定積分で表された関数の解法パターン全12型｜型の見抜き方と入試実例（滋賀大・横国大・埼玉大・静岡大・神戸大・筑波大）

01区間が定数なら、その積分はただの数

顔つき　両端が定数の積分の中に、求めたい関数そのものが入っている。

中身　 と置くと は「 の式」＋ の形になる。これを の定義式に代入し戻すと だけの方程式ができる。

なぜ効くか　この置き換えで関数を求める問題が、数を求める問題に落ちます。値は分からなくても「数である」と分かった時点で文字が置ける。代入し戻すと式が1本増えるのは偶然ではなく、 が から決まる数なので「 が自分自身を決める」関係が閉じるからです。置いただけでは足りず、戻して初めて方程式になる。同じ理由で、出た解は必ず元の定義式で確かめます。

02上端に がいたら、微分すれば積分記号が消える

顔つき　 や など、端に がいる積分を含む等式。

中身　。両辺を微分すると積分記号が丸ごと消え、 が裸で出てくる。

なぜ効くか　積分記号は「まだ計算していない量」を隠す蓋で、微分はその量の増え方だけを見る操作です。増える分は高さ の短冊だけで、それまでに溜まった量は使いません。だから原始関数が書けなくても蓋を開けられる。被積分関数に が混ざる形は、 を外へ出してから積の微分法を使います。

03端での高さ × 端の動く速さ

顔つき　、 のように、端が そのものではない。

中身　

なぜ効くか　原始関数を とすれば積分は で、微分すれば合成関数の微分がそのまま出ます。新しい定理ではなく、合成関数の微分の言い換えです。しかも は存在すれば十分で、式で書けている必要がないので でも使えます。意味は「右端から入る分から、左端から出る分を引く」。右端が2倍の速さなら入る量も2倍で 、左端からは が抜ける――符号が負になる理由まで説明できます。

04微分で落とした定数を、区間がつぶれる点で拾い直す

顔つき　「 を求めよ」と言われ、条件が を含む等式で与えられている。

中身　①両辺を微分して を出す　②積分し直して 　③元の等式に を代入して を決める。

なぜ効くか　 と の微分は同じなので、微分して得た式は必要条件でしかありません。拾い直す場所が に決まるのは、そこで区間がつぶれ、中身を知らなくても積分が だと確定するから。 の代入がほぼ必ず登場するのは作法ではなく、そこが唯一の足場だからです。初期条件を欠いた答案は、候補を無限個示しただけの状態で止まっています。

05分類は「 がどこにいるか」だけで決まる

顔つき　未知の関数 が、積分の中と外の両方に現れている等式。

中身　①端に → 微分（型02・型04）　②端が定数 → 定数と置く（型01）　③中身に → 外に出す前処理をしてから①か②へ。

なぜ効くか　積分方程式は種類が多いように見えて、判断材料は「 の居場所」ひとつだけです。中身の を外へ出せるのは、積分にとって が定数だから。 が と割れると、 という端だけが の標準形が現れます。これを「型を選ぶ前の下ごしらえ」と位置づけるのが要領。前の形のまま型を探すと、見たことのない問題に見えてしまいます。

06増減表は、被積分関数の符号だけで書ける

顔つき　 の増減、グラフの概形、極値。

中身　 なので、 のグラフが 軸の上か下かを見るだけで増減表が完成する。 の値は計算しない。

なぜ効くか　増減を決めるのは導関数の符号だけで、その導関数は被積分関数そのもの。往復せずに答えの半分が手に入ります。とくに強いのは原始関数が書けない場合で、 や は原始関数が初等関数では書けないのに増減表は書けます。「値が求まらないのに性質は分かる」に慣れると「求めずに調べる」問題に強くなります。

07解けないときは、文字で置いて関係式を持ち帰る

顔つき　「最大値を求めよ」「ただ一つの点で最大値をとることを示せ」。

中身　 を解く。解けないときは が単調で符号を1回だけ変えることを示し、その点を などと置いて を関係式として使う。

なぜ効くか　この型の問題は、よく見ると最大値そのものを聞いていません。求まらないから聞かないのです。代わりに最大を与える点を文字で置かせ、 という関係式を残させる。この関係式は値を知らなくても十分に強く、そこから極限まで計算できます。「解けない方程式は、解かずに関係式として使う」は入試数学全体を貫く一般則で、この型はその実例です。

08符号の変わり目で区間を割ってから積分する

顔つき　、。

中身　被積分関数が になる点を求め、そこで区間を分けて絶対値を外す。変わり目が区間の内側か外側かで場合分けする。

なぜ効くか　絶対値は「その場で符号を見て を掛ける」操作なので、区間全体で一つの式に決まりません。注意したいのは変わり目の位置が固定とは限らないことです。横浜国立大学の問題では型01で置いた定数自身が変わり目を決めるので、置いた文字についての場合分けが生じます。ここで解を落としたり余計な解を残したりするので、場合分けの条件を最後にもう一度確かめるのが唯一の防ぎ方です。

09積分でパラメータの関数を作り、そのあとは普通の極限

顔つき　積分の結果がパラメータ の式になり、そのあとで を聞かれる。

中身　まず積分を実行して だけの式にする。途中で で割っていないかを確認し、割れない は別扱いにする。最後に極限で穴がつながるかを確かめる。

なぜ効くか　定積分は積分変数を消してパラメータだけの関数を作る変換装置。通したあとは、もう積分は関係なくただの関数の極限に戻ります。ではなぜ特定の だけ別扱いになるのか。計算で のように係数で割っているからです。 ではこの式が使えません。「割った場所に穴が空く」――だから出題者は先にその点の値を求めさせ、最後に穴がふさがるかを問います。

10 をくくり出せたら、和は積分に化ける

顔つき　 の形の極限。

中身　 が横幅、 が高さ。

なぜ効くか　これは公式というより定積分の定義を逆向きに読んでいるだけです。定積分はもともと「細長い長方形の面積の和の極限」として定義されました。鍵は「横幅はどれか」を先に決めること。 をくくり出せたらそれが横幅、残りが の式で書けたらそれが高さです。区間が 以外になるのは の動く範囲が違うときだけなので、 の最小と最大を で割ると迷いません。

11各点の大小は、そのまま積分の大小に伝わる

顔つき　「不等式を証明せよ」「はさみうちで極限を求めよ」。積分の値そのものが求まらない。

中身　 とし、区間全体で なら 。求まらない積分を、求まる積分ではさむ。

なぜ効くか　積分は「掛けて足す」の極限なので、各点で成り立つ大小関係は、和をとっても壊れません。だから被積分関数を扱いやすいものに取り替えるだけで、値を上下から押さえられます。これは積分できない関数を扱うための、ほとんど唯一の一般的な手段です。コツは の動く範囲でだけ成り立つ簡単な不等式を持ち出すこと。たとえば なら が使えます。

12値ではなく「出入り」で考える

顔つき　、、あるいは上端が のように別の文字で決まる。

中身　両端が動くときは型03の公式で微分する。端が場合分けで切り替わるときは、まず区間そのものを確定させてから積分する。

なぜ効くか　積分区間を「幅のある窓」だと思ってください。窓を右へずらしたときの変化は「右端から入る分」から「左端から出る分」を引いたもの。この見方に切り替えると、窓の中の量を計算しなくても増減が分かります。端が のように切り替わる場合は、計算より前に「いま端はどちらか」を確定させるのが鉄則です。