 群の最後の項は第 項です。ここで

ですから、第2016項は第63群のちょうど最後の項。第63群は なので、その最後は 。よって第2016項は です。

（第63群は第1954項から第2016項まで。1つ前の第2015項は です。）「2016」が三角数 にぴったり一致するという仕掛けで、境目ちょうどを引かせる設計です。年号が出てきたら三角数との一致を疑ってください。

名古屋工業大学 2017年度　――　型04・型12。誘導が を手渡している

(1)　 とおくと のとき で

ですから 。

(2)　同じ で 、。 と より なので分母は になりません。

より分子は 。よって

（証明終）

(3)　ここが山場です。(2) の両辺を で割ってみます。

と置けば、これは 。足したい項が、そっくり差の形になりました。したがって のとき

すなわち 。（ の項は差の形が使えないので、別に足しています。）

(4)　(1) より ですから 。よって

ここで ですから、2倍角 より 。したがって

誘導の読み方。(1)(2)(3)(4) は〈端の極限を用意する → 差の形を証明する → 望遠鏡和で畳む → 極限をとる〉に1対1で対応しています。(2) の等式は、出題者が を手渡している場面です。ただし手渡されたままでは使えません。両辺を で割る一歩は自分で踏み出す必要がある。型が連れて行ってくれるのはここまで、という関係がきれいに見える1題です。

名古屋大学 2013年度　――　型07・型11・型04。 の公式を「生む」側に回る

(1)　二項定理に数を入れ、両端を落とす。どの についても なので

の展開から両端だけを引いた格好です。次に だから

後半は の両端を落として 。したがって

(2)　順序を入れかえると、差の形が現れる。 を代入すると二重和になります。有限和なので順序を入れかえてよく

内側を、 を固定して見てください。(1) とまったく同じ形です。二項定理 の両端を落として

ここに という差の形が出ました。よって

第1和は望遠鏡和で 、第2和は 。したがって

とすると 、 とすると で、(1) と合います。

この式が の公式を生む。 とすると 。 を代入して整理すれば が出ます。同様に からは 。暗記していた の公式が、 という差から必然的に落ちてくるのです。

(3)　和の等式が整数問題の道具に化ける。(2) で とすると

ですから、 のとき は必ず の倍数。すなわち は の倍数です 。これを と呼びます。

〔理科系〕　 の順に「 は の倍数」を帰納法で示します。

(i) のとき は 。 は3以上の素数だから で、 は の倍数です（実際 ）。

(ii) とし、 がすべて の倍数と仮定します。 の和を最後の項だけ分けて

左辺も右辺の第1和も の倍数ですから、移項して が の倍数。 で は素数だから 、よって が の倍数です。

(i)(ii) より はすべて の倍数です。（証明終）

〔文科系〕　 ならば はいずれも をみたし 。上の (i)(ii) を4段回せば が の倍数と分かります。（証明終）

範囲も条件も外せない。 では成り立ちません。フェルマーの小定理より で、実際 では 。文科系で が要るのは帰納法の の段で が必要だからで、 では と5の倍数になりません。

5. よくある質問

6. 次に読むページ

• 数列・漸化式の解法パターン全16型　――　このページの親。和を単元全体の中で概観できます。
• 群数列とシグマ計算の解法パターン全14型　――　足す前の並べ替え。群の切れ目の探し方はこちら。
• 漸化式の解法パターン全20型　――　和から出てきた漸化式を、その先どう解くか。
• 極限の解法パターン全15型　――　型12の続き。部分和の極限をどう処理するか。
• 整数の解法パターン全18型　――　名古屋大学の (3) で使った、倍数と素数の議論。
• 解法パターン事典（総索引）